Отворите главни мени

Хилбертов простор

Хилбертов простор је математички концепт који генерализује еуклидски простор. У њему се методе векторске алгебре и анализе из еуклидске равни и еуклидског тродимензионалног простора проширују на простор са коначним или бесконачним бројем димензија. Добио је име по Давиду Хилберту.

Хилбертов простор се често појављује у математици, физици и инжењерству, типично као пресликавања бесконачног броја димензија.

Геометријске аналогије имају велики значај у разумевању теорије Хилбертових простора. За њих постоји еквивалентна Питагорина теорема и закон паралелограма.

ДефиницијаУреди

Хилбертов простор над пољем F у ознаци H(F) је векторски простор (над пољем F) са скаларним производом, потпун у односу на метрику d2.[1]

ОсобинеУреди

Хилбертов простор H је реалан или комплексан векторски простор који је истовремено и Кошијев метрички простор у односу на метричку функцију векторског производа. Какда кажемо да је H комплексни векторски простор, то значи да у H постоји производ 〈x,y〉 који пару елемената x,y из H, придружује комплексну вредност, при чему је:

 
  • x,y〉 је линеарна по првом аргументу. За све комплексне бројеве a и b,
 
 
где знак једнакости важи за x = 0.

Реални векторски простор се дефинише на исти начин, осим што векторски производ има реалне вредности.

Интензитет вектора дефинише се као производ 〈•,•〉 у облику реалне функције:

 

а растојање између тачака x,y у H дефинише се помоћу интензитета на следећи начин:

 

Ово је функција метрике, што значи да (1) да је симетрична по x и y, (2) да је растојање између x и x нула, а да су остала растојања између x и y позитивна, (3) да важи неједнакост троугла, што значи да дужина странице a у троуглу xyz не може бити дужа од збира преостале две странице:

 

Последња особина је последица Коши-Шварцове неједнакости која тврди да:

 

где знак једнакости важи када су x и y линеарно зависни.

Када се функција удаљености дефинише на овај начин, као функција метрике, онда векторски простор постаје пре-Хилбертов простор. Сваки копмплетан пре-Хилбертов простор је Хилбертов простор. Комплетност се дефинише условом: ако за низ вектора важи   апсолутно конвергира тако да

 

тада низ конвергира у H, у смислу да парцијалне суме теже неком елементу H.

Као Кошијеви нормирани простори, Хилбертови простори су по дефиницији и Банахови простори. Они су и тополошки векторски простори у којима су дефинисаани тополошки појмови отворених и затворених подскупова.

Апсолутна конвергенцијаУреди

Низ   који се састоји из вектора у F3 (где је F поље), апсолутно конвергира под условом да конвергира  , тј. да је   Такав низ конвергира ка неком вектору L у простору над пољем F, и то тако да важи:   када  

Слаба конвергенцијаУреди

Низ   слабо конвергира ка вектору   ако за свако   бројни низ   конвергира ка  .[1]

Еуклидски просторУреди

Еуклидски простор (R3) је Хилбертов простор који се састоји из тродимензионалних вектора у коме је дефинисан оператор производа. Оператор производа узима два вектора x и y као аргументе и као резултат даје реалан број x·y.

Оператор производа задовољава следеће услове:

  1. Симетричан је у односу на x и y: x·y = y·x.
  2. Линеаран је у односу на први аргумент: (ax'1 + bx'2y = ax'1·y + bx'2·y за било које скаларе a, b и векторе x1, x2 и y.
  3. То је позитивна билинеарна форма: за све векторе x, x·x ≥ 0, где знак једнакости важи ако и само ако је x = 0.

Операција над паром вектора која задовољава ова три услова се назива скаларно множење вектора. Сваки векторски простор са коначним бројем димензија у коме је дефинисан скаларни производ представља Хилбертов простор. Карактеристика горедефинисаног оператора множења која га повезује са еуклидском геометријом је што зависи и од дужине (или интензитета) вектора, који се означава са ||x||, и од угла θ између вектора x и y. Та зависност се изражава формулом:

 

Специјално, ако су x и y представљени у Декартовим координатама, онда се оператор производа дефинише као:

 

Сепарабилан Хилбертов просторУреди

Теорема: Хилбертов простор је сепарабилан акко садржи пребројиви ортонормирани скуп.

РеференцеУреди

ЛитератураУреди

Спољашње везеУреди