Lagranževa funkcija

Kada se rešava problem kretanja sistema više tela, koristi se Lagranžev formalizam koji uprošćava praćenje evolucije sistema. Tačnije, koriste se jednačine:$-{d \over dt}{\partial L \over \partial {\dot {q}}_{i}}-{\partial L \over \partial q_{i}}=0$

gde je $L=T-U$ Lagranžijan ili Lagranževa funkcija, dok je T — kinetička energija sistema, a U — potencijalna energija sistema, dok su ${\dot {q}}_{i}$ — generalisane brzine, a $q_{i}$ — generalisane koordinate.

Izvođenje

Polazimo od Dalamberovog principa da je rad sila reakcija podloge pri mogućem ili virtuelnom pomeranju tela jednak 0, tj. ako je:$m_{\nu }{\overrightarrow {a}}_{\nu }-{\overrightarrow {F}}_{\nu }={\overrightarrow {R}}_{\nu }$, gde je $m_{\nu }$ — masa ν-tog tela, a_ν — njegovo ubrzanje, ${\overrightarrow {F}}_{\nu }$ — rezultanta dejstvujućih sila na ν-to telo i ${\overrightarrow {R}}_{\nu }$ — reakcija podloge na ν-to telo, tada je: $\sum _{\nu =1}^{N}{\overrightarrow {R}}_{\nu }\cdot \delta {\overrightarrow {r}}_{\nu }=0$, odnosno $\sum _{\nu =1}^{N}{\Bigl (}m_{\nu }{\overrightarrow {a}}_{\nu }-{\overrightarrow {F}}_{\nu }{\Bigr )}\cdot \delta {\overrightarrow {r}}_{\nu }=0$ 1.

$\delta {\overrightarrow {r}}_{\nu }=\sum _{i=1}^{n}{\partial {\overrightarrow {r}}_{\nu } \over \partial q_{i}}\delta q_{i}$; ${\overrightarrow {v}}_{\nu }={d{\overrightarrow {r}}_{\nu } \over dt}=\sum _{i=1}^{n}{\partial {\overrightarrow {r}}_{\nu } \over \partial q_{i}}{\dot {q}}_{i}$=> ${\partial {\overrightarrow {r}}_{\nu } \over \partial q_{i}}={\partial {\overrightarrow {v}}_{\nu } \over \partial {\dot {q}}_{i}}$, sada izraz 1. postaje

$\sum _{\nu =1}^{N}{\Bigl (}m_{\nu }{d{\overrightarrow {v}}_{\nu } \over dt}-{\overrightarrow {F}}_{\nu }{\Bigr )}\cdot \delta {\overrightarrow {r}}_{\nu }=0$ uz ${d{\overrightarrow {v}}_{\nu } \over dt}=\sum _{i=1}^{n}{\Bigl (}{\partial {\overrightarrow {v}}_{\nu } \over \partial q_{i}}{\dot {q}}_{i}+{\partial {\overrightarrow {r}}_{\nu } \over \partial q_{i}}{\ddot {q}}_{i}{\Bigr )}$, a ${\partial {\overrightarrow {r}}_{\nu } \over \partial q_{i}}{\ddot {q}}_{i}={d{\Bigl (}{\partial {\overrightarrow {r}}_{\nu } \over \partial q_{i}}{\dot {q}}_{i}{\Bigr )} \over dt}-{\partial {\overrightarrow {v}}_{\nu } \over \partial q_{i}}{\dot {q}}_{i}$

$\sum _{\nu =1}^{N}m_{\nu }\sum _{i=1,j=1}^{n}{\Bigl (}{d{\Bigl (}{\partial {\overrightarrow {r}}_{\nu } \over \partial q_{i}}{\dot {q}}_{i}{\Bigr )} \over dt}{\partial {\overrightarrow {r}}_{\nu } \over \partial q_{j}}{\Bigr )}\delta q_{j}-\sum _{\nu =1}^{N}{\overrightarrow {F}}_{\nu }\sum _{j=1}^{n}{\partial {\overrightarrow {r}}_{\nu } \over \partial q_{j}}\delta q_{j}=0$

Kako je kinetička energija, $T=\sum _{\nu =1}^{N}{\frac {1}{2}}m_{\nu }v_{\nu }^{2}=\sum _{\nu =1}^{N}m_{\nu }\sum _{i=1,j=1}^{n}{\partial {\overrightarrow {r}}_{\nu } \over \partial {\dot {q}}_{i}}{\dot {q}}_{i}{\partial {\overrightarrow {r}}_{\nu } \over \partial {\dot {q}}_{j}}{\dot {q}}_{j}$=>

$m_{\nu }\sum _{j=1}^{n}{\partial {\overrightarrow {r}}_{\nu } \over \partial q_{j}}{\partial {\overrightarrow {r}}_{\nu } \over \partial q_{i}}{\dot {q}}_{j}={\partial T \over \partial {\dot {q}}_{i}}$=> $\sum _{\nu =1}^{N}m_{\nu }\sum _{i=1,j=1}^{n}{\Bigl (}{d{\Bigl (}{\partial {\overrightarrow {r}}_{\nu } \over \partial q_{i}}{\dot {q}}_{i}{\Bigr )} \over dt}{\partial {\overrightarrow {r}}_{\nu } \over \partial q_{j}}{\Bigr )}\delta q_{j}=\sum _{j=1}^{n}{\Bigl (}{d{\Bigl (}{\partial T \over \partial {\dot {q}}_{j}}{\Bigr )} \over dt}-{\partial T \over \partial q_{j}}{\Bigr )}\delta q_{j}$

Pa ako su sile potencijalne, tj. važi ${\overrightarrow {F}}_{\nu }=-{\partial U \over \partial {\overrightarrow {r}}_{\nu }}$, to izraz ${\overrightarrow {F}}_{\nu }\sum _{i=1}^{n}{\partial {\overrightarrow {r}}_{\nu } \over \partial q_{i}}=-{\partial U \over \partial q_{j}}$

i konačno jednačina 1 postaje:$\sum _{j=1}^{n}{\Bigl (}{d{\Bigl (}{\partial T \over \partial {\dot {q}}_{j}}{\Bigr )} \over dt}-{\partial T \over \partial q_{j}}+{\partial U \over \partial q_{j}}{\Bigr )}\delta q_{j}=0$

Kako su moguća pomeranja $\delta q_{j}$proizvoljna, to sledi: $-{\frac {d}{dt}}{\Bigl (}{\partial L \over \partial {\dot {q}}_{i}}{\Bigr )}+{\partial L \over \partial q_{i}}=0$

Primeri

Matematičko klatno

Prikaz klatna sa dejstvujućim silama, vezama i generalisanom koordinatom

Kruto telo zanemarljive mase ograničava kretanje tela mase ṁ zanemarljivih dimenzija, tako da se kretanje prati zamo uglom θ — otklona štapa od vertikale, pa se dobije:$d{\overrightarrow {r}}=dr{\overrightarrow {e}}_{r}+rd\theta {\overrightarrow {e}}_{\theta }$=> $d{\overrightarrow {r}}=rd\theta {\overrightarrow {e}}_{\theta };dr=0$

$v=r{\dot {\phi }}$; $T={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}$; $U=mgl(1-\cos \theta )$

$L=T-U={\frac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\phi }}^{2}-mgl(1-\cos \theta )$, pa iz

$-{\frac {d}{dt}}{\Bigl (}{\partial L \over \partial {\dot {\theta }}}{\Bigr )}+{\partial L \over \partial \theta }=0$=> $l^{2}{\ddot {\theta }}=-lg\sin \theta$, pa za $\theta \rightarrow 0$ proizilazi rešenje $\theta =A\cos {(\omega t+\phi _{0})}$$\omega ={\sqrt {\frac {g}{l}}}$

Kretanje u Kulonovom polju sila

Kulonovo polje sila pripada tipu centralnih sila, kod kojih je moment impulsa jednak 0.${\overrightarrow {r}}\times m{\overrightarrow {\dot {v}}}={\overrightarrow {r}}\times F(r){\frac {\overrightarrow {r}}{r}}$, a po svojstvu vektorskog proizvoda ${\overrightarrow {r}}\times {\overrightarrow {r}}=0$, pa je ${\overrightarrow {r}}\times m{\overrightarrow {v}}=mr^{2}{\dot {\phi }}{\overrightarrow {k}}$konstanta kretanja.

Isti rezultat lako dobijamo iz Langraževog formalizma:$-{d \over dt}{\partial L \over \partial {\dot {\phi }}}-{\partial L \over \partial \phi }=0$

$L=T-U={\frac {1}{2}}mr^{2}{\dot {\phi }}^{2}-{\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}$=>${\partial L \over \partial {\dot {\phi }}}=mr^{2}{\dot {\phi }}$,jer je ${\partial L \over \partial \phi }=0$

Ẕ — broj protona u jezgri atoma ili redni broj atoma, ṁ — masa elektrona, e — naelektrisanje elektrona, ε₀ — dielektrička propustljivost vakuuma.