Репрезентација група

У математичком пољу теорије репрезентације, репрезентација група описује апстрактне групе у смислу бијективних линеарних трансформација (и.е. аутоморфизми) векториских простора; специфично, оне се могу користити за представљање елементата група као инвертабилних матрица тако да се групне операције могу представити путем множења матрица. Репрезентације група су важне зато што оне омогућавају да се многи групно-теоретски проблеми редукују до проблема линеарне алгебре, који су добро изучени. Репрезентације група су исто тако важне у физици зато што, на пример, оне описују како групе симетрије физичког система утичу на решења једначина које описују тај систем.

Репрезентација група „делује” као објекат. Најједноставнији примери су како симетрије регуларних полигона, који се састоје од рефлекција и ротација, трансформишу полигон.

Термин репрезентација група се такође користи у генералнијем смислу за означавање сваког „описа” групе као групе трансформација неког математичког објекта. Формалније, „репрезентација” значи хомоморфизам од групе до аутоморфизма групе објекта. Ако је објекат векторски простор ради се о линеарној репрезентацији. Неки аутори користе термин реализација као генералнији појам и резервишу термин репрезентација за специфичнијих случај линеарне репрезентације. Овај чланак превасходно описује теорију линеарне репрезентације.

Гране теорије репрезентације група

Теорија репрезентације група се дели у потпоља у зависности од врсте група које се представљају. Различите теорије се у знатној мери разликују у погледу детаља, мада су неке основне дефиниције и концепти слични. Најважније поделе су:

• Коначне групе - Репрезентација група је врло важно средство у проучавању коначних група. Оне се такође појављују у примени теорије коначних група на кристалографију и геометрију. Ако поље скалара векторског простора има карактеристично p, и ако p дели редослед групе, онда се то назива теоријом модуларне репрезентације; овај посебан случај има веома различита својства. Погледајте Теорију репрезентације коначних група.
• Компактне групе или локално компактне групе — Многи резултати теорије заступљености коначних група су доказани узимањем просека по групама. Ови докази се могу пренети у бесконачне групе заменом просека са интегралом, под условом да се може дефинисати прихватљив појам интеграла. То се може урадити за локално компактне групе, користећи Харову меру. Резултирајућа теорија представља централни део хармонијске анализе. Дуалност по Понтрјагину описује теорију за комутативне групе, као генерализовану Фуријеову трансформацију. Такође погледајте: Питер-Вејлову теорему.
• Лијеве групе — Многе важне Лијеве групе су компактне, те се резултати теорије компактне репрезентације односе на њих. Користе се и друге технике специфичне за Лијеве групе. Већина група које су важне за физику и хемију су Лијеве групе, и њихова теорија репрезентације је пресудна за примену теорије група у тим областима. Погледајте репрезентације Лијевих група и репрезентације Лијевих алгебри.
• Линеарне алгебарске групе (или генералније афине шеме група) — Ово су аналози Лијевих група, али на општијим пољима, а не само R или C. Иако линеарне алгебарске групе имају класификацију која је веома слична оној код Лијевих група, и производе исте фамиљије Лијеве алгебре, њихове репрезентације су знатно различите (и далеко мањој мери изучене). Аналитичке технике које се користе за проучавање Лијевих група морају бити замењене техникама из алгебарске геометрије, где релативно слаба Зарискова топологија изазива многе техничке компликације.
• Некомпактне тополошке групе — Класа некомпактних група је сувише широка да би се конструисала било каква општа теорија репрезентације, али су проучавани специјални случајеви, понекад користећи ad hoc технике. Полуједноставне Лијеве групе имају дубоку теорију, која се надограђује на компактни случај. Комплементарне растворљиве Лијеве групе се не могу класификовати на исти начин. Општа теорија за Лијеве групе бави се семиусмереним производима ова два типа, помоћу општих резултата званих Макијева теорија, што је уопштавање Вигнерових класификационих метода.

Теорија репрезентације је такође веома зависна од типа векторског простора на коме група делује. Разликују се коначно-димензионалне репрезентације и бесконачно-димензионалне. У бесконачно-димензионалном случају важне су додатне структуре (нпр. да ли је простор Хилбертов простор, Банахов простор итд.).

Литература

• Yурии I. Лyубицх. Интродуцтион то тхе Тхеорy оф Банацх Репресентатионс оф Гроупс. Транслатед фром тхе 1985 Руссиан-лангуаге едитион (Кхарков, Украине). Биркхäусер Верлаг. 1988.
• Лецтуре 2 оф Шаблон:Фултон-Харрис онлине
• Ганнон, Террy (2006). Моонсхине беyонд тхе Монстер: Тхе Бридге Цоннецтинг Алгебра, Модулар Формс анд Пхyсицс. ИСБН 978-0-521-83531-2. 
• Халл, Бриан C. (2015), Лие гроупс, Лие алгебрас, анд репресентатионс: Ан елементарy интродуцтион, Градуате Теxтс ин Матхематицс, 222 (2нд изд.), Спрингер, ИСБН 978-3319134666 
• Исаацс, I.M. (1994). Цхарацтер Тхеорy оф Фините Гроупс (Цоррецтед репринт оф тхе 1976 оригинал, публисхед бy Ацадемиц Пресс. изд.). Довер. ИСБН 978-0-486-68014-9. 
• Јамес, Гордон; Лиебецк, Мартин (2001). Репресентатионс анд Цхарацтерс оф Гроупс (2нд ед.). Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 978-0-521-00392-6. 
• Серре, Јеан-Пиерре (1977). Линеар Репресентатионс оф Фините Гроупс. Градуате Теxтс ин Матхематицс. 42. Транслатед фром тхе сецонд Френцх едитион бy Леонард L. Сцотт. Неw Yорк-Хеиделберг: Спрингер-Верлаг. ИСБН 978-0-387-90190-9. МР 0450380. дои:10.1007/978-1-4684-9458-7. 
• Боннафé, Цедриц (2010). Репресентатионс оф СЛ2(Фq). Алгебра анд Апплицатионс. 13. Спрингер. ИСБН 9780857291578. 
• Бумп, Даниел (2004), Лие Гроупс, Градуате Теxтс ин Матхематицс, 225, Неw Yорк: Спрингер-Верлаг, ИСБН 0-387-21154-3 
• Фултон, Wиллиам; Харрис, Јое: Репресентатион Тхеорy А Фирст Цоурсе. Спрингер-Верлаг, Неw Yорк (1991) ISBN 0-387-97527-6.
• Алперин, Ј.L.; Белл, Роwен Б.: Гроупс анд Репресентатионс Спрингер-Верлаг, Неw Yорк (1995) ISBN 0-387-94525-3.
• Деитмар, Антон: Аутоморпхе Формен Спрингер-Верлаг 2010, ISBN 978-3-642-12389-4. стр. 89-93,185-189.
• Ецхтерхофф, Сиегфриед; Деитмар, Антон: Принциплес оф хармониц аналyсис Спрингер-Верлаг 2009, ISBN 978-0-387-85468-7. стр. 127-150.
• Ланг, Серге: Алгебра Спрингер-Верлаг, Неw Yорк 2002, ISBN 0-387-95385-X. стр. 663-729.
• Sengupta, Ambar (2012). Representing finite groups: a semisimple introduction. New York. ISBN 9781461412311. OCLC 769756134. 
• Axler, Sheldon Jay (2015). Linear Algebra Done Right (3rd изд.). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0. 
• Bronshtein, I. N.; Semendyayev, K. A. (2004). Handbook of Mathematics (4th изд.). New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-43491-7. 
• Halmos, Paul Richard (1974) [1958]. Finite-Dimensional Vector Spaces (2nd изд.). Springer. ISBN 0-387-90093-4. 
• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix Analysis (Second изд.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83940-2. 
• Kubrusly, Carlos (2001). Elements of operator theory. Boston: Birkhäuser. ISBN 978-1-4757-3328-0. OCLC 754555941. 
• Lang, Serge (1987), Linear Algebra (Third изд.), New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-96412-6 
• Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics (3rd изд.). New York: McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-054235-8. 
• Tu, Loring W. (2011). An Introduction to Manifolds (2nd изд.). Springer. ISBN 978-0-8218-4419-9. 
• Sir William Rowan Hamilton (1856). „Memorandum respecting a new System of Roots of Unity” (PDF). Philosophical Magazine. 12: 446. Архивирано (PDF) из оригинала 2022-10-09. г. 
• Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN 978-0-89871-510-1 
• Blass, Andreas (1984), „Existence of bases implies the axiom of choice” (PDF), Axiomatic set theory (Boulder, Colorado, 1983), Contemporary Mathematics, 31, Providence, R.I.: American Mathematical Society, стр. 31—33, MR 763890 
• Brown, William A. (1991), Matrices and vector spaces, New York: M. Dekker, ISBN 978-0-8247-8419-5 
• Lang, Serge (1987), Linear algebra, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96412-6 
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third изд.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556 
• Mac Lane, Saunders (1999), Algebra (3rd изд.), стр. 193—222, ISBN 978-0-8218-1646-2 
• Meyer, Carl D. (2000), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, SIAM, ISBN 978-0-89871-454-8 
• Roman, Steven (2005), Advanced Linear Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 135 (2nd изд.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-24766-3 
• Spindler, Karlheinz (1993), Abstract Algebra with Applications: Volume 1: Vector spaces and groups, CRC, ISBN 978-0-8247-9144-5 
• van der Waerden, Bartel Leendert (1993), Algebra (на језику: немачки) (9th изд.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56799-8 
• Braun, Martin (1993), Differential equations and their applications: an introduction to applied mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97894-9 
• BSE-3 (2001). „Tangent plane”. Ур.: Hazewinkel Michiel. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Цхоqует, Густаве (1966), Топологy, Бостон, МА: Ацадемиц Пресс 
• Деннерy, Пхилиппе; Крзywицки, Андре (1996), Матхематицс фор Пхyсицистс, Цоуриер Довер Публицатионс, ИСБН 978-0-486-69193-0 
• Дудлеy, Рицхард M. (1989), Реал аналyсис анд пробабилитy, Тхе Wадсwортх & Броокс/Цоле Матхематицс Сериес, Пацифиц Грове, ЦА: Wадсwортх & Броокс/Цоле Адванцед Боокс & Софтwаре, ИСБН 978-0-534-10050-6 
• Дунхам, Wиллиам (2005), Тхе Цалцулус Галлерy, Принцетон Университy Пресс, ИСБН 978-0-691-09565-3 
• Еванс, Лаwренце C. (1998), Партиал дифферентиал еqуатионс, Провиденце, Р.I.: Америцан Матхематицал Социетy, ИСБН 978-0-8218-0772-9 
• Фолланд, Гералд Б. (1992), Фоуриер Аналyсис анд Итс Апплицатионс, Броокс-Цоле, ИСБН 978-0-534-17094-3 
• Гасqует, Цлауде; Wитомски, Патрицк (1999), Фоуриер Аналyсис анд Апплицатионс: Филтеринг, Нумерицал Цомпутатион, Wавелетс, Теxтс ин Апплиед Матхематицс, Неw Yорк: Спрингер-Верлаг, ИСБН 978-0-387-98485-8 
• Ифеацхор, Еммануел C.; Јервис, Баррие W. (2001), Дигитал Сигнал Процессинг: А Працтицал Аппроацх (2нд изд.), Харлоw, Ессеx, Енгланд: Прентице-Халл (објављено 2002), ИСБН 978-0-201-59619-9 
• Крантз, Стевен Г. (1999), А Панорама оф Хармониц Аналyсис, Царус Матхематицал Монограпхс, Wасхингтон, DC: Матхематицал Ассоциатион оф Америца, ИСБН 978-0-88385-031-2 
• Креyсзиг, Ерwин (1988), Адванцед Енгинееринг Матхематицс (6тх изд.), Неw Yорк: Јохн Wилеy & Сонс, ИСБН 978-0-471-85824-9 
• Креyсзиг, Ерwин (1989), Интродуцторy фунцтионал аналyсис wитх апплицатионс, Wилеy Цлассицс Либрарy, Неw Yорк: Јохн Wилеy & Сонс, ИСБН 978-0-471-50459-7, МР 992618 
• Ланг, Серге (1983), Реал аналyсис, Аддисон-Wеслеy, ИСБН 978-0-201-14179-5 
• Ланг, Серге (1993), Реал анд фунцтионал аналyсис, Берлин, Неw Yорк: Спрингер-Верлаг, ИСБН 978-0-387-94001-4 
• Лоомис, Лyнн Х. (1953), Ан интродуцтион то абстрацт хармониц аналyсис, Тхе Университy сериес ин хигхер матхематицс, Торонто-Неw Yорк–Лондон: D. Ван Ностранд Цомпанy, Инц., стр. x+190, хдл:2027/уц1.б4250788  

Спојашње везе

• Group Representation
• Representation TheoryCT, Lent 2005