Отворите главни мени
Први систем описан Хамилтоновим формализмом било је математичко клатно.

Хамилтонијан у физици је функција или оператор, у зависности од тога да ли се користи у контексту класичне или квантне механике, који је од централног значаја за опис временске еволуције у физици.

Хамилтонијан је у физику уведен када је увиђено да је Њутнове законе кретања лакше представити преко неке одржане величине у том кретању. Једна од често одржаних величина при кретању је енергија.[1] Хамилтонијан је функција која има значење енергије. Хамилтонијан изражава се преко генералисаних координата (), генералисаних импулса () и времена ().

Хамилтонов формализам преко Хамилтонијана користи се у великом броју области у физици у проблемима при којима је дисипација занемарљива, као што су квантна механика, електромагнетизам, статистичка механика, квантна теорија поља, итд.[2]

Хамилтонов формализамУреди

Механичко кретање честица се може објаснити коришћењем Њутнових закона и решавањем диференцијалних једначина које укључују све силе које се налазе у систему, добијају се закони кретања тела. Некад је проблеме кретања немогуће решити аналитички, али Њутнов приступ решавању увек даје барем нумеричко решење за проблеме кретања тела. Њутнов приступ се и данас се користи у многим применама, као у инжењерству, машинству, итд.

Током 18-ог и 19-ог века, Ојлер, Лагранж, Хамилтон, Јакоби и многи други су Њутнове законе представили на други начин, без разматрања сила, а посматрањем физичких величина које се одржавају у кретању (тзв. константе кретања). Хамилтонијан је у физику уведен 1833. године као функција генералисаних координата ( ), генералисаних импулса ( ) и времена ( ) која има значење енергије. Слично је Лагранжијан уведен 1788. године као функција генералисаних координата ( ), генералисаних брзина ( ) и времена ( ).

Предност Лагранжевог формализма у односу на Њутнов формализам је што разматрајући симетрије које већ постоје у систему (разматрањем константи кретања), једначине кретања у њима имају једноставнији облик. Облик једначина кретања у новим формализмима је посебно једноставнији у системима у којима постоје ограничења на положаје и брзине. Данашња класична теоријска механика је формулисана у Лагранжевом и Хамилтоновом формализму. Хамилтонов и Лагранжев формализам су еквивалентни у смислу да постоји трансформација (Лежандрова трансформација) помоћу које се прелази из једног у други.

Посебни значај Хамилтоновог формализма и разлог зашто се и додатно и он користи у класичној механици (иако је еквивалентан са Лагранжевим формализмом у којем и саме једначине кретања имају једноставнији облик од облика у Хамилтоновом формализму), лежи у томе што се овим приступом може формулисати квантна механика. Тиме се при формулацији и разумевању квантне механике може направити аналогија са класичном механиком.[3]

Хамилтонијан у класичној физициУреди

У класичној физици Хамилтонијан је дефинисан као Лежандрова трансформација Лагранжијана. Како је Лагранжијан   функција генералисаних координата ( ), генералисаних брзина ( ) и времена ( ), у ситуацији у којој је погодније користити генералисане импулсе ( ) уместо брзина, потребно је задатак преформулисати преко нових променљивих. Трансформација којом се зависност од генералисаних брзина смењује зависношћу од генералисаних импулса је Лежандрова трансформација. Хамилтонијан се дефинише као:

 

, где  , n је број степени слободе система,   Лагранжијан система, а   генералисане координате, генералисане брзине, генералисани импулси и време, респективно. Веза између генералисаних координата и генералисаних импулса се добија из система једначина:

 

, где је  

У случају када је кинетичка енергија система хомогена квадратна функција генералисаних брзина, Хамилтонијан је једнак укупној енергији система. Ово је чест случај и Хамилтонијан се често поистовећује са укупном енергијом система.

Хамилтонове једначинеУреди

Хамилтонове или канонске једначине кретања су једначине кретања изражене у Хамилтовом формализму:

 

 

 

, где   представља непотенцијалне генералисане силе. Ове једначине пружају неколико погодности, међу којима су да импулси и координате фигуришу симетрично у једначинама и да су једначине диференцијалне једначине првог реда, за разлику од диференцијалних једначина другог реда у Њутновом формализму. Од   једначина другог реда у Њутновом и Лагранжевом формализму, добијају се   једначина првог реда у Хамилтоновом формализму. Да би се Хамилтонове једначине решиле, потребно је знати   почетних услова.

 

Хамилтонијан у квантној механициУреди

У квантној механици хамилтонијан је хермитски оператор и придружен је опсервабли енергије. Временску еволуцију квантног система диктира хамилтонијан преко Шредингерове једначине

 

, где је   хамилтонијан, а  стање система.

Како хамилтонијан представља енергију, његове својствене вредности представљају могуће енергије које систем може да поседује. Свака опсервабла чији оператор комутира са хамилтонијаном представља одржану величину.

РеференцеУреди

  1. ^ „16.3 The Hamiltonian”. math.mit.edu. Приступљено 2019-10-14. 
  2. ^ „Hamiltonian - an overview | ScienceDirect Topics”. www.sciencedirect.com. Приступљено 2019-10-14. 
  3. ^ Voja Radanović. „Lagranževa i Hamiltonova mehanika” (PDF).