Teorija reprezentacije

Teorija reprezentacije je grana matematike koja proučava apstraktne algebarske strukture predstavljajući njihove elemente kao linearne transformacije vektorskih prostora,[1] i proučava module za ove apstraktne algebarske strukture.[2][3] U suštini, reprezentacija čini apstraktni algebrski objekat konkretnijim opisujući njegove elemente matricama i njegovim algebarskim operacijama (na primer, sabiranje matrica, množenje matrica). Teorija matrica i linearnih operatora je dobro izučena, tako da reprezentacija apstraktnijih objekata u smislu poznatih linearnih algebričnih objekata pomaže u sticanju uvida u svojstava, a ponekad i pojednostavljuje izračunavanja na apstraktnijim teorijama.

Teorija reprezentacije proučava kako algebarske strukture „deluju” na objekte. Najjednostavniji primeri su kako simetrije pravilnih poligona, koje se sastoje od refleksija i rotacija, transformišu poligon.

Algebrski objekti koji se mogu opisati uključuju grupe, asocijativne algebre i Lijeve algebre. Najprominentnija od njih (i istorijski prva) je teorija reprezentacije grupa, u kojoj su elementi grupe predstavljeni invertabilnim matricama na takav način da je grupna operacija množenje matrica.[4][5]

Teorija reprezentacije je korisna metoda jer svodi probleme apstraktne algebre na probleme linearne algebre, oblast koja je dobro izučena.[6] Nadalje, vektorski prostor na kojem je predstavljena grupa (na primer) može biti beskonačno dimenzionalan, i dopuštajući da bude, na primer, Hilbertov prostor, metode analize mogu se primeniti na teoriju grupa.[7][8] Teorija reprezentacije je takođe važna u fizici jer, na primer, ona opisuje kako grupa simetrije fizičkog sistema utiče na rešenja jednačina koja opisuju taj sistem.[9]

Teorija reprezentacije je iz dva razloga prožimajuća u više oblasti matematike. Prvo, primene teorije reprezentacije su raznovrsne,[10] te pored uticaja na algebru, teorija reprezentacije:

Drugo, postoje različiti pristupi teoriji reprezentacije. Isti se objekti mogu proučavati metodama iz algebarske geometrije, teorije modula, teorije analitičkih brojeva, diferencijalne geometrije, teorije operatora, algebarske kombinatorike i topologije.[14]

Uspeh teorije reprezentacije doveo je do brojnih generalizacija. Jedna od najčešćih je u teoriji kategorija.[15] Algebarski objekti na koje se odnosi teorija reprezentacije mogu se posmatrati kao posebne vrste kategorija, a reprezentacije kao funktori iz kategorije objekta u kategoriju vektorskih prostora.[5] Ovaj opis ukazuje na dve očigledne generalizacije: prvo, algebarski objekti se mogu zameniti opštijim kategorijama; drugo, ciljna kategorija vektorskih prostora može se zameniti drugim dobro izučenim kategorijama.

Definicije i konceptiУреди

Neka je V vektorski prostor nad poljem F.[6] Na primer, prostor V je Rn ili Cn, standardni n-dimenzionalni prostor od kolonskih vektora nad realnim ili kompleksnim brojevima, respektivno. U tom slučaju, ideja reprezentacione teorije je da se primeni apstraktna algebra konkretno koristeći n × n matrice realnih ili kompleksnih brojeva.

Postoje tri glavne vrste algebarskih objekata za koje se to može učiniti: grupe, asocijativne algebre i Lijeve algebre.[16][5]

Ovo se generalizuje do bilo kog polja F i bilo kog vektorskog prostora V nad F, pri čemu linearne mape zamenjuju matrice i kompozicija zamenjuje matrično množenje: postoji grupa GL(V,F) automorfizama od V, asocijativna algebra EndF(V) svih endomorfizama od V, i korespondirajuća Lijeva algebra gl(V,F).

ReferenceУреди

  1. ^ „The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Mathematical Representation”. Math Vault (на језику: енглески). 1. 8. 2019. Приступљено 9. 12. 2019. 
  2. ^ Classic texts on representation theory include Curtis & Reiner (1962) and Serre (1977). Other excellent sources are Fulton & Harris (1991) and Goodman & Wallach (1998)
  3. ^ „representation theory in nLab”. ncatlab.org. Приступљено 9. 12. 2019. 
  4. ^ For the history of the representation theory of finite groups, see Lam (1998). For algebraic and Lie groups, see Borel (2001)
  5. 5,0 5,1 5,2 Etingof, Pavel; Golberg, Oleg; Hensel, Sebastian; Liu, Tiankai; Schwendner, Alex; Vaintrob, Dmitry; Yudovina, Elena (10. 1. 2011). „Introduction to representation theory” (PDF). www-math.mit.edu. Приступљено 9. 12. 2019. 
  6. 6,0 6,1 There are many textbooks on vector spaces and linear algebra. For an advanced treatment, see Kostrikin & Manin (1997)
  7. ^ Sally & Vogan 1989
  8. ^ Teleman, Constantin (2005). „Representation Theory” (PDF). math.berkeley.edu. Приступљено 9. 12. 2019. 
  9. ^ Sternberg 1994
  10. ^ Lam 1998, стр. 372
  11. ^ Folland 1995
  12. ^ Goodman & Wallach 1998, Olver 1999, Sharpe 1997
  13. ^ Borel & Casselman 1979, Gelbart 1984
  14. ^ See the previous footnotes and also Borel (2001)
  15. ^ Simson, Skowronski & Assem 2007
  16. ^ Fulton & Harris 1991, Simson, Skowronski & Assem 2007, Humphreys 1972

LiteraturaУреди

Spoljašnje vezeУреди