1 − 2 + 4 − 8 + ⋯

У математици, 1 − 2 + 4 − 8 + ... је бесконачан ред чији чланови су узастопна степен двојке са наизменичним знацима. Као геометријски ред, окарактерисан је својим првим чланом, 1, и својом количником, −2.

Како ред реалних бројева дивергира, тако  у уобичајеном смислу нема суму. У много ширем смислу, серија има општи збир ⅓.

Историјски аргументиУреди

Готфрид Лајбниц је сматрао наизменични дивергентни ред 1 − 2 + 4 − 8 + 16 − ... већ 1673. Он је тврдио да би се одузимањем, или са лева или са десна, могла произвести позитивна или негативна бесконачност, а самим тим оба одговора су погрешна и све треба да буде коначно:

"Сада нормално природа бира средину, ако ни једно од та два није дозвољено, односно ако се не може утврдити које од њих је дозвољено, цела је једнака коначној количини. "

Лајбниц није баш тврдио да је низ имао збир, али је закључио везу са ⅓ следећег Меркаторовог метода.[1] Став да је серија могла бити нека коначна количина без стварног додавања до ње као сума би била уобичајена у 18. веку, мада се не прави разлика у модерној математици.[2]

Након што је Кристијан Волф прочитао Лајбницово тумачење Грандијевог низа у сред 1712. године,[3] Волф је био толико задовољан решењем да је настојао да прошири аритметички метод до више дивергентног реда као што је 1 − 2 + 4 − 8 + 16 − .... Укратко, ако неко изражава парцијалну суму овог реда као функцију претпостављених чланова, добија се или (4м + 1)/3 или (−4н + 1)/3. Аритметичка средина ових вредности је (2м − 2н + 1)/3, и под претпоставком да је м=н у бесконачности даје ⅓ као вредност серије. Лајбницова инситуција га је спречавала да напреже своје решење овако далеко, и он је написао да је Волфова идеја била интересантна, али неважећа из неколико разлога. Аритметичка средства суседних парцијалних сума не конвергирају до посебних вредности, и за све коначне случајеве имамо да је н=2м, не н=м. Генерално, члан редова који се могу сабирати треба да се смањи до нуле; чак се 1 − 1 + 1 − 1 + ... може изразити као граница таквог низа. Лајбниц саветује Волфа да размотри то да он може да произведе нешто вредно од науке и себе.[4]

Модерне методеУреди

Геометријски редУреди

Било који метод сумирања који поседује следеће особине: регуларност, линеарност и стабилност ће сумирати геометријски низ
 

У овом случају a = 1 и r = −2, тако да је збир ⅓.

Ојлер сабирањеУреди

У његовим Институтионс из 1755. године, Леонард Ојлер је ефективно узео оно што се сада зове Ојлерова трансформација 1 − 2 + 4 − 8 + ..., долазећи до конвергентних редови  ½ − ¼ + ⅛ − 1/16 + .... Како је каснији збир  ⅓, Ојлер је закључиио да је 1 − 2 + 4 − 8 + ... = ⅓.[5] Његове идеје за бесконачни ред не прате слепо подерни приступ; данас се каже да је 1 − 2 + 4 − 8 + ... могуће сабрати помоћу Ојлеровог сабирања и тада је Ојлеров збир ⅓.[6]

 
Исечак из  Институтионс

Ојлерова трансформација почиње редом позивитних чланова:

a0 = 1,
a1 = 2,
a2 = 4,
a3 = 8, ...

Ред коначне разлике је онда

Δa0 = a1a0 = 2 − 1 = 1,
Δa1 = a2a1 = 4 − 2 = 2,
Δa2 = a3a2 = 8 − 4 = 4,
Δa3 = a4a3 = 16 − 8 = 8, ...,

што је исти ред. Отуда поновљена малопређашња разлика редова који почињу са Δna0 = 1 за свако н. Ојлерова трансформација је низ

 

Ово је конверентни геометријски ред чији је збир  ⅓ по уобичајеној формули.

Борел збирУреди

Борел збир 1 − 2 + 4 − 8 + ... је такође ⅓; када је Емил Борел увео гранично формулисање Бореловог збира 1896. године, ово је био један од првих његових примера после 1 − 1 + 1 − 1 + ...[7]

РеференцеУреди

  1. ^ Leibniz, стр. 205—207; Knobloch pp. 124–125.
  2. ^ Ferraro & Panza, стр. 21.
  3. ^ Wolff's first reference to the letter published in the Acta Eruditorum appears in a letter written from Halle, Saxony-Anhalt dated 12 June 1712; Gerhardt pp. 143–146.
  4. ^ The quotation is Moore's (pp. 2–3) interpretation; Leibniz's letter is in Gerhardt pp. 147–148, dated 13 July 1712 from Hanover.
  5. ^ Euler, стр. 234.
  6. ^ See Korevaar pp. 325.
  7. ^ Smail 1925, стр. 7.

ЛитератураУреди