Ротационо кретање чврстог тела

Ротација или спин је кружно кретање објекта око централне осе. Равна фигура може да се ротира било у смеру казаљке на сату или супротно од казаљке на сату око окомите централне осе која пресеца било где унутар или изван фигуре. Чврста фигура има бесконачан број могућих централних оса и праваца ротације.

Сфера која се ротира (окреће) око осе

Под крутим телом се подразумева замишљен механички систем од великог броја материјалних тачака, чија се међусобна растојања не мењају током времена без обзира да ли тело мирује или се креће. Током кретања свака његова тачка описује своју путању. У случају ротационог кретања све тачке описују кружне путање у равнима које су нормалне на осу ротације и чији се центри налазе на тој оси. Из овог се може приметити следеће: а) тачке које припадају оси ротације остају непокретне за све време кретања тела; б) да свака тачка тела има своју путању, брзину и убрзање, услед чега ове величине не могу да послуже за одређивање кретања целог тела; ц) да се радијус вектори свих тачака (вектор повучен из центра одговарајуће кружнице у дату тачку) заокрену за исти угао Δφ у току ротације. Угао Δφ назива се угао заокрета или угаони померај целог крутог тела.

Угаони померај

Угаони померај узима се као једна од кинематичких карактеристика ротационог кретања крутог тела, јер је исти за све његове тачке. Да би смо дефинисали кретање, везаћемо за осу ротације з-осу Декартовог правоуглог координатног система и сматраћемо да је смер ротације тела позитиван ако угаони померај расте од непомичне равни I у смеру који је супротан смеру обртања казаљке на сату (за посматрача који гледа из позитивног смера з-осе) а да је негативан – ако расте у смеру обртања казаљке на сату.

Ротационо кретање чврстих тела

При ротацији тела величина угаоног помераја Δφ расте у току времена по закону:

Δφ = φ(т)

Функција која у односу на дату осу одређује положај тела у сваком тренутку сматра се да је једнозначна, непрекидна и диференцијабилна у току целог кретања.

Да би угаони померај дефинисао ротацију тела мора се приказати као условни вектор:

Δφ ⃗ = Δφ ⋅ ω ⃗₀

Интензитет вектора Δφ ⃗ је бројно једнак угаоном померају Δφ , правац се поклапа са осом ротације а смер је на ону страну одакле се види да се ротација врши у позитивном смеру. Вектор ω ⃗_о је орт осе ротације. Треба нагласити да се само врло мали угаони помераји 𝑑φ могу третирати као вектори, јер подлежу векторском сабирању односно векторској алгебри

Поред угаоног помераја кинематичке карактеристике обртања крутог тела око непокретне осе су још и угаона брзина ω и угаоно убрзање α.

Угаона брзина

Средња угаона брзина (за дати временски интервал) једнака је количнику прираштаја угаоног помераја и временског интервала у којем је тај прираштај настао.

ω ⃗_ср = (Δφ ⃗)/Δт

Гранична вредност количника Δφ ⃗ / Δ𝑡 , када Δ𝑡 тежи нули , назива се тренутна угаона брзина ,

ω ⃗= лим _Δт→0 (Δφ/Δт)

Према овој једначини се види да је угаона брзина тела једнака првом изводу вектора помераја по времену. Вектор угаоне брзине ω ⃗ има интензитет једнак 𝑑φ / 𝑑𝑡 , правац дуж осе ротације тела, а смер јој се одређује по правилу десног завртња. Односно то је вектор колинеаран са вектором угаоног помераја , па се може представити у облику :

ω ⃗ = ω ⋅ ω ⃗₀

Ротација тела са константном угаоном брзином ω ⃗ = цонст назива се једнако ротационо кретање – периодично кретање.

Угаоно убрзање

Дефиниција

При неравномерном обртању тела око непокретне осе, угаона брзина је променљива. Промена вектора угаоне брзине у неком интервалу времена Δ𝑡 назива се средње угаоно убрзање:

α ⃗_ср = (Δω ⃗)/Δт

Гранична вредност којој тежи однос (Δω ⃗)/Δт , кад Δ𝑡 тежи нули, назива се тренутним угаоним убрзањем:

α ⃗ =лим_(Δт⟶0)⁡((Δω ⃗)/Δт)= (дω ⃗)/дт = дω/дт ⋅ (ω₀ ) ⃗

јер је ω ⃗ ₀ = цонст.

Дакле, угаоно убрзање обртног тела једнако је првом изводу вектора угаоне брзине по времену.

Вектор угаоног убрзања α ⃗ лежи на оси ротације као и вектор угаоне брзине, а његов смер зависи од знака прираштаја угаоне брзине. Ако је обртање тела убрзано онда се смер вектора угаоног убрзања поклапа са смером вектора угаоне брзине, а ако је обртање успорено онда ови вектори имају супротне смерове.

Јединица угаоне брзине је један радијан у секунди ( рад/с) , док је јединица угаоног убрзања радијан у секунди на квадрат ( рад/с² ).

Примери ротационог кретања тела

Равномерно ротационо кретање тела

Ако је угаона брзина ω ⃗ тела које ротира константна у неком временском интервалу, такво ротационо кретање назива се равномерно ротационо . У том случају, интеграљењем једначине

ω ⃗ = (дφ ⃗)/дт = цонст

можемо добити закон равномерног обртања тела. Претпоставићемо да је у почетном тренутку 𝑡=0 вредност угла φ = φ₀ , тада интеграљењем добијамо:

φ = ω𝑡 + φ₀

Према томе равномерно ротационо кретање карактерише се следећим једначинама:

φ ⃗ = 0, ω ⃗ = цонст и φ = φ₀ + ω𝑡 .

Равномерно убрзано ротационо кретање тела

Ако је вектор угаоног убрзања α ⃗ = цонст у неком временском интервалу, такво кретање тела назива се равномерно убрзаним, па на основу дефиниције имамо:

α ⃗ = (дω ⃗)/дт = (α₀ ) ⃗ = цонст

Закон равномерно променљивог обртања тела добијамо интеграљењем ове једначине уз услов да је у почетном тренутку 𝑡=0 угаона брзина била ω = ω₀ :

ω = ω₀ + α₀ 𝑡

ову једначину можемо написати у облику

𝑑φ = ω₀ 𝑑𝑡 + αо 𝑡𝑑𝑡

после њеног интеграљења са истим почетним условима, добијамо закон променљивог обртања крутог тела око непокретне осе у облику

φ = ω₀𝑡 + 1/2 α₀т² + φ₀

На основу добијених једначина види се аналогија формула са равномерним и једнако убрзаним транслаторним кретањем.

Литература

• Драгован V. Благојевић, Милан L. Глигорић (1977). Механика. Београд: Раднички универзитет "Нови Београд". стр. 244. ИСБН 413-241/74-02. 
• Жижић, Божидар (1979). Курс опште физике - физичка механика. Београд: Научна књига. стр. 37. ИСБН 06-803/1. 
• Хестенес, Давид (1999). Неw Фоундатионс фор Цлассицал Мецханицс. Дордрецхт: Клуwер Ацадемиц Публисхерс. ИСБН 0-7923-5514-8. 
• Лоунесто, Пертти (2001). Цлиффорд алгебрас анд спинорс. Цамбридге: Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 978-0-521-00551-7. 
• Браннон, Ребецца M. (2002). „А ревиеw оф усефул тхеоремс инволвинг пропер ортхогонал матрицес референцед то тхрее-дименсионал пхyсицал спаце.” (ПДФ). Албуqуерqуе: Сандиа Натионал Лабораториес. 
• Коетсиер, Теун (1994), „§8.3 Кинематицс”, Ур.: Граттан-Гуиннесс, Ивор, Цомпанион Енцyцлопедиа оф тхе Хисторy анд Пхилосопхy оф тхе Матхематицал Сциенцес, 2, Роутледге, стр. 994—1001, ИСБН 0-415-09239-6 
• Моон, Францис C. (2007). Тхе Мацхинес оф Леонардо Да Винци анд Франз Реулеауx, Кинематицс оф Мацхинес фром тхе Ренаиссанце то тхе 20тх Центурy. Спрингер. ИСБН 978-1-4020-5598-0. 
• Едуард Студy (1913) D.Х. Делпхеницх транслатор, "Фоундатионс анд гоалс оф аналyтицал кинематицс".
• Дорст, Лео; Доран, Цхрис; Ласенбy, Јоан (2002). Апплицатионс оф геометриц алгебра ин цомпутер сциенце анд енгинееринг. Биркхäусер. ИСБН 0-8176-4267-6. 
• Сyмон, Кеитх (1971). Мецханицс. Аддисон-Wеслеy, Реадинг, МА. ИСБН 978-0-201-07392-8. 
• Ландау, L.D.; Лифсхитз, Е.M. (1997). Мецханицс. Буттерwортх-Хеинеманн. ИСБН 978-0-7506-2896-9. 
• Кеитх, Сyмон (1971). Мецханицс. Аддисон-Wеслеy, Реадинг, МА. ИСБН 978-0-201-07392-8. 
• Арво, Јамес (1992), „Фаст рандом ротатион матрицес”, Ур.: Давид Кирк, Грапхицс Гемс III, Сан Диего: Ацадемиц Пресс Профессионал, стр. 117–120, Бибцоде:1992грге.боок.....К, ИСБН 978-0-12-409671-4 
• Бакер, Андреw (2003), Матриx Гроупс: Ан Интродуцтион то Лие Гроуп Тхеорy, Спрингер, ИСБН 978-1-85233-470-3 
• Бар-Итзхацк, Итзхацк Y. (2000), „Неw метход фор еxтрацтинг тхе qуатернион фром а ротатион матриx”, Јоурнал оф Гуиданце, Цонтрол анд Дyнамицс, 23 (6): 1085—1087, Бибцоде:2000ЈГЦД...23.1085Б, ИССН 0731-5090, дои:10.2514/2.4654 
• Бјöрцк, Åке; Боwие, Цлазетт (јун 1971), „Ан итеративе алгоритхм фор цомпутинг тхе бест естимате оф ан ортхогонал матриx”, СИАМ Јоурнал он Нумерицал Аналyсис, 8 (2): 358—364, Бибцоде:1971СЈНА....8..358Б, ИССН 0036-1429, дои:10.1137/0708036 ЦС1 одржавање: Формат датума (веза)
• Цаyлеy, Артхур (1846), „Сур qуелqуес проприéтéс дес дéтерминантс гауцхес”, Јоурнал фüр дие реине унд ангеwандте Матхематик, 1846 (32): 119—123, ИССН 0075-4102, С2ЦИД 199546746, дои:10.1515/црлл.1846.32.119 ; репринтед ас артицле 52 ин Цаyлеy, Артхур (1889), Тхе цоллецтед матхематицал паперс оф Артхур Цаyлеy, I (1841–1853), Цамбридге Университy Пресс, стр. 332—336 
• Диацонис, Перси; Схахсхахани, Мехрдад (1987), „Тхе субгроуп алгоритхм фор генератинг униформ рандом вариаблес”, Пробабилитy ин тхе Енгинееринг анд Информатионал Сциенцес, 1: 15—32, ИССН 0269-9648, дои:10.1017/С0269964800000255 
• Енгø, Кентх (јун 2001), „Он тхе БЦХ-формула ин со(3)”, БИТ Нумерицал Матхематицс, 41 (3): 629—632, ИССН 0006-3835, С2ЦИД 126053191, дои:10.1023/А:1021979515229 ЦС1 одржавање: Формат датума (веза)
• Фан, Кy; Хоффман, Алан Ј. (фебруар 1955), „Соме метриц инеqуалитиес ин тхе спаце оф матрицес”, Процеедингс оф тхе Америцан Матхематицал Социетy, 6 (1): 111—116, ИССН 0002-9939, ЈСТОР 2032662, дои:10.2307/2032662  ЦС1 одржавање: Формат датума (веза)
• Фултон, Wиллиам; Харрис, Јое (1991), Репресентатион Тхеорy: А Фирст Цоурсе, Градуате Теxтс ин Матхематицс, 129, Неw Yорк, Берлин, Хеиделберг: Спрингер, ИСБН 978-0-387-97495-8, МР 1153249 
• Голдстеин, Херберт; Пооле, Цхарлес П.; Сафко, Јохн L. (2002), Цлассицал Мецханицс (тхирд изд.), Аддисон Wеслеy, ИСБН 978-0-201-65702-9 
• Халл, Бриан C. (2004), Лие Гроупс, Лие Алгебрас, анд Репресентатионс: Ан Елементарy Интродуцтион, Спрингер, ИСБН 978-0-387-40122-5  (ГТМ 222)
• Хертер, Тхомас; Лотт, Клаус (1993), „Алгоритхмс фор децомпосинг 3-D ортхогонал матрицес инто примитиве ротатионс”, Цомпутерс & Грапхицс, 17 (5): 517—527, ИССН 0097-8493, дои:10.1016/0097-8493(93)90003-Р 
• Хигхам, Ницхолас Ј. (1. 10. 1989), „Матриx неарнесс проблемс анд апплицатионс”, Ур.: Говер, Мицхаел Ј. C.; Барнетт, Степхен, Апплицатионс оф Матриx Тхеорy, Оxфорд Университy Пресс, стр. 1–27, ИСБН 978-0-19-853625-3 ЦС1 одржавање: Формат датума (веза)
• Леóн, Царлос А.; Массé, Јеан-Цлауде; Ривест, Лоуис-Паул (фебруар 2006), „А статистицал модел фор рандом ротатионс”, Јоурнал оф Мултивариате Аналyсис, 97 (2): 412—430, ИССН 0047-259X, дои:10.1016/ј.јмва.2005.03.009  ЦС1 одржавање: Формат датума (веза)
• Милес, Рогер Е. (децембар 1965), „Он рандом ротатионс ин Р³”, Биометрика, 52 (3/4): 636—639, ИССН 0006-3444, ЈСТОР 2333716, дои:10.2307/2333716 ЦС1 одржавање: Формат датума (веза)
• Молер, Цлеве; Моррисон, Доналд (1983), „Реплацинг сqуаре роотс бy пyтхагореан сумс”, ИБМ Јоурнал оф Ресеарцх анд Девелопмент, 27 (6): 577—581, ИССН 0018-8646, дои:10.1147/рд.276.0577, Архивирано из оригинала 09. 06. 2016. г., Приступљено 15. 06. 2023 
• Мурнагхан, Францис D. (1950), „Тхе елемент оф волуме оф тхе ротатион гроуп”, Процеедингс оф тхе Натионал Ацадемy оф Сциенцес, 36 (11): 670—672, Бибцоде:1950ПНАС...36..670М, ИССН 0027-8424, ПМЦ 1063502 , ПМИД 16589056, дои:10.1073/пнас.36.11.670  
• Мурнагхан, Францис D. (1962), Тхе Унитарy анд Ротатион Гроупс, Лецтурес он апплиед матхематицс, Wасхингтон: Спартан Боокс 
• Цаyлеy, Артхур (1889), Тхе цоллецтед матхематицал паперс оф Артхур Цаyлеy, I (1841–1853), Цамбридге Университy Пресс, стр. 332—336 
• Паетх, Алан W. (1986), „А Фаст Алгоритхм фор Генерал Растер Ротатион” (ПДФ), Процеедингс, Грапхицс Интерфаце '86: 77—81 
• Даубецхиес, Ингрид; Сwелденс, Wим (1998), „Фацторинг wавелет трансформс инто лифтинг степс” (ПДФ), Јоурнал оф Фоуриер Аналyсис анд Апплицатионс, 4 (3): 247—269, С2ЦИД 195242970, дои:10.1007/БФ02476026 
• Пиqуе, Мицхаел Е. (1990), „Ротатион Тоолс”, Ур.: Андреw С. Гласснер, Грапхицс Гемс, Сан Диего: Ацадемиц Пресс Профессионал, стр. 465—469, ИСБН 978-0-12-286166-6 
• Схепперд, Станлеy W. (1978), „Qуатернион фром ротатион матриx”, Јоурнал оф Гуиданце анд Цонтрол, 1 (3): 223—224, дои:10.2514/3.55767б 
• Схоемаке, Кен (1994), „Еулер англе цонверсион”, Ур.: Паул Хецкберт, Грапхицс Гемс IV, Сан Диего: Ацадемиц Пресс Профессионал, стр. 222–229, ИСБН 978-0-12-336155-4 
• Стуелпнагел, Јохн (октобар 1964), „Он тхе параметеризатион оф тхе тхрее-дименсионал ротатион гроуп”, СИАМ Ревиеw, 6 (4): 422—430, Бибцоде:1964СИАМР...6..422С, ИССН 0036-1445, С2ЦИД 13990266, дои:10.1137/1006093 ЦС1 одржавање: Формат датума (веза) (Алсо НАСА-ЦР-53568.)
• Варадарајан, Вееравалли С. (1984), Лие Гроупс, Лие Алгебрас, анд Тхеир Репресентатион, Спрингер, ИСБН 978-0-387-90969-1  (ГТМ 102)
• Wеддербурн, Јосепх Х. M. (1934), Лецтурес он Матрицес, АМС, ИСБН 978-0-8218-3204-2 

Спољашње везе

• Хазеwинкел Мицхиел, ур. (2001). „Ротатион”. Енцyцлопаедиа оф Матхематицс. Спрингер. ISBN 978-1556080104. 
• Продуцт оф Ротатионс ат цут-тхе-кнот. цут-тхе-кнот.орг
• Wхен а Триангле ис Еqуилатерал ат цут-тхе-кнот. цут-тхе-кнот.орг
• Ротате Поинтс Усинг Полар Цоординатес, хоwтопроперлy.цом
• Ротатион ин Тwо Дименсионс бy Сергио Ханнибал Мејиа афтер wорк бy Рогер Гермундссон анд Ундерстандинг 3Д Ротатион бy Рогер Гермундссон, Wолфрам Демонстратионс Пројецт. демонстратионс.wолфрам.цом