Osa-ugao rotacija

U matematici, osa-ugao predstavljanje rotacije parametrizuje rotaciju u trodimenzionalnom Euklidovom prostoru sa tri veličine: Jediničnim vektorom e (koji određuje pravac ose rotacije) i uglom θ (koji opisuje intenzitet rotacije oko ose). Potrebne su samo dve vrednosti (ne tri) da bi se definisao jedinični vektor e zato što mu je intenzitet konstantan. Skalarni proizvod ugla θ i jediničnog vektora e je osa-ugao vektor.

Osa-ugao vektor θ = θ e gde je e jedinični vektor pomnožen uglom θ.

${\boldsymbol {\theta }}=\theta \mathbf {e} \,.$

Sam po sebi vektor ne vrši rotaciju nego se koristi za konstruisanje transformacije koje odgovara rotaciji. Rotacija se odigrava u skladu sa pravilom desne ruke. Osa rotacije se ponekad naziva i Ojlerova osa.

Ovo je samo jedan od načina formalizacije rotacije u trodimenzialnom prostoru. Osnova za osa-ugao predstavljanje je Ojlerova teorema rotacije koja kaže da rotacija ili sekvenca rotacija čvrstog tela u trodimenzionalnom prostoru ekvivalentna jednoj rotaciji oko fiksene ose.

Vektor rotacije

Osa-ugao predstavljanje je ekvivalentno sažetiom formom vektor rotacije koji se takođe naziva i Ojlerov vektor. U ovom slučaju i osa i ugao rotacije su predstavljeni vektorom čiji je pravac paralelan sa osom rotacije a intenzitet odgovara uglu θ.

${\boldsymbol {\theta }}=\theta \mathbf {e} ~.$

Koristi se za eksponenciajlne i logaritamske funkcije uključene u ovaj oblik predstavljanja rotacije.

Primer

Recimo da stojimo i da smo izabrali da je smer vektora gravitacije negativan smer z ose. Tada, ako se okrenemo nalevo, rotiraćemo se za ​^π⁄₂ ili 90 stepeni oko z ose. Posmatrajući osa-ugao predstvaljanje kao uređeni par:

$(\mathrm {axis} ,\mathrm {angle} )=\left({\begin{bmatrix}e_{x}\\e_{y}\\e_{z}\end{bmatrix}},\theta \right)=\left({\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}},{\frac {\pi }{2}}\right).$

Ovaj primer može biti prikazan i kao vektor rotacije intenziteta ​^π⁄₂ usmerenog u z pravcu,

${\begin{bmatrix}0\\0\\{\frac {\pi }{2}}\end{bmatrix}}.$

Upotreba

Osa-ugao predstavljanje je pogodno za opis dinamike čvrstog tela. Takođe se koristi za opis rotacije kao i za kenverziju iz različitih predstavljanja dinamike kretanja čvrstog tela.

Kada se čvrsto telo rotira oko fiksne ose, tada je osa konstantna, a ugao se menja u zavisnosti od vremena.

Rotiranje vektora

Rodrigezova formula rotacije je efikasan algoritam za rotaciju Euklidovog vektora, zadatu sa osom rotacije i uglom. Drugim rečima Rodrigezova formula daje algoritam za izračunavanje eksponencijalne funkcije od so(3) do SO(3) bez računanja eksponencijalne funkcije cele matrice.

Ako je v vektor u ℝ³ i e je jedinični vektor koji opisuje osu rotacije oko koje v rotiran za ugao θ Rodrigezova formula za dobijanje rotiranog vektora je:

$\mathbf {v} _{\mathrm {rot} }=(\cos \theta )\mathbf {v} +(\sin \theta )(\mathbf {e} \times \mathbf {v} )+(1-\cos \theta )(\mathbf {e} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {e} ~.$

Za rotaciju jednog vektora može biti efikasnije nego prebacivanje e i θ u matricu rotacije da bi se vektor rotirao.

Odnos sa ostalim oblicima predstavljanja rotacije

Postoji nekoliko načina predstavljanja rotacije. Korisno je razumeti u kakvoj su međusobnoj vezi, i kako prebaciti iѕ jednog predstavljanja u drugo. Ovde je jediničnni vektor označen sa ω umesto e

Eksponencijalna funkcija iz so(3) u SO(3)

Eksponencijalna fnkcija transformiše iz osa-uga predstavljanja rotacije u matricu rotacije.

$\exp \colon {\mathfrak {so}}(3)\to \mathrm {SO} (3)~.$

Koristeći Tejlorovu formulu dobijamo približnu relaciju dva predstavljanja. Dati jediinični vektor ω ∈ ${\mathfrak {so}}$(3) = ℝ³ predstavlja osu rotacije i ugao θ ∈ ℝ, ekvivalentna matrica rotacije R je kao što sledi: gde je K vektorski proizvod matrice ω.

K v = ω × v za sve vektore v ∈ ℝ³,

$R=\exp(\theta \mathbf {K} )=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\theta \mathbf {K} )^{k}}{k!}}=I+\mathbf {K} \theta +{\frac {1}{2!}}(\theta \mathbf {K} )^{2}+{\frac {1}{3!}}(\theta \mathbf {K} )^{3}+\cdots$

Zato što je K koso-simetrična i suma kvadrata iznad dijagonale je 1, karakteristični polinom P(t) od K je P(t) = det(K − t I) = −(t³ + t). Pošto je po Hamilton-Cayley theorem, P(K) = 0, sledi

K³ = –K .

I kao rezultat, K⁴ = –K², K⁵ = K, K⁶ = K², K⁷ = –K .

Ovaj patern se ponavlja beskonačno i pošto su svi visoki stepeni K izraženi kao K². Iz prethodne jednačine sledi:

$R=I+\left(\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-\cdots \right)\mathbf {K} +\left({\frac {\theta ^{2}}{2!}}-{\frac {\theta ^{4}}{4!}}+{\frac {\theta ^{6}}{6!}}-\cdots \right)\mathbf {K} ^{2}~,$

a to je,

$R=I+\sin(\theta )\mathbf {K} +(1-\cos(\theta ))\mathbf {K} ^{2}.$

Zbog postojanja pomenute eksponencijalne funkcije, jedinični vektor ω predstavlja osu rotacije, a ugao θ se ponekad naziva eksponencijalna koordinata matrice rotacije R.

Logaritamska funkcija iz SO(3) u so(3)

Neka je K matrica 3x3 koja utiče na vektorski proizvod sa osom rotacije ω: K(v) = ω × v za sve vektore v koji slede.

Da bi se dobila osa-ugao forma rotiranja, izračunavamo ugao iz matrice rotacije

$\theta =\arccos \left({\frac {\mathrm {trace} (R)-1}{2}}\right)$

i to koristimo da bismo pronašli normalizovanu osu,

$\mathbf {\omega } ={\frac {1}{2\sin(\theta )}}{\begin{bmatrix}R(3,2)-R(2,3)\\R(1,3)-R(3,1)\\R(2,1)-R(1,2)\end{bmatrix}}~.$

Potrebno je napomennuti da je logaritam matrice rotacije R

$\log R=\left\{{\begin{matrix}0&\mathrm {if} \;\theta =0\\{\frac {\theta }{2\sin(\theta )}}(R-R^{\mathsf {T}})&\mathrm {if} \;\theta \neq 0\;\mathrm {and} \;\theta \in (-\pi ,\pi )\end{matrix}}\right.$

Izuzetak je kada R ima sopstvene vrednosti jednake −1. U tom slučaju logaritam nije jedinstven. Ipak čak i kada je θ = $\pi$ Frobenius norma logaritma je :$\|\log(R)\|_{F}={\sqrt {2}}|\theta |~.$ Date matrice rotacija A i B,

$d_{g}(A,B):=\|\log(A^{\mathsf {T}}B)\|_{F}$

je rastojanje u trodimenzionalnom prostoru između matrica rotacije.

Za male rotacije prethodna računica za θ može biiti numerički neprecizna pošto izvod arccos ide ka beskonačnosti kako θ → 0. U tom slučaju oblici bez ose će obezbediti bolju informaciju o θ pošto je za male uglove R ≈ I+ θ K. (to je zato što su to prva dva člana u Tejlorovom redu za exp(θ K).)

Ova formulacija takođe ima problema kada je θ = $\pi$, gde uslovi izvan ose ne daju informaciju o osi rotacije (koja je višesmisleno definisana). U takovom slučaju potrebno je prispitati prethodnu formuli.

$R=I+\mathbf {K} \sin(\theta )+\mathbf {K} ^{2}(1-\cos(\theta ))$

U θ=π, imamo

$R=I+2\mathbf {K} ^{2}=I+2(\mathbf {\omega } \otimes \mathbf {\omega } -I)=2\mathbf {\omega } \otimes \mathbf {\omega } -I$

i neka

$B:=\mathbf {\omega } \otimes \mathbf {\omega } ={\frac {1}{2}}(R+I)~,$

tako da je diagonalna vrednost od B kvadrat elemenata ω i znak može biti određen iz znakova van dijagonale od  B.

Kvaternioni

Sledeći izraz transformiše osa-ugao koordinate u versore (jedinične kvaternione).

$Q=\left(\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right),\mathbf {\omega } \sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)$

Dati versor $q=s+\mathbf {x}$ predstavljen sa svojim skalarom s i vektorom x, osa-ugao vrednosti mogu biti nađene sledećom formulom:

$\theta =2\,\arccos(s)\,$

$\mathbf {\omega } =\left\{{\begin{matrix}{\frac {x}{\sin(\theta /2)}},&\mathrm {if} \;\theta \neq 0\\0,&\mathrm {otherwise} \end{matrix}}\right.$

Numerički stabilnija metoda koristi atan2 funkciju:

$\theta =2\,\operatorname {atan2} (|x|,s)\,,$

gde |x| je Euklidova norma vektora (3) x.