Елиптички интеграли појавили су се у вези с решавањем дужине лука елипсе , а прво су их открили Леонард Ојлер и Ђулио Фањано .
У савременом приступу дефинишу се као функција f
f
(
x
)
=
∫
c
x
R
(
t
,
P
(
t
)
)
d
t
{\displaystyle f(x)=\int _{c}^{x}R\left(t,{\sqrt {P(t)}}\right)\,dt}
где је R рационална функција два аргумента, P c
Касније су откривене елиптичке функције као инверзне функције елиптичких интеграла.
уреди
Непотпуни елиптички интеграли прве врсте F дефинисан је као:
F
(
φ
,
k
)
=
F
(
φ
|
k
2
)
=
F
(
sin
φ
;
k
)
=
∫
0
φ
d
θ
1
−
k
2
sin
2
θ
.
{\displaystyle F(\varphi ,k)=F(\varphi \,|\,k^{2})=F(\sin \varphi ;k)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}.}
То је тригонометријски облик интеграла. Замењујући
t
=
sin
θ
,
x
=
sin
φ
{\displaystyle t=\sin \theta ,x=\sin \varphi }
F
(
x
;
k
)
=
∫
0
x
d
t
(
1
−
t
2
)
(
1
−
k
2
t
2
)
.
{\displaystyle F(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}.}
Помоћу амплитуднога или модуларнога угла добија се:
F
(
φ
∖
α
)
=
F
(
φ
,
sin
α
)
=
∫
0
φ
d
θ
1
−
(
sin
θ
sin
α
)
2
.
{\displaystyle F(\varphi \setminus \alpha )=F(\varphi ,\sin \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-(\sin \theta \sin \alpha )^{2}}}}.}
У тој нотацији вреди:
F
(
φ
,
sin
α
)
=
F
(
φ
|
sin
2
α
)
=
F
(
φ
∖
α
)
=
F
(
sin
φ
;
sin
α
)
.
{\displaystyle F(\varphi ,\sin \alpha )=F(\varphi \,|\,\sin ^{2}\alpha )=F(\varphi \setminus \alpha )=F(\sin \varphi ;\sin \alpha ).}
Са
x
=
sn
(
u
;
k
)
{\displaystyle x={\textrm {sn}}(u;k)}
F
(
x
;
k
)
=
u
;
{\displaystyle F(x;k)=u;}
уреди
Непотпуни елиптички интеграли друге врсте E
E
(
φ
,
k
)
=
E
(
φ
|
k
2
)
=
E
(
sin
φ
;
k
)
=
∫
0
φ
1
−
k
2
sin
2
θ
d
θ
.
{\displaystyle E(\varphi ,k)=E(\varphi \,|\,k^{2})=E(\sin \varphi ;k)=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,d\theta .}
Замењујући
t
=
sin
θ
,
x
=
sin
φ
{\displaystyle t=\sin \theta \;{\text{,}}\;x=\sin \varphi }
E
(
x
;
k
)
=
∫
0
x
1
−
k
2
t
2
1
−
t
2
d
t
.
{\displaystyle E(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt.}
На сличан начин помоћу амплитуде и модуларнога угла вреди:
E
(
φ
∖
α
)
=
E
(
φ
,
sin
α
)
=
∫
0
φ
1
−
(
sin
θ
sin
α
)
2
d
θ
.
{\displaystyle E(\varphi \setminus \alpha )=E(\varphi ,\sin \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-(\sin \theta \sin \alpha )^{2}}}\,d\theta .}
Односи са Јакобијевим елиптичким функцијама су:
E
(
s
n
(
u
;
k
)
;
k
)
=
∫
0
u
d
n
2
(
w
;
k
)
d
w
=
u
−
k
2
∫
0
u
s
n
2
(
w
;
k
)
d
w
=
(
1
−
k
2
)
u
+
k
2
∫
0
u
c
n
2
(
w
;
k
)
d
w
.
{\displaystyle E(\mathrm {sn} (u;k);k)=\int _{0}^{u}\mathrm {dn} ^{2}(w;k)\,dw=u-k^{2}\int _{0}^{u}\mathrm {sn} ^{2}(w;k)\,dw=(1-k^{2})u+k^{2}\int _{0}^{u}\mathrm {cn} ^{2}(w;k)\,dw.}
уреди
Непотпуни елиптички интеграли треће врсте Π је:
Π
(
n
;
φ
∖
α
)
=
∫
0
φ
1
1
−
n
sin
2
θ
d
θ
1
−
(
sin
θ
sin
α
)
2
{\displaystyle \Pi (n;\varphi \setminus \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {1}{1-n\sin ^{2}\theta }}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-(\sin \theta \sin \alpha )^{2}}}}}
или
Π
(
n
;
φ
|
m
)
=
∫
0
sin
φ
1
1
−
n
t
2
d
t
(
1
−
m
t
2
)
(
1
−
t
2
)
.
{\displaystyle \Pi (n;\varphi \,|\,m)=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{1-nt^{2}}}{\frac {dt}{\sqrt {(1-mt^{2})(1-t^{2})}}}.}
Број n карактеристика и може да узме било коју вредност.
Треба приметити да је вредност
Π
(
1
;
π
2
|
m
)
{\displaystyle \Pi (1;{\tfrac {\pi }{2}}\,|\,m)\,\!}
m
Односи са Јакобијевим елиптичким функцијама су:
Π
(
n
;
s
n
(
u
;
k
)
;
k
)
=
∫
0
u
d
w
1
−
n
s
n
2
(
w
;
k
)
.
{\displaystyle \Pi (n;\,\mathrm {sn} (u;k);\,k)=\int _{0}^{u}{\frac {dw}{1-n\,\mathrm {sn} ^{2}(w;k)}}.}
уреди
уреди
Потпуни елиптички интеграли друге врсте
E
(
k
)
{\displaystyle E(k)}
E
(
k
)
=
∫
0
π
/
2
1
−
k
2
sin
2
θ
d
θ
=
∫
0
1
1
−
k
2
t
2
1
−
t
2
d
t
,
{\displaystyle E(k)=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta =\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}dt,}
или преко непотпунога интеграла друге врсте:
E
(
k
)
=
E
(
π
2
,
k
)
=
E
(
1
;
k
)
.
{\displaystyle E(k)=E({\tfrac {\pi }{2}},k)=E(1;k).}
Могу да се прикажу и преко реда:
E
(
k
)
=
π
2
∑
n
=
0
∞
[
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
]
2
k
2
n
1
−
2
n
,
{\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right]^{2}{\frac {k^{2n}}{1-2n}},}
што је еквивалентно:
E
(
k
)
=
π
2
{
1
−
(
1
2
)
2
k
2
1
−
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
2
k
4
3
−
⋯
−
[
(
2
n
−
1
)
!
!
(
2
n
)
!
!
]
2
k
2
n
2
n
−
1
−
⋯
}
.
{\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\left\{1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}{\frac {k^{2}}{1}}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {k^{4}}{3}}-\cdots -\left[{\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right]^{2}{\frac {k^{2n}}{2n-1}}-\cdots \right\}.}
За њега важе и једначине:
d
E
(
k
)
d
k
=
E
(
k
)
−
K
(
k
)
k
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} E(k)}{\mathrm {d} k}}={\frac {E(k)-K(k)}{k}}}
(
k
2
−
1
)
d
d
k
[
k
d
E
(
k
)
d
k
]
=
k
E
(
k
)
{\displaystyle (k^{2}-1){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}\left[k\;{\frac {\mathrm {d} E(k)}{\mathrm {d} k}}\right]=kE(k)}
уреди
Потпуни елиптички интеграли треће врсте
Π
(
n
,
k
)
{\displaystyle \Pi (n,k)}
Π
(
n
,
k
)
=
∫
0
π
/
2
d
θ
(
1
−
n
sin
2
θ
)
1
−
k
2
sin
2
θ
.
{\displaystyle \Pi (n,k)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{(1-n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}.}
За њега важи:
∂
Π
(
n
,
k
)
∂
n
=
1
2
(
k
2
−
n
)
(
n
−
1
)
(
E
(
k
)
+
1
n
(
k
2
−
n
)
K
(
k
)
+
1
n
(
n
2
−
k
2
)
Π
(
n
,
k
)
)
{\displaystyle {\frac {\partial \Pi (n,k)}{\partial n}}={\frac {1}{2(k^{2}-n)(n-1)}}\left(E(k)+{\frac {1}{n}}(k^{2}-n)K(k)+{\frac {1}{n}}(n^{2}-k^{2})\Pi (n,k)\right)}
∂
Π
(
n
,
k
)
∂
k
=
k
n
−
k
2
(
E
(
k
)
k
2
−
1
+
Π
(
n
,
k
)
)
{\displaystyle {\frac {\partial \Pi (n,k)}{\partial k}}={\frac {k}{n-k^{2}}}\left({\frac {E(k)}{k^{2}-1}}+\Pi (n,k)\right)}
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0 .
Елиптички интеграл Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. et al., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press
![{\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right]^{2}k^{2n}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }[P_{2n}(0)]^{2}k^{2n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e599a1506a21fcece196be5cdf48230aaa1cc066)
![{\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\left\{1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}k^{2}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}k^{4}+\cdots +\left[{\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right]^{2}k^{2n}+\cdots \right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/377e26e9eb16913524ce060131ef61e8da5e2a79)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}\left[k(1-k^{2}){\frac {\mathrm {d} K(k)}{\mathrm {d} k}}\right]=kK(k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db809432b43a7c3f41a1e3de08ff3462a8d05eb0)
![{\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right]^{2}{\frac {k^{2n}}{1-2n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea7ddc66dd724a737e64373295610ac6bb1bf83e)
![{\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\left\{1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}{\frac {k^{2}}{1}}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {k^{4}}{3}}-\cdots -\left[{\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right]^{2}{\frac {k^{2n}}{2n-1}}-\cdots \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2f8f16f0b8c726c8e65014e1cef78f8ebc6c275)
![{\displaystyle (k^{2}-1){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}\left[k\;{\frac {\mathrm {d} E(k)}{\mathrm {d} k}}\right]=kE(k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14259fc7b0318212f66c2b207276f8f26d5934e3)
