Laplasov operator, u matematici, je eliptički diferencijalni operator drugog reda. Ima brojne primene širom matematike, te u fizici, elektrostatici, kvantnoj mehanici, obradi snimaka, itd. Nazvan je po francuskom matematičaru Pjeru Simonu Laplasu.
Imajući u vidu pojmove divergencije i gradijenta, za datu skalarnu funkciju
, biće:
,
što se može napisati kao:
.
Desna strana poslednjeg izraza, bez oznake za funkciju
, predstavlja Laplasov operator i obeležava se sa delta - Δ:
.
Koristeći operator nabla, taj izraz možemo zapisati kao:
![{\displaystyle \nabla ^{2}\phi =\nabla \cdot (\nabla \phi )\;.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c17e150af3bb41e381a229415360d09abc474d5b)
U jednodimenzionalnom i dvodimenzionalnom Dekartovom koordinatnom sistemu Laplasov operator je:
-
U trodimenzionalnom Dekartovom koordinatnom sistemu je :
-
U trodimenzionalnom cilindričnom koordinatnom sistemu je:
-
U trodimenzionalnom sfernom koordinatnom sistemu je :
-
U Euklidskom prostoru Laplasov operator je dat u standardnim koordinatama kao
- .
Laplasov operator u opštim krivolinijskim koordinatama dan je sa:
-
-
- gde su Lameovi koeficijenti.
U slučaju Rimanovoga krivolinijskoga prostora definisanoga metričkim tenzorom Laplasijan je dan sa:
-
a metrika prostora definisana je sa:
- .
Laplasov operator je linearan:
-
Takođe važi :
-