Bernulijeva lemniskata

U matematici, Bernulijeva lemniskata je algebarska kriva u obliku položene osmice, opisana kartezijanskom jednačinom u obliku:

(x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}-y^{2})\,

Grafik ove jednačine daje krivu sličnu simbolu za beskonačnost, $\infty$ . Sam ovaj simbol se ponekad naziva lemniskatom. Njegovo Unikod predstavljanje je ∞ (∞).

Lemniskatu je prvi opisao Jakob Bernuli, 1694, kao modifikaciju elipse, koja je geometrijsko mesto tačaka (lokus) za koje je zbir razdaljina od dve fiksirane fokalne tačke, konstantan. Za razliku od nje, lemniskata je geometrijsko mesto tačaka za koje je proizvod ovih razdaljina konstanta. Bernuli je ovu krivu nazivao lemniscus, što je latinski za 'ukrasnu traku'.

Lemniskata se može dobiti inverznom transformacijom hiperbole, inverzijom u odnosu na krug čiji je centar u centru hiperbole. Lemniskata je i jedan od specijalnih slučajeva Kasinijevoga ovala.

Druge jednačine

Lemniskata se takođe može predstaviti polarnom jednačinom

r^{2}=a^{2}\cos 2\theta \,

ili bipolarnom jednačinom

rr'={\frac {a^{2}}{2}}

Dužina luka i eliptičke funkcije

Integrali kojima se izražava dužina luka lemniskate su eliptički integrali, kako je otkriveno još u osamnaestom veku. Oko 1800. godine, Karl Fridrih Gaus je proučavao eliptičke funkcije, koje su inverzne ovim integralima (ovaj rad je uglavnom bio neobjavljen u svoje vreme, ali se na njega aludira u napomenama Gausovim Disquisitiones Arithmeticae). Mreža (latis) perioda je posebnog oblika, proporcionalna Gausovim celim brojevima. Iz ovog razloga se slučaj eliptičkih funkcija sa kompleksnim množenjem imaginarnom jedinicom u nekim izvorima naziva "lemniskantnim slučajem".

Vidi još

Kasinijev oval