Integral

Integral je jedan od najvažnijih pojmova matematičke analize. Postoji više vrsta integrala, među kojima su najpoznatiji neodređeni, određeni, Stiltjesov i drugi.

Određeni integral funkcije može se predstaviti kao obeležena polja oblasti ograničena grafom funkcije.

Neodređeni integral se uvodi kao funkcija u izvesnom smislu inverzna diferenciranju, odnosno kao skup svih primitivnih funkcija za funkciju koja se integrali. Određeni (ili Rimanov) integral se uvodi pomođu tzv. integralnih suma. Iako je proučavanje ovih integrala u početku teklo nezavisno, čuvena je formula koja uspostavlja vezu između njih - Njutn-Lajbnicova formula.

Neodređeni integral

Pod neodređenim integralom naziva se skup svih primitivnih funkcija funkcije $f(x)$ i označava se sa:

$\int f(x)\,dx,$

gde se $f(x)$ naziva „podintegralnom funkcijom (integrandom)”, dok je $f(x)\,dx$ „podintegralni izraz”.

Određeni integral

Zbir površina normalnih odsečaka približava se traženoj površini ispod krive kada širina odsečaka (na apscisi) teži nuli.

Da bi se mogao uvesti pojam određenog integrala, pre svega je potrebno uvesti pojmove podele segmenta, parametra podele, skupa izabranih tačaka podele i Darbuove sume.

Pod podelom segmenta $[a,b]$ se smatra bilo koji konačan neprazan skup sa elementima $x_{0},x_{1},...,x_{n}$, gde je $x_{0}=a,x_{n}=b$ i $x_{i-1}<x_{i},i=1,...,n$. Parametar ove podele jeste $max(x_{i}-x_{i-1})$ za $i=1,...,n$. Skup izabranih tačaka ove podele je skup sa elementima $\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n}$ za koje važi ${x_{i-1}}\leq \xi _{i}\leq x_{i}$ za sve $i=1,...,n$. Darbuova suma funkcije $f$ sa datom podelom $P$ i skupom izabranih tačaka $\xi$ je $\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i})\cdot (x_{i}-x_{i-1})$.

Sada je, po definiciji, određeni integral funkcije $f$ na segmentu $[a,b]$ takva konstanta $I$ za koju važi

$(\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall P,\xi )\lambda (P)<\delta \implies |S(f,P,\xi )-I|<\epsilon$,

gde su $P$ — podela segmenta $[a,b]$, $\xi$ — skup izabranih tačaka podele $P$, $\lambda (P)$ — parametar podele $P$ i $S(f,P,\xi )$ — Darbuova suma fukcije $f$ pri podeli $P$ i skupu izabranih tačaka $\xi$. Tada se kaže da je $f$ integrabilna na $[a,b]$. Broj $I$ koji zadovoljava gorenavedeni kriterijum se označava sa

$\int _{a}^{b}f(x)dx$.

Važno je naznačiti da nemaju sve funkcije određeni integral na nekom segmentu. Takva je Vajerštrasova funkcija koja realan broj preslikava u 1 ako i samo ako je racionalan i nije 0, a inače u 0. Ispostavlja se da je potreban i dovoljan uslov da neka bude integrabilna na nekom segmentu njena prekidnost u konačno mnogo (ili ni u jednoj) tačaka tog segmenta.

Osnovna teorema integralnog računa

Osnovna teorema integralnog računa (koja se često naziva Njutn-Lajbnicovom formulom) daje vezu određenog i neodređenog integrala. Njom je dokazano da se vrednost određenog integrala može računati pomoću neodređenog integrala (antiderivacije) po formuli:

$\int _{a}^{b}\!f(x)\,dx=F(b)-F(a)\,$

gde je F(x) primitivna funkcija (antiderivacija) funkcije f(x).

Metode integriranja

Za razliku od deriviranja, integriranje je znatno složeniji postupak. Dok se poznavanjem tablice derivacija elementarnih funkcija i pravila za deriviranje (zbira, razlike, proizvoda, količnika i složene funkcije) može derivirati svaka funkciju, kod integriranja postupak nije tako jednostavan. Integriranje poznaje samo dva (elementarna) pravila:

• Pravilo za integriranje funkcije pomnožene skalarom

$\int A\cdot f(x)\,dx=A\cdot \int f(x)\,dx$

• Pravilo za integriranje zbira i razlike funkcija

$\int (f(x)\pm g(x))\,dx=\int f(x)\,dx\pm \int g(x)\,dx$

Ne postoje pravila za integriranje proizvoda, količnika ili složene funkcije, a mnogi integrali su dokazano nerješivi pomoću elementarnih funkcija, poput integrala $\int e^{x^{2}}\,dx$.

Tri osnovne metode koje se koriste za rešavanje integrala su:

• Metoda neposredne integracije je metoda u kojoj je cilj da se podintegralna funkcija f(x) zapiše na matematički ekvivalentan način, koji omogućava integriranje pomoću tablice osnovnih integrala. Na primer, ne postoji pravilo za integriranje umnoška $\int (x\cdot {\sqrt {x}})\,dx$, ali ako se podintegralna funkcija zapiše svođenjem izraza na zajedničku bazu x, $\int x^{\frac {3}{2}}\,dx$, integral se rešavamo uz pomoć tablice osnovnih integrala.
• Metoda supstitucije je metoda kojom se deo ili cela podintegralna funkcija zamenjuje jednostavnijim izrazom.
• Metoda parcijalne integracije je metoda čija je osnovna formula izvedena iz formule za deriviranje umnoška. Smisao metode je, prema postupku opisanom formulom, deo podintegralne funkcije derivirati, a deo integrisati (otuda i naziv parcijalna integracija). Cilj je da se dobije jednostavniji oblik integrala.

Nepravi integral

Primer konvergentnog nepravog integrala. Iako funkcija samo teži nuli kada se x povećava, skup označen plavom bojom ima površinu jednaku nepravom integralu koji iznosi 1.

Nepravi integral je proširenje koncepta integrala na poluotvorene segmente ili na interval $(a,b)$, s tim da rubna tačka b može biti beskonačna i funkcija u okolini tačke b može biti neograničena.

Razmotrimo funkciju $x\mapsto e^{-x}$. Pomoću nepravog integrala može se skupu ispod grafa te funkcije, i iznad ose x, na $[0,+\infty )$ dodeliti njegova površina i to na ovaj način:

$\int _{0}^{+\infty }e^{-x}dx=\lim _{B\to +\infty }\int _{0}^{B}e^{-x}dx.$

U tom slučaju napisani limes se naziva nepravim integralom. Ako postoji taj limes onda se kaže da integral konvergira. Obično se u literaturi nepravi integral zapisuje isto kao i običan integral, pa čitatelj treba ispitivanjem podintegralne funkcije i granica integracije da utvrdi o kojem je integralu reč.

Vidi još

• Neodređeni integral
• Tablični integrali
• Površinski integral
• Zapreminski integral
• Spisak integrala racionalnih funkcija
• Spisak integrala iracionalnih funkcija
• Spisak integrala eksponencijalnih funkcija
• Spisak integrala logaritamskih funkcija
• Spisak integrala trigonometrijskih funkcija
• Spisak integrala hiperboličkih funkcija
• Spisak integrala inverznih trigonometrijskih funkcija

Literatura

• Milton Abramowitz and Irene Stegun, editors. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables.
• I.S. Gradshteyn (I. S. Gradšteйn), I.M. Ryzhik (I. M. Rыžik); Alan Jeffrey, Daniel Zwillinger, editors. Table of Integrals, Series, and Products, seventh edition. Academic Press. 2007. ISBN 978-0-12-373637-6. Errata. (Several previous editions as well.)
• A.P. Prudnikov (A. P. Prudnikov), Yu.A. Brychkov (Ю. A. Brыčkov), O.I. Marichev (O. I. Maričev). Integrals and Series. First edition (Russian), volume 1–5, Nauka, 1981−1986. First edition (English, translated from the Russian by N.M. Queen), volume 1–5, Gordon & Breach Science Publishers/CRC Press, 1988–1992. ISBN 978-2-88124-097-3. Second revised edition (Russian), volume 1–3, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2003.
• Yu.A. Brychkov (Ю. A. Brыčkov). Handbook of Special Functions: Derivatives, Integrals, Series and Other Formulas. Russian edition, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2006. English edition, Chapman & Hall/CRC Press. 2008. ISBN 978-1-58488-956-4.
• Daniel Zwillinger. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, 31st edition. Chapman & Hall/CRC Press. 2002. ISBN 978-1-58488-291-6. (Many earlier editions as well.)
• Hirsch, Meyer (1810). Integraltafeln: oder, Sammlung von Integralformeln. Duncker und Humblot. 
• Hirsch, Meyer (1823). Integral Tables: Or, A Collection of Integral Fomulæ. W. Baynes & Son. 
• David Bierens de Haan, Nouvelles Tables d'Intégrales définies (Engels, Leiden, 1862)
• Peirce, Benjamin Osgood (1800). A short table of integrals. Ginn & Company. 
• Apostol, Tom M. (1967). Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra (2nd izd.). Wiley. ISBN 978-0-471-00005-1. 
• Bourbaki, Nicolas (2004). Integration I. Springer Verlag. ISBN 978-3-540-41129-1. . In particular chapters III and IV.
• Burton, David M. (2005). The History of Mathematics: An Introduction (6th izd.). McGraw-Hill. str. 359. ISBN 978-0-07-305189-5. 
• Cajori, Florian (1929). A History Of Mathematical Notations Volume II. Open Court Publishing. str. 247—252. ISBN 978-0-486-67766-8. 
• Dahlquist, Germund; Björck, Åke (2008), „Chapter 5: Numerical Integration”, Numerical Methods in Scientific Computing, Volume I, Philadelphia: SIAM, Arhivirano iz originala 15. 6. 2007. g. 
• Folland, Gerald B. (1984). Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (1st izd.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-80958-6. 
• Fourier, Jean Baptiste Joseph (1822), Théorie analytique de la chaleur, Chez Firmin Didot, père et fils, str. §231 
  Available in translation as Fourier, Joseph (1878), The analytical theory of heat, Freeman, Alexander (trans.), Cambridge University Press, str. 200—201 
• Heath, T. L., ur. (2002). The Works of Archimedes. Dover. ISBN 978-0-486-42084-4. 
  (Originally published by Cambridge University Press, 1897, based on J. L. Heiberg's Greek version.)
• Hildebrandt, T. H. (1953), „Integration in abstract spaces”, Bulletin of the American Mathematical Society, 59 (2): 111—139, ISSN 0273-0979, doi:10.1090/S0002-9904-1953-09694-X 
• Kahaner, David; Moler, Cleve; Nash, Stephen (1989). „Chapter 5: Numerical Quadrature”. Numerical Methods and Software. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-627258-8. 
• Kallio, Bruce Victor (1966), A History of the Definite Integral (PDF) (M.A. thesis), University of British Columbia, Arhivirano iz originala (PDF) 05. 03. 2014. g., Pristupljeno 22. 11. 2019 
• Katz, Victor J. (2004). A History of Mathematics, Brief Version. Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-16193-2. 
• Leibniz, Gottfried Wilhelm (1899), Gerhardt, Karl Immanuel, ur., Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern. Erster Band, Berlin: Mayer & Müller 
• Lieb, Elliott; Loss, Michael (2001), Analysis, Graduate Studies in Mathematics, 14 (2nd izd.), American Mathematical Society, ISBN 978-0821827833 
• Miller, Jeff, Earliest Uses of Symbols of Calculus, Pristupljeno 22. 11. 2009 
• O’Connor, J. J.; Robertson, E. F. (1996), A history of the calculus, Pristupljeno 9. 7. 2007 
• Rudin, Walter (1987). „Chapter 1: Abstract Integration”. Real and Complex Analysis (International izd.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-100276-9. 
• Saks, Stanisław (1964), Theory of the integral (English translation by L. C. Young. With two additional notes by Stefan Banach. Second revised izd.), New York: Dover 
• Shea, Marilyn (maj 2007), Biography of Zu Chongzhi, University of Maine, Arhivirano iz originala 14. 06. 2010. g., Pristupljeno 9. 1. 2009 
• Siegmund-Schultze, Reinhard (2008), „Henri Lebesgue”, Ur.: Gowers, Timothy; June Barrow-Green; Leader, Imre, Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press .
• Stoer, Josef; Bulirsch, Roland (2002). „Topics in Integration”. Introduction to Numerical Analysis (3rd izd.). Springer. ISBN 978-0-387-95452-3. .
• W3C (2006), Arabic mathematical notation 
• Keisler, H. Jerome, Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals, University of Wisconsin
• Stroyan, K. D., A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus, University of Iowa
• Mauch, Sean, Sean's Applied Math Book, CIT, an online textbook that includes a complete introduction to calculus
• Crowell, Benjamin, Calculus, Fullerton College, an online textbook
• Garrett, Paul, Notes on First-Year Calculus
• Hussain, Faraz, Understanding Calculus, an online textbook
• Johnson, William Woolsey (1909) Elementary Treatise on Integral Calculus, link from HathiTrust.
• Kowalk, W. P., Integration Theory, University of Oldenburg. A new concept to an old problem. Online textbook
• Sloughter, Dan, Difference Equations to Differential Equations, an introduction to calculus
• Numerical Methods of Integration at Holistic Numerical Methods Institute
• P. S. Wang, Evaluation of Definite Integrals by Symbolic Manipulation (1972) — a cookbook of definite integral techniques

Spoljašnje veze

• Teorija i zadaci na [1]
• Rimanovi redovi - Integracija funkcija (Džava simulacija)
• Funkcija, izvod i integral (Džava simulacija)
• Integrator Volfram risrča
• Kalkulator funkcija od WIMS
• Hazewinkel Michiel, ur. (2001). „Integral”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Online Integral Calculator, Wolfram Alpha.
• Online Integral Calculator, by MathsTools.