Korisnik:Vuknrtd2615/pesak

Osa-ugao vektor $θ = θ e$ gde je $e$ jedinični vektor pomnožen uglom $θ$ .

U matematici, osa-ugao predstavljanje rotacije parametrizuje rotaciju u trodimenzionalnom Euklidovom prostoru sa tri veličine: Jediničnim vektorom $e$ (koji određuje pravac ose rotacije) i uglom $θ$ (koji opisuje intenzitet rotacije oko ose). Potrebne su samo dve vrednosti (ne tri) da bi se definisao jedinični vektor $e$ zato što mu je intenzitet konstantan. Skalarni proizvod ugla $θ$ i jediničnog vektora $e$ je osa-ugao vektor.

{\boldsymbol {\theta }}=\theta \mathbf {e} \,.

Sam po sebi vektor ne vrši rotaciju nego se koristi za konstruisanje transformacije koje odgovara rotaciji. Rotacija se odigrava u skladu sa pravilom desne ruke. Osa rotacije se ponekad naziva i Ojlerova osa. Ovo je samo jedan od načina formalizacije rotacije u trodimenzialnom prostoru. Osnova za osa-ugao predstavljanje je Ojlerova teorema rotacije koja kaže da rotacija ili sekvenca rotacija čvrstog tela u trodimenzionalnom prostoru ekvivalentna jednoj rotaciji oko fiksene ose.

Vektor rotacije

Osa-ugao predstavljanje je ekvivalentno sažetiom formom vektor rotacije koji se takođe naziva i Ojlerov vektor. U ovom slučaju i osa i ugao rotacije su predstavljeni vektorom čiji je pravac paralelan sa osom rotacije a intenzitet odgovara uglu $θ$ .

{\boldsymbol {\theta }}=\theta \mathbf {e} ~.

Koristi se za eksponenciajlne i logaritamske funkcije uključene u ovaj oblik predstavljanja rotacije.

Primer

Recimo da stojimo i da smo izabrali da je smer vektora gravitacije negativan smer $z$ ose. Tada, ako se okrenemo na levo, rotiraćemo se za $π ⁄ 2$ ili 90 stepeni oko $z$ ose. Posmatrajući osa-ugao predstvaljanje kao uređeni par:

(\mathrm {axis} ,\mathrm {angle} )=\left({\begin{bmatrix}e_{x}\\e_{y}\\e_{z}\end{bmatrix}},\theta \right)=\left({\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}},{\frac {\pi }{2}}\right).

Ovaj primer može biti prikazan i kao vektor rotacije intenziteta $π ⁄ 2$ usmerenog u $z$ pravcu,

{\begin{bmatrix}0\\0\\{\frac {\pi }{2}}\end{bmatrix}}.

Upotreba

Osa-ugao predstavljanje je pogodno za opis dinamike čvrstog tela. Takođe se koristi za opis rotacije kao i za kenverziju iz različitih predstavljanja dinamike kretanja čvrstog tela.

Kada se čvrsto telo rotira oko fiksne ose, tada je osa konstantna, a ugao se menja u zavisnosti od vremena.

Rotiranje vektora

Rodrigezova formula rotacije^[1] je efikasan algoritam za rotaciju Euklidovog vektora, zadatu sa osom rotacije i uglom. Drugim rečima Rodrigezova formula daje algoritam za izračunavanje eksponencijalne funkcije od $so (3)$ do $SO(3)$ bez računanja eksponencijalne funkcije cele matrice.

Ako je $v$ vektor u $ℝ 3$ i $e$ je jedinični vektor koji opisuje osu rotacije oko koje $v$ rotiran za ugao $θ$ Rodrigezova formula za dobijanje rotiranog vektora je:

\mathbf {v} _{\mathrm {rot} }=(\cos \theta )\mathbf {v} +(\sin \theta )(\mathbf {e} \times \mathbf {v} )+(1-\cos \theta )(\mathbf {e} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {e} ~.

Za rotaciju jednog vektora može biti efikasnije nego prebacivanje $e$ i $θ$ u matricu rotacije da bi se vektor rotirao.

Odnos sa ostalim oblicima predstavljanja rotacije

Postoji nekoliko načina predstavljanja rotacije. Korisno je razumeti u kakvoj su međusobnoj vezi, i kako prebaciti iѕ jednog predstavljanja u drugo. Ovde je jediničnni vektor označen sa $ω$ umesto $e$

Eksponencijalna funkcija iz so(3) u SO(3)

Eksponencijalna fnkcija transformiše iz osa-uga predstavljanja rotacije u matricu rotacije.

\exp \colon {\mathfrak {so}}(3)\to \mathrm {SO} (3)~.

Koristeći Tejlorovu formulu dobijamo približnu relaciju dva predstavljanja. Dati jediinični vektor ω ∈ ${\mathfrak {so}}$ (3) = ℝ³ predstavlja osu rotacije i ugao θ ∈ ℝ, ekvivalentna matrica rotacije R je kao što sledi: gde je K vektorski proizvod matrice ω.

K v = ω × v za sve vektore v ∈ ℝ³,

R=\exp(\theta \mathbf {K} )=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\theta \mathbf {K} )^{k}}{k!}}=I+\mathbf {K} \theta +{\frac {1}{2!}}(\theta \mathbf {K} )^{2}+{\frac {1}{3!}}(\theta \mathbf {K} )^{3}+\cdots

Zato što je K koso-simetrična i suma kvadrata iznad dijagonale je 1, karakteristični polinom $P (t)$ od K je $P (t) = det(K - t I) = -(t 3 + t)$ . Pošto je po Hamilton-Cayley theorem, $P (K)$ = 0, sledi

K 3 = - K

.

I kao rezultat, K⁴ = –K², K⁵ = K, K⁶ = K², K⁷ = –K .

Ovaj patern se ponavlja beskonačno i pošto su svi visoki stepeni K izraženi kao K². Iz prethodne jednačine sledi:

R=I+\left(\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-\cdots \right)\mathbf {K} +\left({\frac {\theta ^{2}}{2!}}-{\frac {\theta ^{4}}{4!}}+{\frac {\theta ^{6}}{6!}}-\cdots \right)\mathbf {K} ^{2}~,

a to je,

R=I+\sin(\theta )\mathbf {K} +(1-\cos(\theta ))\mathbf {K} ^{2}.

Zbog postojanja pomenute eksponencijalne funkcije, jedinični vektor ω predstavlja osu rotacije, a ugao θ se ponekad naziva eksponencijalna koordinata matrice rotacije R.

Logaritamska funkcija iz SO(3) u so(3)

Neka je K matrica 3x3 koja utiče na vektorski proizvod sa osom rotacije ω: K(v) = ω × v za sve vektore v koji slede.

Da bi se dobila osa-ugao forma rotiranja, izračunavamo ugao iz matrice rotacije

\theta =\arccos \left({\frac {\mathrm {trace} (R)-1}{2}}\right)

i to koristimo da bismo pronašli normalizovanu osu,

\mathbf {\omega } ={\frac {1}{2\sin(\theta )}}{\begin{bmatrix}R(3,2)-R(2,3)\\R(1,3)-R(3,1)\\R(2,1)-R(1,2)\end{bmatrix}}~.

Potrebno je napomennuti da je logaritam matrice rotacije R

\log R=\left\{{\begin{matrix}0&\mathrm {if} \;\theta =0\\{\frac {\theta }{2\sin(\theta )}}(R-R^{\mathsf {T}})&\mathrm {if} \;\theta \neq 0\;\mathrm {and} \;\theta \in (-\pi ,\pi )\end{matrix}}\right.

Izuzetak je kada R ima sopstvene vrednosti jednake −1. U tom slučaju logaritam nije jedinstven. Ipak čak i kada je θ = $\pi$ Frobenius norma logaritma je : $\|\log(R)\|_{F}={\sqrt {2}}|\theta |~.$ Date matrice rotacija A i B,

d_{g}(A,B):=\|\log(A^{\mathsf {T}}B)\|_{F}

je rastojanje u trodimenzionalnom prostoru između matrica rotacije.

Za male rotacije prethodna računica za θ može biiti numerički neprecizna pošto izvod arccos ide ka beskonačnosti kako θ → 0. U tom slučaju oblici bez ose će obezbediti bolju informaciju o θ pošto je za male uglove $R \approx I + θ K$ . (to je zato što su to prva dva člana u Tejlorovom redu za exp(θ K).)

Ova formulacija takođe ima problema kada je θ = $\pi$ , gde uslovi izvan ose ne daju informaciju o osi rotacije (koja je višesmisleno definisana). U takovom slučaju potrebno je prispitati prethodnu formuli.

R=I+\mathbf {K} \sin(\theta )+\mathbf {K} ^{2}(1-\cos(\theta ))

U θ=π, imamo

R=I+2\mathbf {K} ^{2}=I+2(\mathbf {\omega } \otimes \mathbf {\omega } -I)=2\mathbf {\omega } \otimes \mathbf {\omega } -I

i neka

B:=\mathbf {\omega } \otimes \mathbf {\omega } ={\frac {1}{2}}(R+I)~,

tako da je diagonalna vrednost od B kvadrat elemenata ω i znak može biti određen iz znakova van dijagonale od B.

Kvaternioni

Sledeći izraz transformiše osa-ugao koordinate u versore (jedinične kvaternione).

Q=\left(\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right),\mathbf {\omega } \sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)

Dati versor $q=s+\mathbf {x}$ predstavljen sa svojim skalarom s i vektorom x, osa-ugao vrednosti mogu biti nađene sledećom formulom:

\theta =2\,\arccos(s)\,

\mathbf {\omega } =\left\{{\begin{matrix}{\frac {x}{\sin(\theta /2)}},&\mathrm {if} \;\theta \neq 0\\0,&\mathrm {otherwise} \end{matrix}}\right.

Numerički stabilnija metoda koristi atan2 funkciju:

\theta =2\,\operatorname {atan2} (|x|,s)\,,

gde |x| je Euklidova norma vektora (duzine 3) x.

Reference

^ Sadrži uređenu trojku za predstavljanje rotacione grupe. Za više dimenzionalno predstavljanje, pogledati Curtright, T L; Fairlie, D B; Zachos, C K (2014). „A compact formula for rotations as spin matrix polynomials”. SIGMA. 10: 084. doi:10.3842/SIGMA.2014.084. Nepoznati parametar |w:authorlink= ignorisan (pomoć); Nepoznati parametar |w:authorlink2= ignorisan (pomoć); Nepoznati parametar |w:authorlink3= ignorisan (pomoć)

[1] Sadrži uređenu trojku za predstavljanje rotacione grupe. Za više dimenzionalno predstavljanje, pogledati Curtright, T L; Fairlie, D B; Zachos, C K (2014). „A compact formula for rotations as spin matrix polynomials”. SIGMA. 10: 084. doi:10.3842/SIGMA.2014.084. Nepoznati parametar |w:authorlink= ignorisan (pomoć); Nepoznati parametar |w:authorlink2= ignorisan (pomoć); Nepoznati parametar |w:authorlink3= ignorisan (pomoć)

[1]