U matematičkoj analizi, grani matematike, izvod je mera kako (koliko brzo) funkcija menja svoje vrednosti kada joj se ulazne vrednosti menjaju. Izvod krive u nekoj tački predstavlja koeficijent pravca tangente date krive u toj tački.

Grafik funkcije, nacrtan crnom, i tangentna linija te funkcije, nacrtana crvenom. Nagib tangente prema x-osi je jednak izvodu funkcije u označenoj tački.

Izvod funkcije f(x) u tački a se definiše kao:

ukoliko limes postoji. Inače, izvod možemo shvatiti i kao linearni operator.

Postupak pronalaženja izvoda funkcije se naziva diferencijacijom. Diferencijacija proces obratan u odnosu na integraljenje.

Zapis izvodaUredi

Lajbnicova notacijaUredi

Simbole  ,  , i   je osmislio Gotfrid Vilhelm Lajbnic godine 1675. Još se često koristi kada se funkcija y = f(x) gleda kao odnos zavisnih i nezavisnih promenljivih. U tom slučaju se prvi izvod obeležava kao

 

i nekada se gledao kao infinitezimalni količnik. Izvodi višeg reda se obeležavaju notacijom

 

za n-ti izvod funkcije  . Oni predstavljaju skraćeni zapis ponovnog vršenja operatora izvoda, primer:

 

Sa Lajbnicovom notacijom možemo zapisati izvod funkcije   u tački   na dva načina:

 

Lajbnicova notacija dozvoljava preciziranje promenljive po kojoj se vrši izvod, što je bitno u parcijalnim izvodima. Takođe olakšava pamćenje formule za izvod složene funkcije

 

Lagranžova notacijaUredi

Najčešći način zapisivanja izvoda je koristeći Lagranžovu notaciju koja koristi oznaku prim ('), tako da je izvod funkcije   zapisan kao  . Slično, drugi i treći izvodi se obeležavaju:

    i    

Da bi se označio red izvoda iznad 3, neki autori koriste rimske brojeve u natpisu, a neki arapske brojeve u zagradama:

    ili    

n-ti izvod se označava kao  , ovaj zapis se koristi kada se govori o izvodu kao o sopstvenoj funkciji.

Njutnova notacija za diferencijaciju (takođe zvana tačkasti zapis za diferencijaciju) stavlja tačku preko zavisne promenljive. Odnosno, ako je y funkcija od t, tada je derivat od y u odnosu na t

 

Viši derivati su predstavljeni pomoću više tačaka, kao u

 

Njutnov zapis se obično koristi kada nezavisna promenljiva označava vreme. Ako je lokacija y funkcija od t, tada i   označava brzinu,[1] a   označava ubrzanje.[2]

Korišćenje izvoda za crtanje grafika funkcijaUredi

 
U svakoj tački, izvod je nagib tangente na krivu. Crvena prava je uvek tangenta plave krive; njen nagib je izvod.

Izvodi su koristan alat za ispitivanje grafika funkcija. Sve tačke unutar domena realnih funkcija koje predstavljaju lokalne ekstremume imaju za prvi izvod nulu. Međutim, nisu sve kritične tačke lokalni ekstremumi; na primer f (x) = x3 ima kritičnu tačku u x = 0, ali nema ni lokalni maksimum, ni lokalni minimum u ovoj tački.

Drugi izvod funkcije se može koristiti za ispitivanje konveksnosti funkcije. Prevojne tačke (tačke u kojima funkcija prelazi iz konveksnog u konkavni oblik) imaju za drugi izvod nulu.

Geometrijska interpretacija izvodaUredi

Ako je funkcija f diferencijabilna u tački x0, onda će koeficijent pravca tangente krive y = f (x) u tački T ( x0f (x0) ), biti jednaka tg α = f ' (x0), gde je α ugao koji tangenta zaklapa sa pozitivnim delom x-ose, a jednačina iste tangente će glasiti:

y - y0 = f ' (x0) · ( x − x0 ),

gde je y0 = f (x0).

Jednačina normale u datoj tački T će biti:

y −y0 = −1/f ' (x0) · ( xx0 )

Računanje izvodaUredi

Izvodi se mogu teoretski računati po definiciji u svakom primeru, ali se u praksi često koriste već gotovi računi poznatijih, jednostavnijih funkcija. Izvodi složenijih funkcija se računaju pomoću određenih pravila.

Izvodi jednostavnih funkcijaUredi

 ;  

  

 ; n - bilo koji broj

 ;  

 ;   =>  

 = 1, ln(e) = 1

Konačno:  

 ; 

 ;  

 

 ;  

  =>  

 

 ;  

 

 

 

 =>  .Kako  

 

 

 =>

 =>

 

 = = 

 = =  


Tablica izvoda elementarnih funkcijaUredi

Funkcija   Izvod   Funkcija   Izvod  
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       

Izvod složene funkcijeUredi

Data je složena funkcija  , gde je  

Izvod je jednak proizvodu izvoda pojedinačnih delova

 

Primer:

 

Osobine izvodaUredi

Zbir izvoda je izvod zbira

 


Izvod proizvoda

 

Specijalan slučaj je izvod funkcije pomnožene konstantom

 


Izvod količnika

 

Drugi izvod i izvodi višeg redaUredi

Drugi izvod se definiše kao izvod prvog izvoda:

 


Slično važi i za svaki sledeći izvod:

 
 

Vidi jošUredi

ReferenceUredi

  1. ^ Weisstein, Eric W. "Overdot." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. „Archived copy”. Arhivirano iz originala na datum 2015-09-05. Pristupljeno 2016-02-05. 
  2. ^ Weisstein, Eric W. "Double Dot." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. „Archived copy”. Arhivirano iz originala na datum 2016-03-03. Pristupljeno 2016-02-05. 

LiteraturaUredi

Spoljašnje vezeUredi