Euklidska razdaljina

U matematici, Euklidska razdaljina ili Euklidska metrika je uobičajena razdaljina između dve tačke, koju bismo izmerili lenjirom, što se može dokazati uzastopnom primenom Pitagorine teoreme. Korišćenjem ove formule kao razdaljine, Euklidski prostor postaje metrički prostor (čak Hilbertov prostor). Ponegde se ova metrika naziva i Pitagorinom metrikom. Ova tehnika je otkrivana više puta tokom istorije, jer se radi logičkom proširenju Pitagorine teoreme.

Definicija

Euklidska razdaljina između tačaka $P=(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})\,$ i $Q=(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})\,$, u Euklidskom n-prostoru, se definiše kao:

${\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(p_{i}-q_{i})^{2}}}.$

Jednodimenziona razdaljina

Za dve jednodimenzione tačke, $P=(p_{x})\,$ i $Q=(q_{x})\,$, razdaljina se računa kao:

${\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}}}=|p_{x}-q_{x}|$

Apsolutna vrednost se koristi jer se razdaljina obično smatra neoznačenom skalarnom vrednošću.

Dvodimenziona razdaljina

Za dve dvodimenzione tačke, $P=(p_{x},p_{y})\,$ i $Q=(q_{x},q_{y})\,$, razdaljina se računa kao:

${\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}}}$

Alternativno, izraženo u polarnim koordinatama, za $P=(r_{1},\theta _{1})\,$ i $Q=(r_{2},\theta _{2})\,$, razdaljina je:

${\sqrt {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})}}$

Trodimenziona razdaljina

Za dve trodimenzione tačke, $P=(p_{x},p_{y},p_{z})\,$ i $Q=(q_{x},q_{y},q_{z})\,$, razdaljina se računa kao:

${\sqrt {(p_{x}-q_{x})^{2}+(p_{y}-q_{y})^{2}+(p_{z}-q_{z})^{2}}}.$

Vidi još

• Mahalanobisova razdaljina
• Menhetn razdaljina
• Metrika