Rastojanje

Ovaj članak je o rastojanju u matematici, fizici i računanju. Za druge upotrebe pogledajte stranicu Rastojanje (višeznačna odrednica).

Rastojanje je brojno merenje udaljenosti objekata. U fizici ili svakodnevnoj upotrebi, rastojanje se može odnositi na fizičku dužinu ili procenu zasnovanu na drugim kriterijima (npr. „dve županije”). U većini slučajeva, „rastojanje između A i B” je zamenljivo sa „rastojanjem između B i A”. U matematici, funkcija rastojanja ili metrika je generalizacija koncepta fizičkog rastojanja. Metrika je funkcija koja se ponaša u skladu sa određenim skupom pravila i predstavlja način opisivanja šta to znači za elemente nekog prostora da budu „blizu” ili „daleko” jedan od drugog.

Pređeni put

Ne poistovećivati sa Položajem, Vektorom položaja, Pomerajem ili Vektorom pomeraja.

Vektor pomeraja (zelena prava isprekidana linija), pređeni put (ljubičasta kriva isprekidana linija) i putanja (plava linija)

Pređeni put (engl. distance travelled; SI oznaka — ${\boldsymbol {s}}$) jest jednak intenzitetu (apsolutnoj vrednosti) vektora pomeraja:

${\boldsymbol {s}}=\left|\Delta {\boldsymbol {\vec {r}}}\,\right\vert =\left|{\boldsymbol {\vec {r}}}_{2}-{\boldsymbol {\vec {r}}}_{1}\right\vert ,$

odnosno:

${\boldsymbol {s}}_{\Delta t}=\left|\Delta {\boldsymbol {\vec {r}}}_{\Delta t}\right\vert =\left|{\boldsymbol {\vec {r}}}_{t_{2}}-{\boldsymbol {\vec {r}}}_{t_{1}}\right\vert ,$

gde je ${\boldsymbol {\vec {r}}}_{t_{2}}$ vektor položaja u trenutku $t_{2}$ i ${\boldsymbol {\vec {r}}}_{t_{1}}$ vektor položaja u trenutku $t_{1}$.

Ukupni pređeni put je jednak zbiru intenziteta pojedinih vektora pomeraja:

${\boldsymbol {s}}_{u}={\boldsymbol {s}}_{\Delta t_{1}+\Delta t_{2}+\Delta t_{3}+\,\cdots \,+\Delta t_{n}}=\left|\Delta {\boldsymbol {\vec {r}}}_{\Delta t_{1}}\right\vert +\left|\Delta {\boldsymbol {\vec {r}}}_{\Delta t_{2}}\right\vert +\left|\Delta {\boldsymbol {\vec {r}}}_{\Delta t_{3}}\right\vert +\cdots +\left|\Delta {\boldsymbol {\vec {r}}}_{\Delta t_{n}}\right\vert .$

Pređeni put je skalarna veličina.

Pregled i definicije

Fizičke udaljenosti

Rute aviona između Los Anđelesa i Tokija približno prate direktnu rutu velikog kruga (gore), ali koristite mlazni tok (dole) kada se ide na istok. Treba imati na umu da se najkraća ruta pojavljuje kao kriva, a ne kao prava linija, jer je ova mapa Merkatorova projekcija, koja ne skalira sve udaljenosti podjednako u poređenju sa stvarnom sfernom površinom Zemlje.

„Udaljenost Menhetna“ na mreži

Fizička udaljenost može značiti nekoliko različitih stvari:

• Pređeno rastojanje: dužina određene putanje pređene između dve tačke, kao što je pređena udaljenost tokom navigacije lavirintom
• Pravolinijsko (euklidsko) rastojanje: dužina najkraće moguće putanje kroz prostor, između dve tačke, koja bi se mogla preći da nema prepreka (obično formalizovana kao Euklidska udaljenost)
• Geodetska udaljenost: Dužina najkraće putanje između dve tačke dok se ostaje na nekoj površini, kao što je rastojanje velikog kruga duž krivine Zemlje
• Dužina određene putanje koja se vraća na početnu tačku, kao što je lopta bačena pravo nagore ili Zemlja kada završi jednu orbitu.

Tabla koja pokazuje udaljenosti u blizini Vizagapatnama

„Kružno rastojanje“ je razdaljina koju pređe točak, što može biti korisno pri projektovanju vozila ili mehaničkih zupčanika. Obim točka je 2π × poluprečnik, a pod pretpostavkom da je poluprečnik 1, tada je svaki obrt točka ekvivalentan rastojanju od 2π radijana. U inženjerstvu se često koristi ω = 2πƒ, gde je ƒ frekvencija.

Neuobičajene definicije udaljenosti mogu biti od pomoći za modeliranje određenih fizičkih situacija, ali se takođe koriste u teorijskoj matematici:

• „Radaljina Menhetna“ je pravolinijska razdaljina, nazvana po broju blokova (u pravcu severa, juga, istoka ili zapada) kojima taksi mora da putuje da bi stigao do svog odredišta na mreži ulica u delovima Njujorka.
• „Razdaljina šahovske table“, formalizovana kao Čebiševljeva udaljenost, je minimalni broj poteza koji kralj mora da napravi na šahovskoj tabli, da bi putovao između dva polja.

Mere udaljenosti u kosmologiji su komplikovane širenjem univerzuma i efektima opisanim u teoriji relativnosti (kao što je kontrakcija dužine pokretnih objekata).

Teorijske udaljenosti

Termin „udaljenost“ se takođe koristi analogno za merenje nefizičkih entiteta na određene načine.

U informatici postoji pojam „distance izmene” između dva niza. Na primer, engleske reči „dog” i „dot”, koje se razlikuju samo u jednom slovu, bliže su od „dog” i „cat”, koje se razlikuju za tri slova. Ova ideja se koristi u proveri pravopisa i u teoriji kodiranja, i matematički je formalizovana na nekoliko različitih načina, kao što su:

• Levenštajnovo rastojanje
• Hemingovo rastojanje
• Liovo rastojanje
• Džaro–Vinklerova udaljenost

U matematici, metrički prostor je skup za koji su definisana rastojanja između svih članova skupa. Na ovaj način se može izračunati mnogo različitih tipova „udaljenosti“, kao što su obilaženje grafova, poređenje distribucija i krivih, i korišćenje neobičnih definicija „prostora“ (na primer korišćenjem mnogostrukosti ili refleksija). Pojam udaljenosti u teoriji grafova korišćen je za opisivanje društvenih mreža, na primer sa Erdešovim brojem ili Bejkonovim brojem — broj kolaborativnih odnosa udaljenih od osobe potiče od plodnog matematičara Pola Erdosa i glumca Kevina Bejkona, respektivno.

U psihologiji, ljudskoj geografiji i društvenim naukama, udaljenost se često teoretizira ne kao objektivna metrika, već kao subjektivno iskustvo.

Vidi još

• Sklada udaljenosti u astronomiji
• Dajkstrin algoritam
• Položaj
• Vektor položaja
• Pomeraj
• Vektor pomeraja

Literatura

• Deza E, Deza M (2006). Dictionary of Distances. Elsevier. ISBN 0-444-52087-2. 
• Aldrovandi, Ruben; Pereira, José Geraldo (2017), An Introduction to Geometrical Physics (2nd izd.), Hackensack, New Jersey: World Scientific, str. 20, ISBN 978-981-3146-81-5, MR 3561561 
• Arkhangel'skii, A. V.; Pontryagin, L. S. (1990), General Topology I: Basic Concepts and Constructions Dimension Theory, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Springer, ISBN 3-540-18178-4 
• Buldygin, V. V.; Kozachenko, Yu. V. (2000), Metric Characterization of Random Variables and Random Orocesses, Translations of Mathematical Monographs, 188, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, str. 129, ISBN 0-8218-0533-9, MR 1743716, doi:10.1090/mmono/188 
• Čech, Eduard (1969), Point Sets, New York: Academic Press, str. 42 
• Cecil, Thomas E. (2008), Lie Sphere Geometry: With Applications to Submanifolds, Universitext (2nd izd.), New York: Springer, str. 9, ISBN 978-0-387-74655-5, MR 2361414 
• Cohen, Andrew R.; Vitányi, Paul M. B. (2012), „Normalized compression distance of multisets with applications”, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 37 (8): 1602—1614, PMC 4566858 , PMID 26352998, arXiv:1212.5711 , doi:10.1109/TPAMI.2014.2375175 
• Deza, Michel Marie; Laurent, Monique (1997), Geometry of Cuts and Metrics, Algorithms and Combinatorics, 15, Springer-Verlag, Berlin, str. 27, ISBN 3-540-61611-X, MR 1460488, doi:10.1007/978-3-642-04295-9 
• Fraigniaud, P.; Lebhar, E.; Viennot, L. (2008), „The inframetric model for the internet”, 2008 IEEE INFOCOM - The 27th Conference on Computer Communications, str. 1085—1093, CiteSeerX 10.1.1.113.6748 , ISBN 978-1-4244-2026-1, S2CID 5733968, doi:10.1109/INFOCOM.2008.163 
• Helemskii, A. Ya. (2006), Lectures and Exercises on Functional Analysis, Translations of Mathematical Monographs, 233, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, str. 14, ISBN 978-0-8218-4098-6, MR 2248303, doi:10.1090/mmono/233 
• Lawvere, F. William (2002), „Metric spaces, generalized logic, and closed categories” (PDF), Reprints in Theory and Applications of Categories (1): 1—37, MR 1925933 ; reprinted with added commentary from Lawvere, F. William (1973), „Metric spaces, generalized logic, and closed categories”, Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano, 43: 135—166 (1974), MR 352214, doi:10.1007/BF02924844 
• Parrott, Stephen (1987), Relativistic Electrodynamics and Differential Geometry, New York: Springer-Verlag, str. 4, ISBN 0-387-96435-5, MR 867408, doi:10.1007/978-1-4612-4684-8 
• Rolewicz, Stefan (1987), Functional Analysis and Control Theory: Linear Systems, Springer, ISBN 90-277-2186-6 
• Smyth, M. (1987), „Quasi uniformities: reconciling domains with metric spaces”, Ur.: Main, M.; Melton, A.; Mislove, M.; Schmidt, D., 3rd Conference on Mathematical Foundations of Programming Language Semantics, Lecture Notes in Computer Science, 298, Springer-Verlag, str. 236—253, doi:10.1007/3-540-19020-1_12 
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology, Dover, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 507446 
• Vitányi, Paul M. B. (2011), „Information distance in multiples”, IEEE Transactions on Information Theory, 57 (4): 2451—2456, S2CID 6302496, arXiv:0905.3347 , doi:10.1109/TIT.2011.2110130 
• Väisälä, Jussi (2005), „Gromov hyperbolic spaces” (PDF), Expositiones Mathematicae, 23 (3): 187—231, MR 2164775, doi:10.1016/j.exmath.2005.01.010  
• Vickers, Steven (2005), „Localic completion of generalized metric spaces, I”, Theory and Applications of Categories, 14 (15): 328—356, MR 2182680, Arhivirano iz originala 26. 04. 2021. g., Pristupljeno 21. 12. 2021 
• Xia, Qinglan (2008), „The geodesic problem in nearmetric spaces”, Journal of Geometric Analysis, 19 (2): 452—479, arXiv:0807.3377  
• Xia, Q. (2009), „The geodesic problem in quasimetric spaces”, Journal of Geometric Analysis, 19 (2): 452—479, S2CID 17475581, arXiv:0807.3377 , doi:10.1007/s12220-008-9065-4 
• Smith, Karl (2013), Precalculus: A Functional Approach to Graphing and Problem Solving, Jones & Bartlett Publishers, str. 8, ISBN 978-0-7637-5177-7 
• Cohen, David (2004), Precalculus: A Problems-Oriented Approach (6th izd.), Cengage Learning, str. 698, ISBN 978-0-534-40212-9 
• Aufmann, Richard N.; Barker, Vernon C.; Nation, Richard D. (2007), College Trigonometry (6th izd.), Cengage Learning, str. 17, ISBN 978-1-111-80864-8 

Spoljašnje veze

• Interspace -A package for finding the distance between two vectors, numbers, strings etc.
• SciPy -Distance computations (scipy.spatial.distance)
• Julia Statistics Distance -A Julia package for evaluating distances (metrics) between vectors.
• „The Directed Distance” (PDF). Information and Telecommunication Technology Center. University of Kansas. Arhivirano iz originala (PDF) 10. 11. 2016. g. Pristupljeno 18. 9. 2018. CS1 održavanje: Format datuma (veza)