Коса раван

Косина је нагнута равна раван - узбрдица односно низбрдица - која може послужити као чврста подлога за дизање или спуштање терета. Од времена ренесансе косина се убраја међу шест једноставних машина. У античко време било их је само пет - косина није била убројена, јер сама по себи нема покретних делова. Без обзира на то, косина има темељна обилежја машина, јер мења износ и смер силе те омогућава вршење рада помоћу мање силе.

Рампа за инвалидска колица, Хотел Монтескот, Шартр, Француска

Успињача користи принцип стрме равни (Будавари Сикло - Градска успињача у Пешти).

Примена косине у пракси је разнолика и распрострањена. То су разне рампе за укрцавање, нагиби на путевима, косине на крововима кућа, косине у грађевинарству, машинству итд.

У средњошколској настави и на почетним годинама многих студија, у предметима као што су физика или механика, косина се користи за анализу и вежбање примене Њутнових закона кретања. У ту сврху задају се примери различите сложености, у којима више сила под различитим угловима вуче или гура тело на косини - што није типична намена косине као машине, али је врло користан поступак за усвајање наставног градива. Наиме, служила је за проучавање униформног убрзаног кретања тела с убрзањем које је мање од убрзања Земљине силе теже:

$a=g\cdot \sin \alpha$

где је: а - убрзање на косини, g - убрзање силе теже, а α - нагиб косине.

Косина као машина: механичка предност косине

Механичка предност косине.

Ако се неки терет тежине $\scriptstyle {\vec {G}}$ подиже вертикално увис, за то је потребна сила $\scriptstyle {\vec {F}}_{u}$ супротног смера од тежине и једнаког износа, тј. $\scriptstyle F_{u}=G$ (лева страна скице десно). Подразумева се да „подизање” значи да се терет креће сталном брзином (једнолико), па векторски збир те две силе износи нула. (Наравно да на почетку подизања $\scriptstyle {\vec {F}}_{u}$ мора бити бар мало већа од тежине, да би покренула и убрзала терет, али на крају подизања треба бити исто толико мања, да би се терет успорио и зауставио. Зато су износи те две силе на целом путу подизања у просеку једнаки, а на највећем делу пута су и тренутно једнаки.) Из истих разлога, и код једноликог спуштања терета сила којом се вуче вертикално увис (придржава да не падне) мора бити на исти начин по износу једнака тежини терета.

Ако се, међутим, исти терет једнолико подиже (или спушта) по косини силом $\scriptstyle {\vec {F}}_{k}$ која је паралелна са косином (десна страна скице), износ те силе ће бити мањи од тежине терета, зависно од нагибу косине и трења. Ако се трење може занемарити (врло мали коефицијент трења клизања, или је терет постављен на точкове), тада је сила којом терет једнолико подиже или спушта по косини једнак

$F_{k}=G\sin \alpha =G{h \over s}$

где је $\scriptstyle h$ висина косине, $\scriptstyle s$ дужина косине (однос између висине и дужине косине h/s назива се успон косине), док је $\scriptstyle \alpha$ угао косине (тј. угао који коса раван затвара са водоравном површином). Тригонометријска функција $\scriptstyle \ sin{\alpha }$ тога угла једнака је односу висине и дужине косине, па оба израза у једначини имају исту вредност. (Опис помоћу димензија косине изгледа једноставније; међутим, у пракси је обично лакше измерити угао косине, па се чешће користе тригонометријске функције.)

Ако се тело клиза по косини а трење није занемариво, силу $\scriptstyle {\vec {F}}_{k}$ треба увећати за износ трења код подизања терета, те умањити за износ трења код спуштања терета.

Иако се од давнина из искуства знало да је терет лакше подизати по косини него директно увис, горе наведени тачни израз за износ силе $\scriptstyle {\vec {F}}_{k}$ (без трења) откривен је тек у време ренесансе (приписује се фламанском инжењеру Симону Стевину, 1586). Данас се тај израз доказује једноставном анализом сила на нивоу средњошколске физике (наредно поглавље), а подједнако је очигледан и доказ помоћу рада.

На горњој скици нису приказане све силе које делују на тело, него само сила која једнолико подиже тело, равно увис или по косини. У оба случаја сила ће извршити једнак рад (кад нема трења) јер телу мења само потенцијалну енергију, а та промена зависи само од висинске разлике, што је у овоме примеру висина косине. У овако једноставном случају рад се рачуна као сила пута пут, па је $\scriptstyle F_{u}h=F_{k}s$. Треба само уврстити $\scriptstyle G$ уместо $\scriptstyle F_{u}$, па се добије горња формула.

Главна предност машина код вршења рада, у односу на директно деловање силом, састоји се управо у томе да омогућују вршење једнаког рада мањом силом; наравно, због тога мања сила врши тај рад на дужем путу (подизање терета уз косину уместо равно увис). То својство машина назива се механичка предност машина (M.П.), и рачуна се тако да се износ веће силе (која би била потребна без машина) подели с мањом (која је довољна кад се користи машина). Дакле, уврштавајући $\scriptstyle F_{k}$ из горње формуле добија се

$M.P.kosine={G \over F_{k}}={s \over h}={1 \over {\ sin\alpha }}$.

У примеру на скици угао косине је 30°, односно дужина косине је дупло већа од висине, па је сила $\scriptstyle F_{k}$ упола мања од тежине. У том случају механичка предност косине је 2. Значи, механичка предност даје индикацију о томе колико је пута сила (која делује паралелно са дужином косине) мања од терета (а иста вредност силе би се требала применити уколико би вертикално дизало).

Анализа сила на косини

Растављање тежине на косини.

Косина је стандардни пример за илустрацију деловања сила на тело и примене Њутнових закона кретања у настави, при чему је улога косине као машине обично у другом плану. Овде је приказан уобичајени методолошки след излагања, које уједно објашњава и тврдње из горњег поглавља.

Растављање тежине на косини

Пре целовитог приказа сила које делују на тело на косини, корисно је анализирати само деловање тежине (скица десно). Тежина $\scriptstyle {\vec {G}}$ вуче тело вертикално према доле, али се оно не може кретати у том смеру јер му се испречила косина. За разумевање учинка тежине у таквим околностима, треба је раставити у две компоненте: тангенцијалну компоненту $\scriptstyle {\vec {G}}_{t}$ у смеру могућег кретања и нормалну компоненту $\scriptstyle {\vec {G}}_{n}$ вертикалну на смер кретања. (Такво растављање силе врло је уобичајено у анализи кретања, зато што само компонента силе у смеру тангенте на путању мења износ брзине и врши рад, док компонента у смеру нормале код кретања по кривој мења смер брзине и обликује путању.)

Због нормалне компоненте тежине $\scriptstyle {\vec {G}}_{n}$ тело само притишће на косину; а према закону акције и реакције косина узвраћа на притисак једнаком силом у супротном смеру - то је сила која спречава пропадање тела у косину. За разлику од тога, тангенцијална компонента $\scriptstyle {\vec {G}}_{t}$ убрзава тело низ косину, колико је у томе не ометају или спречавају друге силе (нпр. трење).

Како се види из скице, нормална компонента $\scriptstyle {\vec {G}}_{n}$ затвара са тежином $\scriptstyle {\vec {G}}$ угао који је једнак угљу косине (слични троуглови) и овде означен као $\scriptstyle \alpha$. Зато су износи тих компоненати

$G_{t}=G\sin \alpha$

$G_{n}=G\cos \alpha$

како следи из елементарне тригонометрије (катета уз угао је хипотенуза пута косинус, а насупротна је хипотенуза пута синус).

Силе на тело стављено на косину

Силе на тело стављено на косину.

Ако се тело стави на косину (и даље се не дира), оно ће или остати у мировању на томе месту, или ће се кретати низ косину једнолико убрзано. Исход зависи од нагиба косине и коефицијента трења, и лако се може одреди анализом сила које делују на тело.

На скици десно приказане су све силе које делују на тело остављено на косини. У нормалном смеру (вертикално на косину) на тело делује тежина $\scriptstyle {\vec {G}}$ својом компонентом $\scriptstyle {\vec {G}}_{n}$ (приказаном на горњој скици) и нормална реакција подлоге $\scriptstyle {\vec {N}}$. Сила $\scriptstyle {\vec {N}}$ је реакција на силу којом тело (у овом случају, само због тежине) притишће на подлогу, а која није приказана на скици јер се посматрају само силе које делују на тело. Будући да тело не добија убрзање у нормалном смеру, векторски збир компонената сила у том смеру износи нула, тј. $\scriptstyle N=G\cos \alpha$ (нормална компонента тежине и нормална реакција подлоге се поништавају).

У тангенцијалном смеру тело низ косину вуче тежина својом компонентом $\scriptstyle {\vec {G}}_{t}$, а противи јој се сила трења $\scriptstyle {\vec {T}}$ у супротном смеру. (То трење је део укупне реакције подлоге, очито тангенцијална компонента, али је уобичајено називати га само трењем). Тело масе $\scriptstyle m$ ће добијати убрзање $\scriptstyle {\vec {a}}$ низ косину ако је износ $\scriptstyle {\vec {G}}_{t}$ већи од трења:

$G\sin \alpha -T=ma$

како следи из другог Њутновог аксиома: векторски збир свих сила једнак је умношку масе и вектора убрзања $\scriptstyle {\vec {a}}$ тела (код транслације). Векторско збрајање спроводи се тако да се збрајају компоненте сила, овде у смеру тангенте и нормале, приказане као позитивни или негативни бројеви, тзв. скаларне компоненте. Скаларна компонента је број једнак износу векторске компоненте, а предзнак се одређује тако да оне у смеру убрзања буду позитивне, а у супротном смеру негативне.

Горња једначина описује клизање тела, па се износ трења рачуна као $\scriptstyle T=\mu N$. Ако се за износ тежине уврсти $\scriptstyle G=mg$ (па је $\scriptstyle N=G\cos \alpha =mg\cos \alpha$), из горње једначине се добија

$a=g(\sin \alpha -\mu \cos \alpha )$.

Друга је могућност да тело стављено на косину остане у мировању. Тада на њега делује статичко трење. Статичко трење је тачно онолико колико је потребно да се спречи клизање, тј. по износу је једнако $\scriptstyle G_{t}=G\sin \alpha$. Ако се, међутим, замисли да се $\scriptstyle G_{t}$ повећава, нпр. повећава се угао косине, повећава се и статичко трење, али оно може нарасти само до граничног износа $\scriptstyle T_{M}=\mu _{S}N$. Тако се (за проматране материјале тела и подлоге) одређује гранични угао статичког трења при којем тело још мирује (што се може користити за мерење коефицијента статичког трења).

I најмање даљње повећање угла косине доводи до клизања тела. Тада се статичко трење претвара у трење клизања, којем је износ за уобичајене материјале осетно мањи од $\scriptstyle T_{M}$ (јер је коефицијент трења клизања мањи од коефицијента статичког трења). Зато сила $\scriptstyle G_{t}$ одједном постаје осетно већа од трења, и тело убрзава низ косину. Из тога следи да се не може одабрати такав угао косине да тело које са постави на њу једнолико клиже низ косину: оно ће или мировати или убрзавати. (Једнолико кретање би се могло остварити само ако се пре тога погура тело, да би се статичко трење претворило у трење клизања и попримило нижу вредност од граничне, а угао косине је одабран тако да буде $\scriptstyle G\sin \alpha =T$ за трење клизања.)

Пример

Тело уз косину вуче сила F.

За илустрацију кориштења косине у физици, на скици десно приказан је један једноставан пример. Задатак почиње скицом тела на косини и сила које га вуку или гурају у различитим смеровима. Овдје је ради једноставности задата само једна таква сила, означена као $\scriptstyle {\vec {F}}$ и приказана у црвеној боји, која затвара угао $\scriptstyle \beta$ са косином. Уз то, задан је и смер брзине $\scriptstyle {\vec {v}}$ и убрзања $\scriptstyle {\vec {a}}$ тела. Остале силе које делују на тело су $\scriptstyle {\vec {G}},{\vec {N}},{\vec {T}}$ (плава боја, трење у супротном смеру од брзине).

За сваки вектор (за сваку силу, те за убрзање) треба одредити износ и предзнак скаларне компоненте, најприје дуж осе $\scriptstyle x$ а потом дуж осе $\scriptstyle y$. Ако је сила паралелна са осом, износ скаларне компоненте једнак је износу силе (она се пројектује на осу у целом износу); ако је сила окомита на осу, скаларна компонента је нула (сила се пројектује у тачку). Ако није ниједно од тога, треба уочити с којом осом сила затвара задати угао (овде $\scriptstyle \alpha$ или $\scriptstyle \beta$); износ скаларне компоненте (пројекције) на тој оси добије се тако да се износ силе помножи са косинусом угла (катета уз угао), а на оној другој оси тако да се износ силе помножи са синусом угла (катета насупрот углу).

Предзнак скаларне компоненте се одређује још једноставније: ако је сила или њезина пројекција на осу у смеру осе, предзнак је позитиван; у супротном случају је негативан. Исто вреди и за убрзање: зато је осе $\scriptstyle x$ усмерена на исту страну као и убрзање, да би његова скаларна компонента била позитивна. Пројекцију вектора на осу лако је замислити као сенку коју би усмерена дужина бацала на ту осу под окомитим снопом светла.

Из једначина приказаних на дну скице лако се одреди износ убрзања. Најпре се из једначине за $\scriptstyle y$ компоненте одреди износ нормалне реакције подлоге

$N=G\cos \alpha -F\sin \beta$

који описује коликим се силама тело и подлога међусобно стишћу, и помоћу којега се рачуна износ силе трења клизања. (Један од циљева је да се покаже како трење не зависи само од нормалне компоненте тежине, него и од нормалних компоненти других сила.) Потом се добијени износ трења $\scriptstyle T=\mu N=\mu (G\cos \alpha -F\sin \beta )$ уврсти у једначину за $\scriptstyle x$ компоненте, из које се добија:

$a={{F(\cos \beta +\mu \sin \beta )-G(\sin \alpha +\mu \cos \alpha )} \over m}\,.$

Косина као машина: Подизање и спуштање терета

У типичној употреби косине као машине најчешће се користи вучна сила паралелна са косином, помоћу које се терет подиже уз косину и придржава док се спушта низ косину. Притом ће се терет највећим делом пута кретати униформно, али га на почетку кретања треба убрзати (покренути), а на крају кретања успорити (зауставити). Овде се укратко описују све фазе кретања.

Кретање терета на косини.

У овом опису укључено је и трење (а може се и напросто изоставити ако је занемариво мало). Ради одређености, претпоставља се да се ради о трењу клизања које је осетно мање од тангенцијалне компоненте тежине, те се рачуна по формули $\scriptstyle T=\mu N=\mu G\cos \alpha$ будући да вучна сила нема нормалне компоненте.

Скица десно у горњем делу приказује подизање терета вучном силом $\scriptstyle {\vec {F}}$, и то под А) убрзано подизање, под Б) успорено подизање, док се једнолико подизање добија стављањем $\scriptstyle a=0$ у један или други од та два случаја. У доњем делу скице приказано је спуштање терета који придржава сила $\scriptstyle {\vec {F}}$, и то под C) убрзано спуштање, под D) успорено спуштање, док се једнолико спуштање добија стављањем $\scriptstyle a=0$ у један или други од та два случаја.

За математички опис кретања довољно је написати само једначину кретања за скаларне компоненте дуж осе $\scriptstyle x$, будући да је износ трења већ одређен (па зато и није назначена нормална оса $\scriptstyle y$):

$F-G\sin \alpha -T=ma$        убрзано подизање (А);

$F-G\sin \alpha -T=0$        једнолико подизање (А или Б, $\scriptstyle a=0$);

$G\sin \alpha +T-F=ma$        успорено подизање (Б);

$G\sin \alpha -T-F=ma$        убрзано спуштање (C);

$G\sin \alpha -T-F=0$        једнолико спуштање (C или D, $\scriptstyle a=0$);

$F+T-G\sin \alpha =ma$        успорено спуштање (D).

У случају да је трење занемариво, једначине за једнолико дизање и спуштање терета по косини (друга и пета једначина) дају $\scriptstyle F=G\sin \alpha$, што је вучна сила која је горе била означена са $\scriptstyle F_{k}$.

Напомена: У овоме чланку користи се уобичајени приступ да се свака векторска величина означава стрелицом изнад слова (нпр. $\scriptstyle {\vec {F}}$), а њен износ је позитиван број означен истим словом без стрелице (нпр. $\scriptstyle F$). Зато је износ вектора убрзања (означен као $\scriptstyle a$) увек позитиван број, без обзира на то да ли тело убрзава или успорава. Уз то, тангенцијална оса $\scriptstyle x$ оријентисана је увек у смеру убрзања („позитивни смер”), зато да се на десној страни закона кретања не би појавио негативни израз „$\scriptstyle -ma$”.

Види још

• осовина
• чекрк
• вијак
• полуга
• клин
• једноставна машина

Спољашње везе

• Ан интерацтиве симулатион оф Пхyсицс инцлинед плане