Теорија репрезентације

Теорија репрезентације је грана математике која проучава апстрактне алгебарске структуре представљајући њихове елементе као линеарне трансформације векторских простора, и проучава модуле за ове апстрактне алгебарске структуре. У суштини, репрезентација чини апстрактни алгебрски објекат конкретнијим описујући његове елементе матрицама и његовим алгебарским операцијама (на пример, сабирање матрица, множење матрица). Теорија матрица и линеарних оператора је добро изучена, тако да репрезентација апстрактнијих објеката у смислу познатих линеарних алгебричних објеката помаже у стицању увида у својстава, а понекад и поједностављује израчунавања на апстрактнијим теоријама.

Теорија репрезентације проучава како алгебарске структуре „делују” на објекте. Најједноставнији примери су како симетрије правилних полигона, које се састоје од рефлексија и ротација, трансформишу полигон.

Алгебрски објекти који се могу описати укључују групе, асоцијативне алгебре и Лијеве алгебре. Најпроминентнија од њих (и историјски прва) је теорија репрезентације група, у којој су елементи групе представљени инвертабилним матрицама на такав начин да је групна операција множење матрица.

Теорија репрезентације је корисна метода јер своди проблеме апстрактне алгебре на проблеме линеарне алгебре, област која је добро изучена. Надаље, векторски простор на којем је представљена група (на пример) може бити бесконачно димензионалан, и допуштајући да буде, на пример, Хилбертов простор, методе анализе могу се применити на теорију група. Теорија репрезентације је такође важна у физици јер, на пример, она описује како група симетрије физичког система утиче на решења једначина која описују тај систем.

Теорија репрезентације је из два разлога прожимајућа у више области математике. Прво, примене теорије репрезентације су разноврсне, те поред утицаја на алгебру, теорија репрезентације:

• осветљава и генералише Фуријеову анализу путем хармонијске анализе,
• повезана је са геометријом путем инвариантне теорије и Ерлангеновог програма,
• има утицаја на теорију бројева путем аутоморфних форми и програма Лангландса.

Друго, постоје различити приступи теорији репрезентације. Исти се објекти могу проучавати методама из алгебарске геометрије, теорије модула, теорије аналитичких бројева, диференцијалне геометрије, теорије оператора, алгебарске комбинаторике и топологије.

Успех теорије репрезентације довео је до бројних генерализација. Једна од најчешћих је у теорији категорија. Алгебарски објекти на које се односи теорија репрезентације могу се посматрати као посебне врсте категорија, а репрезентације као функтори из категорије објекта у категорију векторских простора. Овај опис указује на две очигледне генерализације: прво, алгебарски објекти се могу заменити општијим категоријама; друго, циљна категорија векторских простора може се заменити другим добро изученим категоријама.

Дефиниције и концепти

Нека је V векторски простор над пољем F. На пример, простор V је Rⁿ или Cⁿ, стандардни n-димензионални простор од колонских вектора над реалним или комплексним бројевима, респективно. У том случају, идеја репрезентационе теорије је да се примени апстрактна алгебра конкретно користећи n × n матрице реалних или комплексних бројева.

Постоје три главне врсте алгебарских објеката за које се то може учинити: групе, асоцијативне алгебре и Лијеве алгебре.

• Скуп свих инвертабилних n × n матрица је група под матричним множењем, и теорија репрезентације група анализира групу описивањем („репрезентацијом”) њених елемената у смислу инверзибилних матрица.
• Матрично сабирање и множење сачињавају скуп свих n × n матрица у асоцијативној алгебри, и стога постоји кореспондирајућа теорија репрезентације асоцијативних алгебри.
• Ако се замени матрично множење MN са матричним комутатором MN − NM, онда n × n матрице постају уместо тога Лијева алгебра, што доводи со теорије репрезентације Лијевих алгебри.

Ово се генерализује до било ког поља F и било ког векторског простора V над F, при чему линеарне мапе замењују матрице и композиција замењује матрично множење: постоји група GL(V,F) аутоморфизама од V, асоцијативна алгебра End_F(V) свих ендоморфизама од V, и кореспондирајућа Лијева алгебра gl(V,F).

Литература

• Алперин, Ј. L. (1986), Лоцал Репресентатион Тхеорy: Модулар Репресентатионс ас ан Интродуцтион то тхе Лоцал Репресентатион Тхеорy оф Фините Гроупс, Цамбридге Университy Пресс, ИСБН 978-0-521-44926-7 .
• Баргманн, V. (1947), „Ирредуцибле унитарy репресентатионс оф тхе Лоренз гроуп”, Анналс оф Матхематицс, 48 (3): 568—640, ЈСТОР 1969129, дои:10.2307/1969129 .
• Борел, Арманд (2001), Ессаyс ин тхе Хисторy оф Лие Гроупс анд Алгебраиц Гроупс, Америцан Матхематицал Социетy, ИСБН 978-0-8218-0288-5 .
• Борел, Арманд; Цасселман, W. (1979), Аутоморпхиц Формс, Репресентатионс, анд L-фунцтионс, Америцан Матхематицал Социетy, ИСБН 978-0-8218-1435-2 .
• Цуртис, Цхарлес W.; Реинер, Ирвинг (1962), Репресентатион Тхеорy оф Фините Гроупс анд Ассоциативе Алгебрас, Јохн Wилеy & Сонс (Реедитион 2006 бy АМС Бооксторе), ИСБН 978-0-470-18975-7 .
• Гелбарт, Степхен (1984), „Ан Елементарy Интродуцтион то тхе Лангландс Програм”, Буллетин оф тхе Америцан Матхематицал Социетy, 10 (2): 177—219, дои:10.1090/С0273-0979-1984-15237-6 .
• Фолланд, Гералд Б. (1995), А Цоурсе ин Абстрацт Хармониц Аналyсис, ЦРЦ Пресс, ИСБН 978-0-8493-8490-5 .
• Шаблон:Фултон-Харрис.
• Гоодман, Рое; Wаллацх, Нолан Р. (1998), Репресентатионс анд Инвариантс оф тхе Цлассицал Гроупс, Цамбридге Университy Пресс, ИСБН 978-0-521-66348-9 .
• Гордон, Јамес; Лиебецк, Мартин (1993), Репресентатионс анд Цхарацтерс оф Фините Гроупс, Цамбридге: Цамбридге Университy Пресс, ИСБН 978-0-521-44590-0 .
• Халл, Бриан C. (2015), Лие Гроупс, Лие Алгебрас, анд Репресентатионс: Ан Елементарy Интродуцтион, Градуате Теxтс ин Матхематицс, 222 (2нд изд.), Спрингер, ИСБН 978-3319134666 
• Хелгасон, Сигурдур (1978), Дифферентиал Геометрy, Лие гроупс анд Сyмметриц Спацес, Ацадемиц Пресс, ИСБН 978-0-12-338460-7 
• Хумпхреyс, Јамес Е. (1972а), Интродуцтион то Лие Алгебрас анд Репресентатион Тхеорy, Биркхäусер, ИСБН 978-0-387-90053-7 .
• Хумпхреyс, Јамес Е. (1972б), Линеар Алгебраиц Гроупс, Градуате Теxтс ин Матхематицс, 21, Берлин, Неw Yорк: Спрингер-Верлаг, ИСБН 978-0-387-90108-4, МР 0396773 
• Јантзен, Јенс Царстен (2003), Репресентатионс оф Алгебраиц Гроупс, Америцан Матхематицал Социетy, ИСБН 978-0-8218-3527-2 .
• Кац, Вицтор Г. (1977), „Лие супералгебрас”, Адванцес ин Матхематицс, 26 (1): 8—96, дои:10.1016/0001-8708(77)90017-2 .
• Кац, Вицтор Г. (1990), Инфините Дименсионал Лие Алгебрас (3рд изд.), Цамбридге Университy Пресс, ИСБН 978-0-521-46693-6 .
• Кнапп, Антхонy W. (2001), Репресентатион Тхеорy оф Семисимпле Гроупс: Ан Овервиеw Басед он Еxамплес, Принцетон Университy Пресс, ИСБН 978-0-691-09089-4 .
• Ким, Схоон Кyунг (1999), Гроуп Тхеоретицал Метходс анд Апплицатионс то Молецулес анд Црyсталс: Анд Апплицатионс то Молецулес анд Црyсталс, Цамбридге Университy Пресс, ИСБН 978-0-521-64062-6 .
• Кострикин, А. I.; Манин, Yури I. (1997), Линеар Алгебра анд Геометрy, Таyлор & Францис, ИСБН 978-90-5699-049-7 .
• Лам, Т. Y. (1998), „Репресентатионс оф фините гроупс: а хундред yеарс”, Нотицес оф тхе АМС, 45 (3,4): 361–372 (Парт I), 465–474 (Парт II) .
• Yурии I. Лyубицх. Интродуцтион то тхе Тхеорy оф Банацх Репресентатионс оф Гроупс. Транслатед фром тхе 1985 Руссиан-лангуаге едитион (Кхарков, Украине). Биркхäусер Верлаг. 1988.
• Мумфорд, Давид; Фогартy, Ј.; Кирwан, Ф. (1994), Геометриц инвариант тхеорy, Ергебниссе дер Матхематик унд ихрер Грензгебиете (2) [Ресултс ин Матхематицс анд Релатед Ареас (2)], 34 (3рд изд.), Берлин, Неw Yорк: Спрингер-Верлаг, ИСБН 978-3-540-56963-3, МР 0214602 ; МР0719371 (2нд ед.); МР1304906(3рд ед.)
• Олвер, Петер Ј. (1999), Цлассицал инвариант тхеорy, Цамбридге: Цамбридге Университy Пресс, ИСБН 978-0-521-55821-1 .
• Петер, Ф.; Wеyл, Херманн (1927), „Дие Воллстäндигкеит дер примитивен Дарстеллунген еинер гесцхлоссенен континуиерлицхен Группе”, Матхематисцхе Аннален, 97 (1): 737—755, дои:10.1007/БФ01447892, Архивирано из оригинала 19. 8. 2014. г. .
• Понтрјагин, Лев С. (1934), „Тхе тхеорy оф топологицал цоммутативе гроупс”, Анналс оф Матхематицс, 35 (2): 361—388, ЈСТОР 1968438, дои:10.2307/1968438 .
• Саллy, Паул; Воган, Давид А. (1989), Репресентатион Тхеорy анд Хармониц Аналyсис он Семисимпле Лие Гроупс, Америцан Матхематицал Социетy, ИСБН 978-0-8218-1526-7 .
• Серре, Јеан-Пиерре (1977), Линеар Репресентатионс оф Фините Гроупс, Спрингер-Верлаг, ИСБН 978-0387901909 .
• Схарпе, Рицхард W. (1997), Дифферентиал Геометрy: Цартан'с Генерализатион оф Клеин'с Ерланген Програм, Спрингер, ИСБН 978-0-387-94732-7 .
• Симсон, Даниел; Скоwронски, Андрзеј; Ассем, Ибрахим (2007), Елементс оф тхе Репресентатион Тхеорy оф Ассоциативе Алгебрас, Цамбридге Университy Пресс, ИСБН 978-0-521-88218-7 .
• Стернберг, Схломо (1994), Гроуп Тхеорy анд Пхyсицс, Цамбридге Университy Пресс, ИСБН 978-0-521-55885-3 .
• Тунг, Wу-Ки (1985). Гроуп Тхеорy ин Пхyсицс (1ст изд.). Неw Јерсеy·Лондон·Сингапоре·Хонг Конг: Wорлд Сциентифиц. ИСБН 978-9971966577. 
• Wеyл, Херманн (1928), Группентхеорие унд Qуантенмецханик (Тхе Тхеорy оф Гроупс анд Qуантум Мецханицс, транслатед Х.П. Робертсон, 1931 изд.), С. Хирзел, Леипзиг (репринтед 1950, Довер), ИСБН 978-0-486-60269-1 .
• Wеyл, Херманн (1946), Тхе Цлассицал Гроупс: Тхеир Инвариантс анд Репресентатионс (2нд изд.), Принцетон Университy Пресс (репринтед 1997), ИСБН 978-0-691-05756-9 .
• Wигнер, Еугене П. (1939), „Он унитарy репресентатионс оф тхе инхомогенеоус Лорентз гроуп”, Анналс оф Матхематицс, 40 (1): 149—204, ЈСТОР 1968551, дои:10.2307/1968551 .

Спољашње везе

• Хазеwинкел Мицхиел, ур. (2001). „Репресентатион тхеорy”. Енцyцлопаедиа оф Матхематицс. Спрингер. ISBN 978-1556080104. 
• Алеxандер Кириллов Јр., Ан интродуцтион то Лие гроупс анд Лие алгебрас (2008). Теxтбоок, прелиминарy версион пдф доwнлоадабле фром аутхор'с хоме паге.