Konvergentni redovi
U matematici, red je suma članova niza brojeva.
Dat je izraz , n-ta parcijalna suma je zbir prvih n izraza niza, koji je,
Niz je konvergentan ako je niz njegovih parcijalnih suma konvergentan; Drugim rečima, on približava određeni broj. U formalnom jeziku, niz konvergira ako postoji limit takav da za bilo koji proizvoljno mali pozitivan broj , postoji veliki ceo broj takav da je svako ,
Za svaku serija koja se ne konvergira se kaže da je divergentna.
Primeri konvergentnih i divergentnih redova
uredi- Recipročni brojevi pozitivnih celih brojeva proizvode divergentne redove (harmonijski redovi):
- Naizmenični znaci recipročnih pozitivnih celih brojeva proizvode konvergentne redove:
- Recipročni brojevi prostih brojeva proizvode divergentne redove (tako da je skup prostih brojeva "veliki"):
- Recipročni brojevi trougaonih brojeva proizvode konvergentne redove:
- Recipročni brojevi faktorijala proizvode konvergentne redove (vidi e):
- Recipročni brojevi kvadratnih brojeva proizvode konvergentne redove (Bazelski problem):
- Recipročni brojevi snage 2 proizvode konvergentne redove (tako da je skup snage 2 "mali"):
- Naizmenični znaci recipročnih snaga 2 takođe proizvode konvergentne redove:
- Recipročnih brojevi Fibonačijevih brojeva proizvode konvergentne redove (vidi ψ):
Testiranje konvergencije
urediPostoji veliki broj metoda kojima se određuje li je red konvergentan ili divergentan.
Test poređenja. Izrazi niza su upoređeni sa onima drugog niza . Ako,
ѕa sve n, , i konvergira, onda konvergira i
Međutim, ako
ѕa sve n, , i divergira, onda divergira i
Test odnosa. Pretpotavimo da je za svako n, . Pretpostavimo da postoji takvo da je
Ako je r < 1, onda niz konvergira. Ako je r > 1, onda niz divergira. Ako je r = 1, test odnosa je neuverljiv i nizovi mogu da konvergiraju ili divergiraju.
Test korena or Ili test n-tog korena. Pretpostavimo da su u nizu u izrazi ne-negativni. Definisati r kao što sledi:
- gde je "lim sup" označava granicu superior (eventualno ∞; ukoliko limit postoji, on je ista vrednost).
Ako je r < 1, onda niz konvergira. Ako je r > 1, onda niz divergira. Ako je r = 1, test korena je neuverljiv i nizovi mogu da konvergiraju ili divergiraju.
Test odnosa i test korena se zasnivaju na poređenju sa geometrijskim nizovima, i kao takvi se koriste u sličnim situacijama. U stvari, ako test odnosa radi (što znači da ograničenje postoji i nije jednako 1), onda radi i test korena; Obrnuto, međutim, nije tačno. Test korena je stoga uopšte mogue, ali u praktičnom smislu granicu je često teško izračunati za najčešće viđene tipove nizova.
Test integrala. Niz se može uporediti sa integralom da se uspostavi konvergiranje ili divergiranje. Neka bude pozitivan i monotono smanjuje funkciju. Ako je
onda red konvergira. Ali, ako integral divergira, onda to radi i niz.
Test ograničenja. Ako je , i granica postoji i nije nula, onda konvergira ako i samo ako konvergira.
Test naizmeničnih redova. Poznat i kao Lajbnic kriterijum, test naizmeničnih redova navodi da je za naizmenični red oblika , ako je monotono opadajuće, a ima ograničenje od 0 u beskonačnosti, onda red konvergira.
Test koši kondenzacije. Ako je pozitivan monotono opadajući niz, onda konvergira ako i samo ako konvergira.
Uslovna i apsolutna konvergencija
urediZa bilo koji red , za bilo koje n. Dakle,
To znači da ako konvergira, onda takođe konvergira (ali ne i obrnuto).
Ako red konvergira, onda je red apsolutno konvergentan. Apsolutno konvergentan red je onaj u kom se dužina linije stvorena spajanjem svih koraka u parcijalnu sumu i on je konačno dug. Snaga reda eksponencijalne funkcije apsolutno konvergira svuda.
Ako red konvergira, a red divergira, onda je red uslovno konvergentan. Put formiran povezivanjem parcijalne sume uslovno konvergentnog reda je beskonačno dug. Snaga reda logaritma uslovno konvergira.
Teorema Rimanovog reda tvrdi da je, ako niz uslovno konvergira, moguće preurediti uslove niza na takav način da niz konvergira za bilo koju vrednost, ili čak divergira.
Jedinstvena konvergencija
urediNeka je niz funkcije. Niz ravnomerno konvergira za f ako je niz parcijalnog zbira definisan kao
konvergira jedinstveno za f.
Postoji analog uporednog testa za beskonačni niz funkcije koji se zove Veierstres M-test.
Kriterijum Košijeve konvergencije
urediKriterijum Košijeve konvergencije navodi da niz
konvergira ako i samo ako je niz parcijalnog zbira Košijev niz. Ovo znači da za svako postoji pozitivan ceo broj takav da za svako postoji
što je ekvivalentno
Vidi još
urediLiteratura
uredi- Bromwich, T. J. An Introduction to the Theory of Infinite Series MacMillan & Co. 1908, revised 1926, reprinted 1939, 1942, 1949, 1955, 1959, 1965.
- Dvoretzky, Aryeh; Rogers, C. Ambrose (1950). „Absolute and unconditional convergence in normed linear spaces”. Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 36 (3): 192—197. doi:10.1073/pnas.36.3.192. MR0033975
Spoljašnje veze
uredi- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Finite-difference calculus" Encyclopedia of Mathematics, Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric (2005). Riemann Series Theorem. Retrieved May 16, 2005.