Ležandrovi polinomi

Ležandrovi polinomi $P_{n}(x)$ predstavljaju rešenja Ležandrove diferencijalne jednačine:

${d \over dx}\left[(1-x^{2}){d \over dx}P_{n}(x)\right]+n(n+1)P_{n}(x)=0.$

Naziv su dobili po francuskom matematičaru Adrijenu-Mari Ležandru. Ležandrova diferencijalna jednačina često se susreće u tehnici i fizici, a posebno prilikom rešavanja Laplasove jednačine u sfernom koordinatnom sistemu.

Svojstva i polinomi

Generirajuća formula za Ležandrove polinome je:

${\frac {1}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t^{n}\qquad (1)$

Ležandrovi polinomi mogu da se definišu i Rodrigezovom formulom:

$P_{n}(x)={1 \over 2^{n}n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right].$

Eksplicitni razvoj polinoma je:

$P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}^{2}(x-1)^{n-k}(x+1)^{k}=2^{n}\cdot \sum _{k=0}^{n}x^{k}{n \choose k}{{\frac {n+k-1}{2}} \choose n},$

Prvih nekoliko polinoma je:

Prvih 6 Ležandrovih polinoma

• $P_{0}(x)=1;\,$
• $P_{1}(x)=x;\,$
• $P_{2}(x)={\frac {1}{2}}(3x^{2}-1);$
• $P_{3}(x)={\frac {1}{2}}(5x^{3}-3x);$
• $P_{4}(x)={\frac {1}{8}}(35x^{4}-30x^{2}+3);$
• $P_{5}(x)={\frac {1}{8}}(63x^{5}-70x^{3}+15x);$
• $P_{6}(x)={\frac {1}{16}}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5);$
• $P_{7}(x)={\frac {1}{16}}(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x);$
• $P_{8}(x)={\frac {1}{128}}(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35);$
• $P_{9}(x)={\frac {1}{128}}(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315x);$
• $P_{10}(x)={\frac {1}{256}}(46189x^{10}-109395x^{8}+90090x^{6}-30030x^{4}+3465x^{2}-63).$

Rekurzije

Razvojem formule (1) za n=0 i n=1 dobija se za prva dva polinoma:

$P_{0}(x)=1,\quad P_{1}(x)=x$

Izvodom formule (1) dobija se:

${\frac {x-t}{\sqrt {1-2xt+t^{2}}}}=(1-2xt+t^{2})\sum _{n=1}^{\infty }nP_{n}(x)t^{n-1}.$

a odatle se dobija rekurzivna relacija:

$(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x).\,$

Ortogonalnost

Ležandrovi polinomi su ortogonalni:

$\int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,dx={2 \over {2n+1}}\delta _{mn}$

gde je δ_mn Kronekerova delta funkcija.

Druga svojstva

Ležandrovi polinomi su simetrični ili antisimetrični, zavisno od n:

$P_{n}(-x)=(-1)^{n}P_{n}(x).\,$

Polinomi mogu i da se predstave preko polarnoga ugla:

$P_{n}(\cos \theta )={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{d(\cos \theta )^{n}}}(\cos ^{2}\theta -1)^{n}$

Postoji i rekurzivna relacija, koja uključuje izvode:

$(2n+1)P_{n}(x)={d \over dx}\left[P_{n+1}(x)-P_{n-1}(x)\right].$

Primena Ležandrovih polinoma u fizici

Adrijen-Mari Ležandr je prvi uveo Ležandrove polinome 1782. kao koeficijente razvoja Njutnovoga gravitacionoga potencijala, tako da je razvio:

${\frac {1}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\prime }\right|}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+r^{\prime 2}-2rr'\cos \gamma }}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {r^{\prime \ell }}{r^{\ell +1}}}P_{\ell }(\cos \gamma )$

gde su $r$ i $r'$ dužine vektora $\mathbf {x}$ i $\mathbf {x} ^{\prime }$, a $\gamma$ je ugao između ta dva vektora. Taj red konvergira kada je $r>r'$. Ležandrovi polinomi pojavljuju se i prilikom rešavanja Laplasove jednačine $\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {x} )=0$ odnosno prilikom rešavanja potencijala u prostoru bez naelektrisanja.

Za potencijal dobija se:

$\Phi (r,\theta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\left[A_{\ell }r^{\ell }+B_{\ell }r^{-(\ell +1)}\right]P_{\ell }(\cos \theta ).$

Pridruženi Ležandrovi polinomi

Pored običnih Ležandrovih polinoma poostoje i pridruženi Ležandrovi polinomi $P_{\ell }^{m}(x)$, koji predstavljaju rešenja opšte Ležandrove diferencijalne jednačine:

$(1-x^{2})\,y''-2xy'+\left(\ell [\ell +1]-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\,y=0,\,$

Pridruženi Ležandrovi polinomi $P_{\ell }^{m}(x)$ povezani su sa običnim Ležandrovim polinomima $P_{\ell }(x)$ sledećom relacijom:

$P_{\ell }^{m}(x)=(-1)^{m}\ (1-x^{2})^{m/2}\ {\frac {d^{m}}{dx^{m}}}\left(P_{\ell }(x)\right)\,$

Literatura

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. . Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. 1965. ISBN 978-0-486-61272-0.
• Ležandrovi polinomi