Гранична вредност низа

(преусмерено са Limit of a sequence)

Гранична вредност низа или лимес низа реалних бројева је нека тачка ако за сваку околину тачке постоји природан број , тако да за све бројеве , тј. тако да почев од неког, сви чланови низа припадају тој околини.

diagram of a hexagon and pentagon circumscribed outside a circle
Низ дат периметрима правилних n-страних многоуглова који описују јединични круг има границу једнаку обиму круга, тј. Одговарајући низ за уписане полигоне има исто ограничење.
n n sin(1/n)
1 0.841471
2 0.958851
...
10 0.998334
...
100 0.999983

Како позитивни цео број постаје све већи и већи, вредност: постаје произвољно близу Може се рећи да је „ограничење низа једнако "

У математици, граница низа је вредност којој термини низа „теже“, а често се означава симболом (нпр. ).[1] Ако таква граница постоји, низ се назива конвергентним.[2] За низ који не конвергира каже се да је дивергентан.[3] Каже се да је граница низа основни појам на коме се на крају заснива цела математичка анализа.[1]

Границе се могу дефинисати у било ком метричком или тополошком простору, али се обично прво сусрећу у реалним бројевима.

ИсторијаУреди

Грчки филозоф Зенон из Елеје познат је по формулисању парадокса који укључују ограничавајуће процесе.[4][5][6][7]

Леукип, Демокрит, Антифон, Евдокс и Архимед су развили методу исцрпљивања, која користи бесконачан низ апроксимација за одређивање површине или запремине. Архимед је успео да сабере оно што се данас назива геометријским редом.

Грегуар де Сен-Венсан је дао прву дефиницију лимита (терминуса) геометријског низа у свом делу Opus Geometricum (1647): „Крај прогресије је крај низа, до којег ниједна прогресија не може доћи, чак и ако она се наставља у бесконачност, али којој се она може приближити ближе од датог сегмента.“[8]

Њутн се бавио серијама у својим радовима Анализа са бесконачним серијама (написано 1669, циркулисано у рукопису, објављено 1711.), Метода флуксија и бесконачних серија (написано 1671, објављено у енглеском преводу 1736, латински оригинал објављен много касније) и Tractatus de Quadratura Curvarum (написан 1693, објављен 1704. као додатак његовој Оптици). У последњем раду, Њутн разматра биномну експанзију (x + o)n, коју затим линеаризује узимајући границу како o тежи 0.

У 18. веку, математичари као што је Ојлер успели су да саберу неке дивергентне низове заустављајући се у правом тренутку; није их много занимало да ли граница постоји, све док се може израчунати. Крајем века, Лагранж је у својој Théorie des fonctions analytiques (1797) изнео мишљење да недостатак строгости онемогућава даљи развој рачуна. Гаус је у својој етиди хипергеометријских серија (1813) по први пут ригорозно истражио услове под којима је низ конвергирао до границе.

Модерну дефиницију границе (за било које ε постоји индекс N тако да ...) дали су Бернард Болцано (Der binomische Lehrsatz, Праг 1816, што је тада било мало примећено) и Карл Вајерштрас током 1870-их.

ДефиницијаУреди

 .

Гранична вредност конвергентних низоваУреди

Поред опште дефиниције, гранична вредност за конвергентне низове, тј. за низове   који теже неком  , где је   коначан број, може се записати као:

 

Гранична вредност дивергентних низоваУреди

Поред опште дефиниције, гранична вредност за дивергентне низове, низове   који теже  , може се записати као:

 

Кошијев низУреди

 
Плаве тачкице приказују график Кошијевог низа (xn), чија се вредност очитава на "y"-оси. И визуелно се може видети да низ конвергира својој граничној вредности кад се n све више и више повећава. У скупу реалних бројева сваки Кошијев низ је конвергентан.

Кошијев низ, назван по истакнутом француском математичару Огистену Кошију је низ реалних бројева (xn) који је дефинисан на следећи начин:

 .

Кошијев низ је уско повезан са појмом граничне вредности низа, јер сваки Кошијев низ конвергира. Ако знамо да је неки низ Кошијев, не морамо уопште да га познајемо нити којој ће граничној вредности да тежи, а унапред ћемо знати да има коначну граничну вредност.

Реални бројевиУреди

 
Плавим тачкицама је приказан график конвергентног низа {an}. Може се и визуелно видети да низ тежи нули како n све више и више одмиче ка бесконачности.

У реалним бројевима, број   је граница низа   ако бројеви у низу постају све ближи  , а не било ком другом броју.

ПримериУреди

  • Ако је   за константу c, онда  [9][10]
  • Ако је   онда  [11][10]
  • Ако је   кад је   парно, и   кад је   непарно, онда је   (Чињеница да је   кад год је   непарно је небитно.)
  • За дати било који реални број, лако се може конструисати низ који конвергира том броју узимајући децималне апроксимације. На пример, низ  , конвергира   Треба имати на уму да је децимална репрезентација   граница претходног низа, дефинисана помоћу
     
  • Проналажење границе низа није увек очигледно. Два примера су   (чија је граница број е) и аритметичко-геометријска средина. Сендвич теорема је често корисна у успостављању таквих граница.

Формална дефиницијаУреди

Вредност   се назива лимит низа   ако важи следећи услов:

  • За сваки реалан број   постоји природан број   такав да је за сваки природан број   постоји  [12]

Другим речима, за сваку меру блискости   услови секвенце су на крају толико близу границе. За секвенцу   се каже да конвергира или тежи лимиту   написано   или  

Симболично, ово је:

 

Ако низ   конвергира до неке границе   онда је конвергентан и   је једини лимит; иначе   је дивергентан. Низ који има нулу као границу се понекад назива нултим низом.

ИлустрацијаУреди

Особине (реални бројеви)Уреди

Границе низова се добро понашају у односу на уобичајене аритметичке операције. Ако   и   онда     и, ако ни b ни било које   није нула,  [10]

За било коју континуирану функцију f, ако је   онда је   Заправо, свака функција f са реалном вредношћу је континуирана ако и само ако чува границе низова (иако то није нужно тачно када се користе општији појмови континуитета).

Нека друга важна својства граница реалних низова укључују следеће (под условом да у свакој једначини испод границе са десне стране постоје).

  • Граница секвенце је јединствена.[10]
  •  [10]
  •  [10]
  •  [10]
  •   provided  [10]
  •  
  • Ако је   за свако   веће од неког   онда је  
  • (Сендвич теорема) Ако је   за свако   и   онда је  
  • Ако је низ ограничен и монотон, онда је конвергентан.
  • Низ је конвергентан ако и само ако је сваки подниз конвергентан.
  • Ако сваки подниз низа има свој подниз који конвергира у исту тачку, онда оригинални низ конвергира у ту тачку.

Ова својства се у великој мери користе за доказивање ограничења, без потребе да се директно користи гломазна формална дефиниција. На пример, једном када се докаже да је   постаје лако показати - користећи својства изнад - да је   (претпостављајући да  ).

Бесконачни лимитиУреди

Каже се да низ   тежи бесконачности, написано   или   ако за свако K постоји N такво да за свако    ; то јест, чланови низа су на крају већи од било ког фиксног K.

Слично,   ако за свако K постоји N такво да је за свако     Ако низ тежи бесконачности или минус бесконачности, онда је дивергентан. Међутим, дивергентни низ не мора тежити плус или минус бесконачности, а низ   даје један такав пример.

Види јошУреди

РеференцеУреди

  1. ^ а б Courant 1961, стр. 29
  2. ^ Weisstein, Eric W. „Convergent Sequence”. mathworld.wolfram.com (на језику: енглески). Приступљено 2020-08-18. 
  3. ^ Courant 1961, стр. 39
  4. ^ Boyer, Carl (1959). The History of the Calculus and Its Conceptual Development . Dover Publications. стр. 295. ISBN 978-0-486-60509-8. Приступљено 2010-02-26. »If the paradoxes are thus stated in the precise mathematical terminology of continuous variables (...) the seeming contradictions resolve themselves.« 
  5. ^ Brown, Kevin. „Zeno and the Paradox of Motion”. Reflections on Relativity. Архивирано из оригинала на датум 2012-12-05. Приступљено 2010-06-06. 
  6. ^ Moorcroft, Francis. „Zeno's Paradox”. Архивирано из оригинала на датум 2010-04-18. 
  7. ^ Papa-Grimaldi, Alba (1996). „Why Mathematical Solutions of Zeno's Paradoxes Miss the Point: Zeno's One and Many Relation and Parmenides' Prohibition” (PDF). The Review of Metaphysics. 50: 299—314. 
  8. ^ Van Looy, H. (1984). A chronology and historical analysis of the mathematical manuscripts of Gregorius a Sancto Vincentio (1584–1667). Historia Mathematica, 11(1), 57-75.
  9. ^ Proof: choose   For every    
  10. ^ а б в г д ђ е ж „Limits of Sequences | Brilliant Math & Science Wiki”. brilliant.org (на језику: енглески). Приступљено 2020-08-18. 
  11. ^ Proof: choose   (the floor function). For every    
  12. ^ Weisstein, Eric W. „Limit”. mathworld.wolfram.com (на језику: енглески). Приступљено 2020-08-18. 

ЛитератураУреди

Спољашње везеУреди