Нееуклидска геометрија

Термин нееуклидска геометрија обухвата хиперболичку и елиптичку геометрију, које су негација еуклидске геометрије. Суштинска разлика између еуклидске и нееуклидске геометрије је природа паралелних правих. У еуклидској геометрији, ако узмемо праву l и тачку A, која не лежи на l, онда можемо нацртати тачно једну праву кроз тачку A која је паралелна са правом l. У хиперболичкој геометрији, насупрот томе, има бесконачно много правих кроз A паралелних са l, док у елиптичкој геометрији паралелне праве уопште не постоје.

У сферној геометрији, на површини сфере нема паралелних линија

Други начин да опишемо разлике између ових геометрија је следећи. Замислимо две линије на дводимензионалној површи које су обе под правим углом на трећу линију. У еуклидској и хиперболичкој геометрији ове две линије су тада паралелне. У еуклидској геометрији линије остају на константној удаљености, секући се само у бесконачности, док у хиперболичкој геометрији оне се „закривљују“, удаљавајући се једна од друге што се више удаљавају од места пресека са заједничком нормалом; за њих се каже да су хиперпаралелне. У елиптичкој геометрији линије се „закривљују“, приближавајући се једна другој и коначно се секу. Према томе паралелне праве у елиптичкој геометрији не постоје.

Историја

Док еуклидска геометрија (названа по старогрчком математичару Еуклиду) спада међу најстарије познате области математике, нееуклидска геометрија није била шире прихваћена и призната све до 19. века. Мада, расправа која је могла да евентуално доведе до открића нееуклидске геометрије почела је скоро истог тренутка када је чувено Еуклидово дело „Елементи“ било објављено. У „Елементима“, Еуклид започиње са ограниченим бројем претпоставки (23 дефиниције, 5 основних појмова и 5 постулата) и тежи ка томе да докаже све остале резултате (пропозиције). Најпроблематичнији, али зато и најпознатији од постулата, обично се назива „Еуклидов пети постулат“, или једноставно „аксиома паралелности“, и он у Еуклидовој оригиналној формулацији гласи:

Ако права линија сече две друге праве линије на такав начин да је збир унутрашњих углова са исте стране мањи од два права угла, тада праве линије, продужене до бесконачности, секу се са оне стране са које су углови мањи од два права угла.

Други математичари касније су извели постулате који су еквивалентни овом постулату, али имају једноставнију форму. Међутим у било којој форми показало се да је овај Еуклидов пети постулат много сложенији од његових осталих постулата (међу којима се налази на пример и постулат: „Кроз било које две тачке може се повући права линија“).

Неколико стотина година, геометри (математичари) су се мучили око сложености петог постулата, верујући да се он може доказати као теорема изведена из остала четири постулата. Многи су покушавали да пронађу доказ заснован на методу свођења на противуречност. Међу њима је најпознатији био Италијан Ђовани Сакери. У раду насловљеном „Euclides ab Omni Naevo Vindicatus“ (Еуклид ослобођен од свих грешака), објављеном 1733, он одмах одбацује елиптичку геометрију као могућност (неке од осталих Еуклидових аксиома морале би бити модификоване да би елиптичка геометрија функционисала) и баца се на посао доказујући велики број резултата у хиперболичкој геометрији. Његова коначна поента је у томе да ови резултати који су у супротности са теоремама еуклидске геометрије доказују немогућност хиперболичке геометрије. Међутим, никакве логичке противуречности унутар ових резултата није било. Тако покушавајући да докаже Еуклидову геометрију он уместо тога у ствари ненамерно открива једну нову геометрију света. Ипак у то време још увек је широко било распрострањено веровање да наш свет или универзум функционише у складу са принципима еуклидске геометрије.

Сто година касније, тачније 1829. године, Рус Николај Иванович Лобачевски објављује студију о хиперболичкој геометрији. Из тог разлога, хиперболичка геометрија се често назива и „геометрија Лобачевског“. Отприлике у исто време, Мађар Јанош Бољаји такође пише своју студију о хиперболичкој геометрији, коју објављује 1832. као додатак на један рад свог оца. Велики математичар Карл Фридрих Гаус чита овај додатак и одговара Бољајију да је од до истих резултата и он лично дошао нешто раније.

Међутим приоритет у овом открићу припао је Лобачевском због ранијег објављивања свог рада. Основна разлика између овог и ранијих радова, као што је Сакеријев, је у томе што он први без икакве сумње тврди да Еуклидова геометрија није једина могућа геометрија, нити је једина опажајна структура нашег Универзума. Лобачевски назива еуклидску геометрију „обичном геометријом“, а своју нову хиперболичку геометрију „имагинарном геометријом“. Ипак, још увек се задржала могућност да су аксиоми хиперболичке геометрије логички некозистентни. Као што он напомиње, још доста посла требало би да буде урађено да би се потпуније засновала елиптичка геометрија.

Бернхард Риман, у својој чувеној лекцији из 1854, заснива област Риманове геометрије, разматрајући посебно идеје које се сада називају многострукост, Риманова метрика, и закривљеност. Он конструише бесконачну фамилију нееуклидских геометрија задајући овој фамилији формулу Риманове метрике на јединичној лопти у еуклидском простору. Понекад је њему неправедно приписивана част да је једини откривач елиптичне геометрије; али у ствари, ова његова конструкција показује далековидост његовог рада и чињеницу да су његове теореме важеће за све врсте геометрија.

Уобичајени модел за еуклидску геометрију је „равна површ“. С друге стране, најједноставњији модел за елиптичку геометрију је сфера, где су праве линије (нееуклидске праве) „велике кружнице“ (такве као што су екватор или меридијани на глобусу), док се тачке супротне једна другој подударају (сматрају се истим тачкама).

Чак и након радова Лобачевског, Гауса и Бољајиа, остало је питање: Да ли постоји модел очигледног представљања хиперболичке геометрије? На ово питање одговорио је Еугенио Белтрами, 1868, који је показао да површина названа псеудосфера има одговарајућу закривљеност за један модел делимичног хиперболичког простора, а у другом чланку објављеном исте године, дефинисан је Клајнов модел (Феликс Клајн), Поенкареов диск модел и Поенкареов полуравански модел (Анри Поенкаре) који чине у потпуности моделе очигледног представљања хиперболичке геометрије, а уједно показују да су еуклидска геометрија и хиперболичка геометрија еквиконзистентне, што значи да је хиперболичка геометрија логички конзистентна уколико је то и еуклидска геометрија. (Обрнута импликација следи из хоросферског модела еуклидске геометрије)

Развој нееуклидских геометрија показао се веома значајним за физику 20. века. Задајући ограничења брзини светлости, сабирање брзина захтевало је нужно коришћење хиперболичке геометрије. Ајнштајнова Општа теорија релативности описује простор као генерално раван (еуклидски), али и елиптички закривљен (нееуклидски) у областима у близини којих је присутна материја. С обзиром да се васиона шири (погледати чланак Хаблов закон), чак и простор где не постоји материја или маса може се описивати уз помоћ хиперболичког модела. Ова врста геометрије, где се закривљеност мења од тачке до тачке названа је римановска геометрија.

Постоје такође и други математички модели површи на којима Еуклидов постулат паралелности више не важи, као на пример Денова површ (Dehn plane) која се састоји од свих тачака (x, y), где су x и y коначни надреални бројеви.

Види још

• Хиперболичка геометрија

Литература

• James W. Anderson, Hyperbolic Geometry, second edition, Springer, 2005
• Eugenio Beltrami, Teoria fondamentale degli spazî di curvatura costante, Annali. di Mat., ser II 2 (1868), 232-255
• Ian Stewart, Flatterland. New York: Perseus Publishing, 2001. ISBN 0-7382-0675-X (softcover)
• Greenberg, Marvin J. (15. 7. 1993). Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History. Macmillan. ISBN 0-7167-2446-4. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• A'Campo, Norbert and Papadopoulos, Athanase, (2012) Notes on hyperbolic geometry, in: Strasbourg Master class on Geometry, pp. 1–182, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, Vol. 18, Zürich: European Mathematical Society (EMS), 461 pages, SBN ISBN 978-3-03719-105-7, . doi:10.4171 (неактивно 2023-09-03) .  –105.
• Milnor, John W. (1982). „Hyperbolic geometry: The first 150 years”. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). 6 (1): 9—24. S2CID 122633847. doi:10.1090/S0273-0979-1982-14958-8. 
• Reynolds, William F., (1993) Hyperbolic Geometry on a Hyperboloid, American Mathematical Monthly 100:442–455.
• Stillwell, John (1996). Sources of hyperbolic geometry. History of Mathematics. 10. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0529-9. MR 1402697. 
• Samuels, David, (March 2006) Knit Theory Discover Magazine, volume 27, Number 3.
• James W. Cannon, William J. Floyd, Richard Kenyon, and Walter R. Parry (1997) Hyperbolic Geometry, MSRI Publications, volume 31.
• Ball, W.W. Rouse (1960). A Short Account of the History of Mathematics (4th ed. [Reprint. Original publication: London: Macmillan & Co., 1908] изд.). New York: Dover Publications. стр. 50-62. ISBN 978-0-486-20630-1. 
• Nagel, E.; Newman, J.R. (1958). Gödel's Proof. New York University Press. 
• Coxeter, H.S.M. (1961). Introduction to Geometry. New York: Wiley. 
• Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed. [Facsimile. . Original publication: Cambridge University Press. 1925. ] изд.). New York: Dover Publications.  In 3 vols.: vol. 1 ISBN 0-486-60088-2, вол. 2 ISBN 0-486-60089-0, вол. 3 ISBN 0-486-60090-4. Heath's authoritative translation of Euclid's Elements, plus his extensive historical research and detailed commentary throughout the text.
• Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation. W.H. Freeman. 
• Mlodinow (2001). Euclid's Window. The Free Press. ISBN 9780684865232. 
• Tarski, Alfred (1951). A Decision Method for Elementary Algebra and Geometry. Univ. of California Press. 
• Eves, Howard (1990). An Introduction to the History of Mathematics. Saunders. стр. 141. ISBN 978-0-03-029558-4. 
• Tabak, John (2014). Geometry: the language of space and form. Infobase Publishing. стр. xiv. ISBN 978-0-8160-4953-0. 
• Turner, Martin J.; Blackledge, Jonathan M.; Andrews, Patrick R. (1998). Fractal Geometry in Digital Imaging. Academic Press. стр. 1. ISBN 978-0-12-703970-1. 
• Boyer, C. B. (1991) [1989]. A History of Mathematics (Second edition, revised by Uta C. Merzbach изд.). New York: Wiley. ISBN 978-0-471-54397-8. 
• Nikolai I. Lobachevsky, Pangeometry, translator and editor: A. Papadopoulos, Heritage of European Mathematics Series, Vol. 4, European Mathematical Society, 2010.
• Каппрафф, Јаy (2014). А Партиципаторy Аппроацх то Модерн Геометрy. Wорлд Сциентифиц Публисхинг. ИСБН 978-981-4556-70-5. Збл 1364.00004. дои:10.1142/8952. .
• Leonard Mlodinow, Euclid's Window – The Story of Geometry from Parallel Lines to Hyperspace, UK edn. Allen Lane, 1992.
• Staal, Frits (1999), „Greek and Vedic Geometry”, Journal of Indian Philosophy, 27 (1–2): 105—127, S2CID 170894641, doi:10.1023/A:1004364417713 
• Bonola, R. (1912). Non-Euclidean geometry: A critical and historical study of its development. Chicago: Open Court. 
• Greenberg, Marvin Jay (2003). Euclidean and non-Euclidean geometries: development and history (3rd изд.). New York: Freeman. ISBN 0716724464. „Out of nothing I have created a strange new universe. JÁNOS BOLYAI” 
• Coxeter, H. S. M., (1942) Non-Euclidean geometry, University of Toronto Press, Toronto
• Fenchel, Werner (1989). Elementary geometry in hyperbolic space. De Gruyter Studies in mathematics. 11. Berlin-New York: Walter de Gruyter & Co. 
• Fenchel, Werner (2003). Asmus L. Schmidt, ур. Discontinuous groups of isometries in the hyperbolic plane. De Gruyter Studies in mathematics. 29. Berlin: Walter de Gruyter & Co. 
• Lobachevsky, Nikolai I., (2010) Pangeometry, Edited and translated by Athanase Papadopoulos, Heritage of European Mathematics, Vol. 4. Zürich: European Mathematical Society (EMS). xii, 310~p, ISBN 978-3-03719-087-6/хбк
• Алеxандерсон, Гералд L.; Греенwалт, Wиллиам С. (2012), „Абоут тхе цовер: Биллингслеy'с Еуцлид ин Енглисх”, Буллетин оф тхе Америцан Матхематицал Социетy, Неw Сериес, 49 (1): 163—167, дои:10.1090/С0273-0979-2011-01365-9  
• Артманн, Бенно (1999). Еуцлид – Тхе Цреатион оф Матхематицс. Неw Yорк, Берлин, Хеиделберг: Спрингер. ИСБН 0-387-98423-2. 
• Балл, Wалтер Wиллиам Роусе (1915) [1ст ед. 1888]. А Схорт Аццоунт оф тхе Хисторy оф Матхематицс (6тх изд.). МацМиллан. 
• Боyер, Царл Б. (1991). „Еуцлид оф Алеxандриа”. А Хисторy оф Матхематицс (Сецонд изд.). Јохн Wилеy & Сонс. ИСБН 0-471-54397-7. 
• Додгсон, Цхарлес L.; Хагар, Амит (2009). „Интродуцтион”. Еуцлид анд Хис Модерн Ривалс. Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 978-1-108-00100-7. 
• Хартсхорне, Робин (2000). Геометрy: Еуцлид анд Беyонд (2нд изд.). Неw Yорк, НY: Спрингер. ИСБН 9780387986500. 
• Хеатх, Тхомас L. (1956а). Тхе Тхиртеен Боокс оф Еуцлид'с Елементс. 1. Боокс I анд II (2нд изд.). Неw Yорк: Довер Публицатионс. ОЛ 22193354М. 
• Хеатх, Тхомас L. (1956б). Тхе Тхиртеен Боокс оф Еуцлид'с Елементс. 2. Боокс III то IX (2нд изд.). Неw Yорк: Довер Публицатионс. ОЛ 7650092М. 
• Хеатх, Тхомас L. (1956ц). Тхе Тхиртеен Боокс оф Еуцлид'с Елементс. 3. Боокс X то XIII анд Аппендиx (2нд изд.). Неw Yорк: Довер Публицатионс. ОЦЛЦ 929205858. 
• Хеатх, Тхомас L. (1963). А Мануал оф Греек Матхематицс. Довер Публицатионс. ИСБН 978-0-486-43231-1. 
• Кетцхам, Хенрy (1901). Тхе Лифе оф Абрахам Линцолн. Неw Yорк: Перкинс Боок Цомпанy. 
• Насир ал-Дин ал-Туси (1594). Китāб таḥрīр уṣūл ли-Уqлīдус [Тхе Реценсион оф Еуцлид'с "Елементс"]. Тхе Либрарy оф Цонгресс (на језику: арапски). 
• Реyнолдс, Леигхтон Дурхам; Wилсон, Нигел Гуy (9. 5. 1991). Сцрибес анд сцхоларс: а гуиде то тхе трансмиссион оф Греек анд Латин литературе (2нд изд.). Оxфорд: Цларендон Пресс. ИСБН 978-0-19-872145-1. ЦС1 одржавање: Формат датума (веза)
• Русселл, Бертранд (2013). Хисторy оф Wестерн Пхилосопхy: Цоллецторс Едитион. Роутледге. ИСБН 978-1-135-69284-1. 
• Сарма, К.V. (1997). Селин, Хелаине, ур. Енцyцлопаедиа оф тхе хисторy оф сциенце, тецхнологy, анд медицине ин нон-wестерн цултурес. Спрингер. ИСБН 978-0-7923-4066-9. 
• Сервíт, Франтишек (1907). Еуклеидовy Закладy (Елемента) [Еуцлид'с Елементс] (ПДФ) (на језику: чешки). 
• Сертöз, Али Синан (2019). Öклидин Елеманлари: Цилтли [Еуцлид'с Елементс] (на језику: турски). Тüбитак. ИСБН 978-605-312-329-3. 
• Тоуссаинт, Годфриед (1993). „А неw лоок ат еуцлид'с сецонд пропоситион”. Тхе Матхематицал Интеллигенцер. 15 (3): 12—24. ИССН 0343-6993. С2ЦИД 26811463. дои:10.1007/БФ03024252. 
• Wаерден, Бартел Леендерт (1975). Сциенце аwакенинг. Ноордхофф Интернатионал. ИСБН 978-90-01-93102-5. 
• Wилсон, Нигел Гуy (2006). Енцyцлопедиа оф Анциент Грееце. Роутледге. 
• Еуклид (1999). Елементи I-VI. Превод: Худолетњак Гргић, Маја. КруЗак. ИСБН 953-96477-6-2. 

Спољашње везе

• MacTutor Archive article on non-Euclidean geometry
• Bootlean Geometry, a humorous cartoon Архивирано на сајту Wayback Machine (3. мај 2007)