Модули еластичности

Модули еластичности (такође познат као еластични модули) су квантитативна мера отпорности једног објекта или супстанце на еластичне деформације (и.е., оне које нису перманентне) када су изложене стресу. Модул еластичности једног објекта је дефинисан као нагиб његовог дијаграма напрезања у региону еластичних деформација: А стиффер материал wилл хаве а хигхер еластиц модулус. Ан еластиц модулус хас тхе форм:

$\lambda \ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\frac {\text{stres}}{\text{naprezanje}}}$

где је стрес сила која узрокује деформацију подељена површином на којој сила делује, а напрезање је однос промене у неком параметру узрокован деформацијом релативно ан оригиналну вредност тог параметра. Ако се стрес мери у паскалима, како је напрезање бездимензионална величина, јединице за λ ће такође бити паскал.

Навођење начина мерења стреса и напрезања, укључујући правце, омогућава да се дефинишу многи типови еластичних модула. Три основна су:

• Јангов модул (Е) описује затезну еластичност, или тенденцију објекта да се деформише дуж осе када су супротне силе примењене дуж те осе; он се дефинише као однос затезног стреса према затезној деформацији. Често се назива само модулом еластичности.
• Модул смицања или модул крутости (Г или $\mu \,$) описује тенденцију смицања датог објекта (деформација облика при константној запремини) када на њига делују супротне силе; он је дефинисан као смицајни стрес по деформацији смицања. Модул смицања је део деривације вискозности.
• Модул стишљивости (К) описује волуметријску еластичност, или тенденцију објекта да се деформише у свим правцима када се равномерно оптерећује у свим правцима; он се дефинише као волуметријски стрес по волуметријској деформацији и представља инверзну компресибилност. Модул стишљивости је проширење Јанговог модула на три димензије.

Три друга модула су Пуасонов однос, Ламеов параметар, и модул П-таласа.

Хомогени и изотропни (слични у свим правцима) материјали (чврсте материје) имају своја (линеарна) еластична својства у потпуности описана са два модула еластичности, и може се изабрати било који пар. Полазећи од пара модула еластичности, сви остали модули еластичности могу се израчунати према предефинисам формулама. Невискозни флуиди су посебни по томе што не пружају отпор на напон смицања, што значи да је модул смицања увек нула. Из тога такође следи да су Јангови модули за ову групу увек једнаки нули. У неким енглеским текстовима овде описана количина назива се еластична константа, док се инверзна количина назива модулом еластичности.

Јангов модул еластичности

Јангов модул еластичности представља мјеру крутости материјала и једнак је односу вучног напрезања и линијске вучне деформације, у линеарном или еластичном дијелу дијаграма напрезања. Крутост материјала је важна величина при одређивању стабилности и сигурности неке конструкције. Јангов модул еластичности вреди и за компресиона напрезања код већине материјала:

$E\equiv {\frac {\mbox{zatezno naprezanje}}{\mbox{produzenje}}}={\frac {\sigma }{\varepsilon }}={\frac {F/A_{0}}{\Delta L/L_{0}}}={\frac {FL_{0}}{A_{0}\Delta L}}$

где је:

E — Јангов модул еластичности (N/mm²);

F — сила која продужава шипку или штап (N);

A₀ — почетни попречни пресек шипке или штапа у мировању (mm²);

ΔL — продужење шипке или штапа (m);

L₀ — почетна дужина шипке или штапа (m);

σ — напрезање у шипки или штапу (N/mm²),

ε — однос продужења шипке или штапа и њене дужине (без димензије или ΔL/Lo).

Јангов модул еластичности је назван према британском научнику Томасу Јангу, иако је сам појам развио математичар Леонард Ојлер, а први је експерименте извео Италијан Ђордано Рикати 1782, 25 година пре Томаса Јанга.

Модул смицања

Схеар страин

Модул смицања се дефинише као смицајни стрес по деформацији смицања:

$G\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\tau _{xy}}{\gamma _{xy}}}={\frac {F/A}{\Delta x/l}}={\frac {Fl}{A\Delta x}}$

где је

$\tau _{xy}=F/A\,$ — смицајни стрес

$F$ — сила која делује на објекат

$A$ — површина на коју сила делује

$\gamma _{xy}$ — деформација смицања. У инжењерству $:=\Delta x/l=\tan \theta$, другде $:=\theta$

$\Delta x$ — попречни помак

$l$ — иницијална дужина

Модул стишљивости

Модул стишљивости ($K$ или $B$) супстанције је мера колико је та супстанција отпорна на компресију. Дефинише се као однос инфинитезималног повећања притиска и резултујућег релативног смањења запремине. Други модули описују одговор материјала (в. деформације) на разне врсте напрезања: модул смицања описује резултате смицања, а Јангов модул резултате линеарног напрезања. За течности, само модул стишљивости има смисла. За комплексне анисотропичне чврсте материје као што је дрво или папир, ова три модула не садрже довољно информација да се опише њихово понашање, па мора да се користи потпуно генерализовани Хуков закон.

Види још

• Динамички модуо
• Еластични лимит
• Еластични талас
• Хуков закон
• Крутост
• Затезна чврстоћа

Literatura

• Hartsuijker, C.; Welleman, J. W. (2001). Engineering Mechanics. Volume 2. Springer. ISBN 978-1-4020-4123-5. 
• De Jong, Maarten; Chen, Wei (2015). „Charting the complete elastic properties of inorganic crystalline compounds”. Scientific Data. 2: 150009. Bibcode:2013NatSD...2E0009D. PMC 4432655 . doi:10.1038/sdata.2015.9. 
• Chakrabarty, J. (2006). Theory of plasticity (3. izd.). Butterworth-Heinemann. str. 17—32. ISBN 0-7506-6638-2. 
• Beer, Ferdinand Pierre; Elwood Russell Johnston; John T. DeWolf (1992). Mechanics of Materials. McGraw-Hill Professional. ISBN 0-07-112939-1. 
• Brady, B.H.G.; E.T. Brown (1993). Rock Mechanics For Underground Mining (3. izd.). Kluwer Academic Publisher. str. 17—29. ISBN 0-412-47550-2. 
• Chen, Wai-Fah; Baladi, G.Y. (1985). Soil Plasticity, Theory and Implementation. ISBN 0-444-42455-5. 
• Chou, Pei Chi; Pagano, N.J. (1992). Elasticity: tensor, dyadic, and engineering approaches. Dover books on engineering. Dover Publications. str. 1—33. ISBN 0-486-66958-0. 
• Davis, R. O.; Selvadurai. A. P. S. (1996). Elasticity and geomechanics. Cambridge University Press. str. 16—26. ISBN 0-521-49827-9. 
• Диетер, Г. Е. (3 ед.). (1989). Мецханицал Металлургy. Неw Yорк: МцГраw-Хилл. ISBN 0-07-100406-8.
• Holtz, Robert D.; Kovacs, William D. (1981). An introduction to geotechnical engineering. Prentice-Hall civil engineering and engineering mechanics series. Prentice-Hall. ISBN 0-13-484394-0. 
• Jones, Robert Millard (2008). Deformation Theory of Plasticity. Bull Ridge Corporation. str. 95—112. ISBN 0-9787223-1-0. 
• Jumikis, Alfreds R. (1969). Theoretical soil mechanics: with practical applications to soil mechanics and foundation engineering. Van Nostrand Reinhold Co. ISBN 0-442-04199-3. 
• Ландау, L.D. анд Е.M.Лифсхитз. (1959). Тхеорy оф Еластицитy.
• Love, A. E. H. (4. изд.). (1944). Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-60174-9.
• Marsden, J. E.; Hughes, T. J. R. (1994). Mathematical Foundations of Elasticity. Dover Publications. str. 132—142. ISBN 0-486-67865-2. 
• Parry, Richard Hawley Grey (2004). Mohr circles, stress paths and geotechnics (2. izd.). Taylor & Francis. str. 1—30. ISBN 0-415-27297-1. 
• Rees, David (2006). Basic Engineering Plasticity – An Introduction with Engineering and Manufacturing Applications. Butterworth-Heinemann. str. 1—32. ISBN 0-7506-8025-3. 
• Timoshenko, Stephen P.; James Norman Goodier (1970). Theory of Elasticity (3. izd.). McGraw-Hill International Editions. ISBN 0-07-085805-5. 
• Timoshenko, Stephen P. (1983). History of strength of materials: with a brief account of the history of theory of elasticity and theory of structures. Dover Books on Physics. Dover Publications. ISBN 0-486-61187-6. 
• Галлас, Марциа Р.; Пиермарини, Гаспер Ј. (1994). „Булк Модулус анд Yоунг'с Модулус оф Наноцрyсталлине γ-Алумина”. Јоурнал оф тхе Америцан Церамиц Социетy (на језику: енглески). 77 (11): 2917—2920. ИССН 1551-2916. дои:10.1111/ј.1151-2916.1994.тб04524.x. 
• „Грапхите Пропертиес Паге бy Јохн А. Јасзцзак”. пагес.мту.еду. Приступљено 2021-07-16. 
• Х., Цоуртнеy, Тхомас (2013). Мецханицал Бехавиор оф Материалс (2нд ед. Реимп изд.). Неw Делхи: МцГраw Хилл Едуцатион (Индиа). ИСБН 978-1259027512. ОЦЛЦ 929663641. 

Спољашње везе

• Matweb: free database of engineering properties for over 115,000 materials
• Young's Modulus for groups of materials, and their cost