Хамилтонијан
Хамилтонијан у физици је функција или оператор, у зависности од тога да ли се користи у контексту класичне или квантне механике, који је од централног значаја за опис временске еволуције у физици.
Хамилтонијан је у физику уведен када је увиђено да је Њутнове законе кретања лакше представити преко неке одржане величине у том кретању. Једна од често одржаних величина при кретању је енергија.[1] Хамилтонијан је функција која има значење енергије. Хамилтонијан изражава се преко генералисаних координата (), генералисаних импулса () и времена ().
Хамилтонов формализам преко Хамилтонијана користи се у великом броју области у физици у проблемима при којима је дисипација занемарљива, као што су квантна механика, електромагнетизам, статистичка механика, квантна теорија поља, итд.[2]
Хамилтонов формализам
уредиМеханичко кретање честица се може објаснити коришћењем Њутнових закона и решавањем диференцијалних једначина које укључују све силе које се налазе у систему, добијају се закони кретања тела. Некад је проблеме кретања немогуће решити аналитички, али Њутнов приступ решавању увек даје барем нумеричко решење за проблеме кретања тела. Њутнов приступ се и данас се користи у многим применама, као у инжењерству, машинству, итд.
Током 18-ог и 19-ог века, Ојлер, Лагранж, Хамилтон, Јакоби и многи други су Њутнове законе представили на други начин, без разматрања сила, а посматрањем физичких величина које се одржавају у кретању (тзв. константе кретања). Хамилтонијан је у физику уведен 1833. године као функција генералисаних координата ( ), генералисаних импулса ( ) и времена ( ) која има значење енергије. Слично је Лагранжијан уведен 1788. године као функција генералисаних координата ( ), генералисаних брзина ( ) и времена ( ).
Предност Лагранжевог формализма у односу на Њутнов формализам је што разматрајући симетрије које већ постоје у систему (разматрањем константи кретања), једначине кретања у њима имају једноставнији облик. Облик једначина кретања у новим формализмима је посебно једноставнији у системима у којима постоје ограничења на положаје и брзине. Данашња класична теоријска механика је формулисана у Лагранжевом и Хамилтоновом формализму. Хамилтонов и Лагранжев формализам су еквивалентни у смислу да постоји трансформација (Лежандрова трансформација) помоћу које се прелази из једног у други.
Посебни значај Хамилтоновог формализма и разлог зашто се и додатно и он користи у класичној механици (иако је еквивалентан са Лагранжевим формализмом у којем и саме једначине кретања имају једноставнији облик од облика у Хамилтоновом формализму), лежи у томе што се овим приступом може формулисати квантна механика. Тиме се при формулацији и разумевању квантне механике може направити аналогија са класичном механиком.[3]
Хамилтонијан у класичној физици
уредиУ класичној физици Хамилтонијан је дефинисан као Лежандрова трансформација Лагранжијана. Како је Лагранжијан функција генералисаних координата ( ), генералисаних брзина ( ) и времена ( ), у ситуацији у којој је погодније користити генералисане импулсе ( ) уместо брзина, потребно је задатак преформулисати преко нових променљивих. Трансформација којом се зависност од генералисаних брзина смењује зависношћу од генералисаних импулса је Лежандрова трансформација. Хамилтонијан се дефинише као:
, где , n је број степени слободе система, Лагранжијан система, а генералисане координате, генералисане брзине, генералисани импулси и време. Веза између генералисаних координата и генералисаних импулса се добија из система једначина:
, где је
У случају када је кинетичка енергија система хомогена квадратна функција генералисаних брзина, Хамилтонијан је једнак укупној енергији система. Ово је чест случај и Хамилтонијан се често поистовећује са укупном енергијом система.
Хамилтонове једначине
уредиХамилтонове или канонске једначине кретања су једначине кретања изражене у Хамилтовом формализму:
, где представља непотенцијалне генералисане силе. Ове једначине пружају неколико погодности, међу којима су да импулси и координате фигуришу симетрично у једначинама и да су једначине диференцијалне једначине првог реда, за разлику од диференцијалних једначина другог реда у Њутновом формализму. Од једначина другог реда у Њутновом и Лагранжевом формализму, добијају се једначина првог реда у Хамилтоновом формализму. Да би се Хамилтонове једначине решиле, потребно је знати почетних услова.
Хамилтонијан у квантној механици
уредиУ квантној механици хамилтонијан је хермитски оператор и придружен је опсервабли енергије. Временску еволуцију квантног система диктира хамилтонијан преко Шредингерове једначине
, где је хамилтонијан, а стање система.
Како хамилтонијан представља енергију, његове својствене вредности представљају могуће енергије које систем може да поседује. Свака опсервабла чији оператор комутира са хамилтонијаном представља одржану величину.
Референце
уреди- ^ „16.3 The Hamiltonian”. math.mit.edu. Архивирано из оригинала 20. 09. 2019. г. Приступљено 2019-10-14.
- ^ „Hamiltonian - an overview | ScienceDirect Topics”. www.sciencedirect.com. Приступљено 2019-10-14.
- ^ Voja Radanović. „Lagranževa i Hamiltonova mehanika” (PDF).