Проблем два тела

Проблем два тела, или тачније речено гравитацијски проблем два тела, основа је небеске механике. Примењује се код кретања планета око Сунца, кретања природних сателита, те двојних звезда. Код проучавања Њутновог закона гравитације (општег закона гравитације) прећутно се држи да је маса сателита занемарива у односу на масу средишњег тела (m ≪ M). Такво кретање може се разматрати као проблем једног тела, а његово тумачење је, свакако, најједноставније. Претпоставка није испуњена већ у систему Земље и Месеца. Иако Месец има 81 пут мању масу него Земља, његов је утицај на кретање Земље око Сунца мерљив. Проблем два тела је проучавање кретања у систему два тела ако однос њихових маса није бесконачан или једнак нули. Код проблема два тела тачно вреде Кеплерови закони.

Два небеска тела сличних маса окрећу се око заједничког барицентра (центра масе) с елиптичним путањама (типично за двојне звезде).

Барицентар, тежиште или средиште масе, у астрономији је тачка око које се крећу тела двојног или вишеструког система. На слици је сличан систем као Сунце - Земља.

Барицентар система Земље и Месеца налази се унутар Земљине површине на удаљености 4670 км од средишта. Та се тачка система, а не средиште Земље, креће по елиптичној стази око Сунца.

Два небеска тела различитих маса окрећу се око заједничког барицентра (центра масе). На слици је сличан систем као Плутон - Харон.

Проблем три тела у небеској механици, за разлику од проблема два тела, нема опште аналитичко решење. Ограничени облик проблема разматра кретање три тела, с тиме да је треће тело тачкасто и без масе. За треће је тело Жозеф Луј Лагранж нашао да може непоремећено да опстане у систему, на положају 5 тачака у равни у којој се сва тела крећу (Лагранжове тачке). Потврда је тога постојање Тројанских планетоида, који се налазе на Јупитеровој стази, 60° испред и иза Јупитера, а слично се понашају и неки планетни сателити. Како у Сунчевом систему има много тела, установљено је да је стаза свакога тела поремећена осталим телима, и то тим јаче што је тело мање масе. Зато су Кеплерови закони само приближни. Отклони су мали једино због тога што су масе свих тела много мање од Сунчеве. Након Исака Њутна, небеска механика развијала се у математичкој обради поремећаја (пертурбација), као отклона од математичког решења проблема два тела, што заправо значи отклон од елипсе. Будући да су поремећаји мали, користи се елипса којој се параметри поступно мењају; тренутна се елипса назива оскулирајућом. Диференцијалне једначине које изражавају временске промене свих параметара елипсе извео је Жозеф Луј Лагранж (Лагранжове планетарне једначине); оне су тачне (егзактне), али могу се решити једино нумерички, узастопним приближавањима (сукцесивним апроксимацијама), и то за ограничено временско раздобље.

Два небеска тела различитих маса

У најједноставнијем случају два се тела крећу концентричним кружницама. Центрипетално убрзање узроковано је гравитационом силом. Сила између маса M₁ и M₂ узајамна је и једнака:

$F=G{\frac {M_{1}M_{2}}{r^{2}}}\$

Убрзање једног тела је:

$g_{1}=G{\frac {M_{2}}{r^{2}}}\$

а убрзање другог тела је:

$g_{2}=G{\frac {M_{1}}{r^{2}}}\$

Свако поједино убрзање одређено је масом оног другог тела. Сила између тела је стална и оба су убрзања стална, ако је размак тела r сталан, што је испуњено код концентричних кружних стаза, па је тада и брзина сваког тела стална. Тела у једнако време обиђу свако по својој кружници. Када тога не би било, једном би се тела сусрела на ближим деловима стаза, други пут на удаљенијим, па ни сила не би била стална. Зато се тела морају увек налазити на дијаметрално супротним тачкама својих стаза и збир полупречкника стаза једнак је размаку тела:

$r_{1}+r_{2}=r$

А како тела обиђу стазе у исто време, опходне брзине су у истом односу у којему су обими или полупречници стаза:

${\frac {v_{1}}{v_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}$

Изједначавањем центрипеталних убрзања за свако тело с убрзањем гравитацијске силе, тако да је брзина изражена полупречником и периодом опхода стазе P, добија се:

$g_{1}={\frac {v_{1}^{2}}{r_{1}}}\ ={\frac {4\pi ^{2}r_{1}}{P^{2}}}\ ={\frac {GM_{2}}{r^{2}}}\$

$g_{2}={\frac {v_{2}^{2}}{r_{2}}}\ ={\frac {4\pi ^{2}r_{2}}{P^{2}}}\ ={\frac {GM_{1}}{r^{2}}}\$

Однос десних једнакости исказује веома важну чињеницу:

${\frac {r_{1}}{r_{2}}}={\frac {M_{2}}{M_{1}}}$

Размак тела од заједничког центра кружења обрнуто је сразмеран масама тих тела. То је својство које показује центар масе или тежиште неког система маса. Када се неко сложено тело налази у гравитацијском пољу, кретање тог тела као целине одвија се као да је сва маса постављена у центар масе. У случају свемирског система састављеног од два тела њихов ће заједнички центар масе или мировати, или ће се кретати једнолико по правцу (ако на њега не делују силе других небеских тела). Сама тела ће обилазити око центра масе. Спојница два тела увек прелази преко центра масе и убрзање је усмерено према њему. Лако се може осведочити да ће са повећањем једне масе на рачун друге, центар масе стремити према већој маси. Убрзање првог тела постаје безначајно, ако је маса другог тела занемарива према маси првог тела. То је било приближење (апроксимација) учињено у проблему једног тела. Тада се прво тело, као да је бесконачне масе, налазило у средишту кружења. Тако се Сунце замишља у средишту кружења планета, а планете у средишту кружења њихових сателита.

Због релативно велике Месечеве масе, Земља не обилази око Сунца по елипси. Око Сунца по елипси уствари путује барицентар (центар масе) система Земља - Месец, а не центар Земље. Ни Месечева стаза око Сунца није елипса, али Месец на стази никада не чини петље (иако се тако црта на малим цртежима); штавише, стаза му никада није избочена (конвексна) према Сунцу.

Ако звезда има тамног пратиоца (планету велике масе), тада се у властитом кретању звезде мора јавити утицај тог пратиоца. Пут звезде ће да кривуда око линије којом се креће центар масе (барицентар).

У тренутку прве четвртине Земља претходи центру масе (барицентар), а Месец заостаје; у тренутку последње четвртине Земља заостаје на стази за центром масе, а Месец му претходи.

Трећи Кеплеров закон за систем две масе

Главни чланак: Трећи Кеплеров закон

Двојна звезда Сириус А и Б.

Треба сабрати изразе за убрзање првог и другог тела, и то њихове десне једнакости, али тако да се уведе збир полупречника (r₁ + r₂ = r):

$g_{1}=G{\frac {M_{2}}{r^{2}}}\$

$g_{2}=G{\frac {M_{1}}{r^{2}}}\$

Произлази:

${\frac {r^{3}}{P^{2}}}={\frac {G}{4\pi ^{2}}}\cdot (M_{1}+M_{2})$

У константи трећег Кеплерова закона налази се укупна маса двојног система.

У уопштенијем случају, тела се кретаћу по елиптичним стазама. Притом су испуњени неки геометријски услови. Ексцентрицитет обе стазе је једнак, смер великих полуоса се подудара, а тела су на стазама увек дијаметрално супротно оном жаришту у којем је центар масе. Код концентричних кружница које су разматране пре, размак тела има исту улогу коју код елиптичних стаза има средњи размак (збир великих полуоса), док брзина по путањи има улогу средње брзине.

Литература

• Ландау, L. D.; ЕМ, Лифсхитз (1976). Мецханицс (3рд. изд.). Неw Yорк: Пергамон Пресс. ИСБН 978-0-08-029141-3. 
• Цхарлес W. Миснер; Кип Тхорне; Јохн Арцхибалд Wхеелер (1973). Гравитатион. Сан Францисцо: W. Х. Фрееман. ИСБН 978-0-7167-0344-0. 
• Арнолд Соммерфелд (1970). Мецханицс. Лецтурес он Тхеоретицал Пхyсицс. I (4тх изд.). Неw Yорк: Ацадемиц Пресс. ИСБН 978-0-12-654670-5. 
• Сyмон КР (1971). Мецханицс (3рд изд.). Реадинг, Массацхусеттс: Аддисон-Wеслеy. ИСБН 0-201-07392-7. 
• Е. Т. Wхиттакер (1937). А Треатисе он тхе Аналyтицал Дyнамицс оф Партицлес анд Ригид Бодиес, wитх ан Интродуцтион то тхе Проблем оф Тхрее Бодиес (4тх изд.). Неw Yорк: Довер Публицатионс. ИСБН 978-0-521-35883-5. 
• Бен-Цхаим, Мицхаел (2004), Еxпериментал Пхилосопхy анд тхе Биртх оф Емпирицал Сциенце: Боyле, Лоцке анд Неwтон, Алдерсхот: Асхгате, ИСБН 0-7546-4091-4, ОЦЛЦ 53887772 
• Агар, Јон (2012), Сциенце ин тхе Тwентиетх Центурy анд Беyонд, Цамбридге: Политy Пресс, ИСБН 978-0-7456-3469-2 
• Алонсо, M.; Финн, Ј. (1992). Фундаментал Университy Пхyсицс. Аддисон-Wеслеy. 
• Феyнман, Рицхард (1999). Тхе Феyнман Лецтурес он Пхyсицс. Персеус Публисхинг. ИСБН 978-0-7382-0092-7. 
• Феyнман, Рицхард; Пхиллипс, Рицхард (1998). Сиx Еасy Пиецес. Персеус Публисхинг. ИСБН 978-0-201-32841-7. 
• Голдстеин, Херберт; Цхарлес П. Пооле; Јохн L. Сафко (2002). Цлассицал Мецханицс (3рд изд.). Аддисон Wеслеy. ИСБН 978-0-201-65702-9. 
• Киббле, Том W.Б.; Берксхире, Франк Х. (2004). Цлассицал Мецханицс (5тх ед.). Империал Цоллеге Пресс. ИСБН 978-1-86094-424-6. 
• Клеппнер, D.; Коленкоw, Р.Ј. (1973). Ан Интродуцтион то Мецханицс. МцГраw-Хилл. ИСБН 978-0-07-035048-9. 
• Ландау, L.D.; Лифсхитз, Е.M. (1972). Цоурсе оф Тхеоретицал Пхyсицс, Вол. 1 – Мецханицс. Франклин Боок Цомпанy. ИСБН 978-0-08-016739-8. 
• Морин, Давид (2008). Интродуцтион то Цлассицал Мецханицс: Wитх Проблемс анд Солутионс (1ст изд.). Цамбридге: Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 978-0-521-87622-3. 
• Гералд Јаy Суссман; Јацк Wисдом (2001). Струцтуре анд Интерпретатион оф Цлассицал Мецханицс. МИТ Пресс. ИСБН 978-0-262-19455-6. 
• О'Доннелл, Петер Ј. (2015). Ессентиал Дyнамицс анд Релативитy. ЦРЦ Пресс. ИСБН 978-1-4665-8839-4. 
• Тхорнтон, Степхен Т.; Марион, Јеррy Б. (2003). Цлассицал Дyнамицс оф Партицлес анд Сyстемс (5тх ед.). Броокс Цоле. ИСБН 978-0-534-40896-1. 
• Аарсетх, Сверре Ј. (2003). Гравитатионал н-бодy Симулатионс, Тоолс анд Алгоритхмс. Цамбридге: Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 978-0-521-43272-6. 
• Аллигоод, К. Т.; Сауер, Т. D.; Yорке, Ј. А. (1996). Цхаос: Ан Интродуцтион то Дyнамицал Сyстемс. Неw Yорк: Спрингер. стр. 46—48. ИСБН 978-0-387-94677-1. 
• Бате, Рогер Р.; Муеллер, Доналд D.; Wхите, Јеррy (1971). Фундаменталс оф Астродyнамицс. Неw Yорк: Довер Публицатионс. ИСБН 978-0-486-60061-1. 
• Бланцхет, Луц (2001). „Он тхе тwо-бодy проблем ин генерал релативитy”. Цомптес Рендус де л'Ацадéмие дес Сциенцес, Сéрие IV. 2 (9): 1343—1352. Бибцоде:2001ЦРАСП...2.1343Б. С2ЦИД 119101016. арXив:гр-qц/0108086 . дои:10.1016/с1296-2147(01)01267-7. 
• Боард, Јохн А. Јр.; Хумпхрес, Цхристопхер W.; Ламберт, Цхристопхе Г.; Ранкин, Wиллиам Т.; Тоукмаји, Абдулноур Y. (1999). „Еwалд анд Мултиполе Метходс фор Периодиц н-Бодy Проблемс”. Ур.: Деуфлхард, Петер; Херманс, Јан; Леимкухлер, Бенедицт; Марк, Алан Е.; Реицх, Себастиан; Скеел, Роберт D. Цомпутатионал Молецулар Дyнамицс: Цхалленгес, Метходс, Идеас. Берлин & Хеиделберг: Спрингер. стр. 459—471. ЦитеСеерX 10.1.1.15.9501 . ИСБН 978-3-540-63242-9. дои:10.1007/978-3-642-58360-5_27. 
• Броноwски, Јацоб; Мазлисх, Бруце (1986) [1960]. Тхе Wестерн Интеллецтуал Традитион, фром Леонардо то Хегел. Неw Yорк: Дорсет Пресс. ИСБН 978-0-88029-069-2. 
• Целлетти, Алессандра (2008). „Цомпутатионал целестиал мецханицс”. Сцхоларпедиа. 3 (9): 4079. Бибцоде:2008СцхпЈ...3.4079Ц. дои:10.4249/сцхоларпедиа.4079 . 
• Цхенцинер, Алаин (2007). „Тхрее бодy проблем”. Сцхоларпедиа. 2 (10): 2111. Бибцоде:2007СцхпЈ...2.2111Ц. дои:10.4249/сцхоларпедиа.2111 . 
• Цхиерцхиа, Луиги; Матхер, Јохн Н. (2010). „Колмогоров–Арнолд–Мосер Тхеорy”. Сцхоларпедиа. 5 (9): 2123. Бибцоде:2010СцхпЈ...5.2123Ц. дои:10.4249/сцхоларпедиа.2123 . 
• Цохен, I. Бернард (март 1980). „Неwтон'с Дисцоверy оф Гравитy”. Сциентифиц Америцан. 244 (3): 167—179. Бибцоде:1981СциАм.244ц.166Ц. дои:10.1038/сциентифицамерицан0381-166. ЦС1 одржавање: Формат датума (веза)
• Цохен, I. Бернард (1985). Тхе Биртх оф а Неw Пхyсицс, Ревисед анд Упдатед. Неw Yорк: W. W. Нортон & Цо. ИСБН 978-0-393-30045-1. 
• Диацу, Ф. (1996). „Тхе солутион оф тхе н-бодy проблем” (ПДФ). Тхе Матхематицал Интеллигенцер. 18 (3): 66—70. С2ЦИД 119728316. дои:10.1007/бф03024313. 
• Фéјоз, Ј. (2004). „Дéмонстратион ду 'тхéорèме д'Арнолд' сур ла стабилитé ду сyстèме планéтаире (д'апрèс Херман)”. Ергодиц Тхеорy Дyнам. Сyстемс. 24 (5): 1521—1582. С2ЦИД 123461135. дои:10.1017/С0143385704000410. 
• Хеггие, Доуглас; Хут, Пиет (2003). Тхе Гравитатионал Миллион-Бодy Проблем, А Мултидисциплинарy Аппроацх то Стар Цлустер Дyнамицс. Цамбридге: Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 978-0-521-77303-4. 
• Хеггие, Доуглас C. (1991). „Цхаос ин тхе н-бодy Проблем оф Стеллар Дyнамицс”. Ур.: Роy, А. Е. Предицтабилитy, Стабилитy анд Цхаос ин н-Бодy Дyнамицал Сyстемс. Неw Yорк: Пленум Пресс. ИСБН 978-0-306-44034-2. 
• Хуфбауер, Карл (1991). Еxплоринг тхе Сун: Солар Сциенце синце Галилео. Балтиморе: Јохнс Хопкинс Университy Пресс, спонсоред бy тхе НАСА Хисторy Оффице. ИСБН 978-0-8018-4098-2. 
• Крумсцхеид, Себастиан (2010). Бенцхмарк оф фаст Цоуломб Солверс фор опен анд периодиц боундарy цондитионс (Извештај). Тецхницал Репорт ФЗЈ-ЈСЦ-ИБ-2010-01. Јüлицх Суперцомпутинг Центре. ЦитеСеерX 10.1.1.163.3549 . 
• Куртх, Рудолф (1959). Интродуцтион то тхе Мецханицс оф тхе Солар Сyстем. Лондон: Пергамон Пресс. ИСБН 978-0-08-009141-9. 
• Леиманис, Е.; Минорскy, Н. (1958). „Парт I: "Соме Рецент Адванцес ин тхе Дyнамицс оф Ригид Бодиес анд Целестиал Мецханицс" (Леиманис); Парт II: "Тхе Тхеорy оф Осциллатионс" (Минорскy)”. Дyнамицс анд Нонлинеар Мецханицс. Неw Yорк: Јохн Wилеy & Сонс. АСИН Б0006АВКQW. ОЦЛЦ 1219303. 
• Линдсаy, Роберт Бруце (1961). Пхyсицал Мецханицс (3рд изд.). Принцетон: D. Ван Ностранд Цо. АСИН Б0000ЦЛА7Б. ОЦЛЦ 802752879. 
• Меировитцх, Леонард (1970). Метходс оф Аналyтицал Дyнамицс. Неw Yорк: МцГраw-Хилл Боок Цо. ИСБН 978-0-07-041455-6. 
• Меyер, Кеннетх Раy; Халл, Глен Р. (2009). Интродуцтион то Хамилтониан Дyнамицал Сyстемс анд тхе н-бодy Проблем. Неw Yорк: Спрингер Сциенце & Бусинесс Медиа. ИСБН 978-0-387-09724-4. 
• Миттаг-Леффлер, Г. (1885—1886). „Тхе н-бодy проблем (Призе Анноунцемент)”. Ацта Матхематица. 7: И—ВИ. дои:10.1007/БФ02402191 . 
• Моултон, Форест Раy (1970). Ан Интродуцтион то Целестиал Мецханицс. Неw Yорк: Довер Публицатионс. ИСБН 978-0-486-62563-8. 
• Неwтон, Исаац (1687). Пхилосопхиае Натуралис Принципиа Матхематица (на језику: Латин). Лондини [Лондон]: Јуссу Социетатис Региæ ац Тyпис Јосепхи Стреатер. Простат апуд плурес Библиополас. ОЦЛЦ 915353069. ЦС1 одржавање: Непрепознат језик (веза) Алсо Енглисх транслатион оф 3рд (1726) едитион бy I. Бернард Цохен анд Анне Wхитман (Беркелеy, ЦА, 1999). ISBN 978-0-520-08817-7.
• Рам, Париксхит; Лее, Донгрyеол; Марцх, Wиллиам Б.; Граy, Алеxандер Г. (2009). „Линеар-тиме Алгоритхмс фор Паирwисе Статистицал Проблемс” (ПДФ). НИПС: 1527—1535. Архивирано из оригинала (ПДФ) 2017-04-21. г. Приступљено 2014-03-28. 
• Росенберг, Реинхардт M. (1977). „Цхаптер 19: Абоут Целестиал Проблемс”. Аналyтицал Дyнамицс, оф Дисцрете Сyстемс. Неw Yорк: Пленум Пресс. стр. 364—371. ИСБН 978-0-306-31014-0. 
• Галлант, Роy А. (1968). Тхе Натуре оф тхе Универсе. Гарден Цитy, НY: Доубледаy. Ин партнерсхип wитх Сциенце Сервице. ОЦЛЦ 689289. 
• Сундман, К. Ф. (1912). „Мéмоире сур ле проблèме де троис цорпс”. Ацта Матхематица. 36: 105—179. дои:10.1007/бф02422379 . 
• Тиссеранд, Франçоис Фéлиx (1894). „Траитé де Мéцаниqуе Цéлесте” (ПДФ). Лиллиад - Университé де Лилле - Сциенцес ет Тецхнологиес. Парис: Гаутхиер-Вилларс Ет Филс. III: 27. ОЦЛЦ 951409281. хдл:1908/4228. 
• Тренти, Мицхеле; Хут, Пиет (2008). „н-бодy симулатионс”. Сцхоларпедиа. 3 (5): 3930. Бибцоде:2008СцхпЈ...3.3930Т. дои:10.4249/сцхоларпедиа.3930 . 
• Труесделл, Цлиффорд (1968). Ессаyс ин тхе Хисторy оф Мецханицс. Берлин; Хеиделберг: Спрингер-Верлаг. ИСБН 978-3-642-86649-4. 
• Ван Wинтер, Цласине (1970). „Тхе н-бодy проблем он а Хилберт спаце оф аналyтиц фунцтионс”. Ур.: Гилберт, Роберт П.; Неwтон, Рогер Г. Аналyтиц Метходс ин Матхематицал Пхyсицс. Неw Yорк: Гордон анд Бреацх. стр. 569—578. ОЦЛЦ 848738761. 
• Wанг, Qиудонг (1991). „Тхе глобал солутион оф тхе н-бодy проблем”. Целестиал Мецханицс анд Дyнамицал Астрономy. 50 (1): 73—88. Бибцоде:1991ЦеМДА..50...73W. ИССН 0923-2958. МР 1117788. С2ЦИД 118132097. дои:10.1007/БФ00048987. 
• Xиа, Зхихонг (1992). „Тхе Еxистенце оф Нонцоллисион Сингуларитиес ин Неwтониан Сyстемс”. Анналс оф Матхематицс. 135 (3): 411—468. ЈСТОР 2946572. дои:10.2307/2946572. 

Спољашње везе

• Тwо-бодy проблем ат Ериц Wеисстеин'с Wорлд оф Пхyсицс
• Тwо-бодy Централ Форце Проблемс бy D. Е. Гарy оф тхе Неw Јерсеy Институте оф Тецхнологy
• Мотион ин а Централ-Форце Фиелд Архивирано на сајту Wayback Machine (21. септембар 2018) by A. Brizard of Saint Michael's College
• Motion under the Influence of a Central Force by G. W. Collins, II of Case Western Reserve University
• Video lecture by W. H. G. Lewin of the Massachusetts Institute of Technology