Sabiranje

Sabiranje, u opštom slučaju, je kombinovanje bilo koje dve količine ili veličine koristeći operator plus. U svakodnevnoj upotrebi, međutim, sabiranje se obično odnosi na kombinovanje brojeva (realnih, celih, prirodnih itd.), u cilju pronalaženja njihove zajedničke količine ili veličine. Sabiranje u ovom smislu je jedan od najprostijih numeričkih zadataka.

Znak plus

Sabiranje je komutativno, što znači da je: $1+2=2+1$, tj. mogu se zameniti mesta sabiraka, a rezultat sabiranja se neće promeniti. Sabiranje je takođe asocijativno, jer vredi: $(1+2)+3=1+(2+3)$ Kod sabiranja članova nekog niza koristi se veliko grčko slovo sigma: $\sum _{i=1}^{n}x_{i}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+\dots +x_{n-1}+x_{n}$, što znači da se sabira prvih n članova niza, od x₁ do x_n.

Oznaka i terminologija

3 + 2 = 5 sa jabukama

U uobičajenoj infiksnoj notaciji, sabiranje se predstavlja znakom plus smeštenim između operanada. Operandi se nazivaju sabirci, a rezultat sabiranja se zove zbir. Sledi primer.

$2+2=4$ (izgovara se „jedan plus dva“ ili „jedan više jedan“)

Slede još neki primeri.

$5+4+2=(5+4)+2=9+2=11$ (pogledati asocijativnost)

$3+3+3+3=3\times 4=12$ (pogledati množenje)

Neki put se sabiranje podrazumeva iako ne postoji znak plus:

• Ako je ispisan niz vertikalno potpisanih brojeva ispod kojih je podvučena crta, podrazumeva se da se brojevi žele sabrati a rezultat se upisuje ispod crte. Ipak, ovo nije standard i uobičajeno je staviti znak plus levo od poslednjeg sabirka u nizu.
• Ceo broj iza koga sledi razlomak se obično zove mešani broj (npr. $3{\frac {1}{2}}=3+{\frac {1}{2}}=3,5$), ali se ovo retko sreće osim u nižim razredima osnovne škole. Ovakva notacija ne predstavlja dvosmislenost. Naime, ako dve konkretne veličine stoje jedna pored druge, onda se one normalno gledaju kao jedan broj (npr. $1234$ se ne može gledati nikako drugačije nego broj hiljadu dvesta trideset i četiri), ali ovde nije taj slučaj jer imamo razlomak koji čini očiglednim šta se želelo napisati. Takođe, iako je uobičajeno pretpostaviti množenje kada dve veličine stoje jedna pored druge, to se čini samo kada bar jedan od operanada ne predstavlja konkretnu vrednost, nego promenljivu, konstantu, itd. (npr $3a$ se obično interpretira kao $3\times a$, ali ne i kada su oba operanda konkretne vrednosti, poput $1234$ ili $3{\frac {1}{2}}$.

Osobine

Iako osobine operacije sabiranja zavise od njene definicije i oblasti definisanosti, ovde ćemo govoriti konkretno o osobinama sabiranja elemenata iz skupa realnih brojeva, a samim tim i o osobinama sabiranja elemenata bilo koje Abelove grupe.

Sabiranje realnih brojeva zadovoljava četiri uslova:

1. za svaka dva realna broja $a$ i $b$, $a+b$ je isto što i $b+a$:

$\forall a,b\in R,a+b=b+a$ (komutativnost)

2. za svaka tri realna broja koji se sabiraju, nije bitno kojim redosledom ih sabiramo i rezultat mora biti isti; dakle, nije bitno da li prvo saberemo prvi i drugi, pa zbir sa trećim, ili prvo drugi i treći, pa zbir sa prvim itd.:

$\forall a,b,c\in R,a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)$ (asocijativnost)

3. Postoji jedan realan broj koji ako se sabere sa bilo kojim realnim brojem daje taj isti realan broj, tj. njegovo dodavanje na neki broj ne utiče na taj broj; taj realni broj se naziva neutral, i kod sabiranja realnih brojeva se obično predstavlja simbolom $0$ i zove „nula“:

$\exists 0\in R,\forall x\in R,x+0=x$

4. Za svaki uzeti realni broj, postoji njemu suprotan, označen sa znakom minus, koji kad se sabere sa tim brojem daje nulu; takav „suprotni“ broj nekog broja se naziva njegovim inverzom:

$\forall x\in R,\exists {-x},x+(-x)=0$

Uopšteno govoreći, sabiranje ne mora zadovoljavati sve navedene osobine za sve skupove nad kojim je definisano. Na primer, sabiranje nad skupom celih brojeva ne zadovoljava uslove 3. i 4., sabiranje nad skupom ordinala ne zadovoljava uslove 1. i 4., itd.

Tablica sabiranja

+	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20

Literatura

• Baroody, Arthur; Tiilikainen, Sirpa (2003). The Development of Arithmetic Concepts and Skills. Two perspectives on addition development. Routledge. str. 75. ISBN 978-0-8058-3155-9. 
• Davison, David M.; Landau, Marsha S.; McCracken, Leah; Thompson, Linda (1999). Mathematics: Explorations & Applications (TE izd.). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-435817-8. 
• Bunt, Lucas N.H.; Jones, Phillip S.; Bedient, Jack D. (1976). The Historical roots of Elementary Mathematics. Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-389015-0. 
• Poonen, Bjorn (2010). „Addition”. Girls' Angle Bulletin. 3 (3–5). ISSN 2151-5743. 
• Weaver, J. Fred (1982). Addition and Subtraction: A Cognitive Perspective. Interpretations of Number Operations and Symbolic Representations of Addition and Subtraction. Taylor & Francis. str. 60. ISBN 978-0-89859-171-2. 

Istorija

• Ferreirós, José (1999). Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics. Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-5749-9. 
• Karpinski, Louis (1925). The History of Arithmetic. Rand McNally. LCC QA21.K3. 
• Schwartzman, Steven (1994). The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English. MAA. ISBN 978-0-88385-511-9. 
• Williams, Michael (1985). A History of Computing Technology. Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-389917-7. 

Elemenatarna matematika

• Sparks, F.; Rees C. (1979). A Survey of Basic Mathematics. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-059902-4. 

Obrazovanje

• Begle, Edward (1975). The Mathematics of the Elementary School. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-004325-1. 
• California State Board of Education mathematics content standards Adopted December 1997, accessed December 2005.
• Devine, D.; Olson, J.; Olson, M. (1991). Elementary Mathematics for Teachers (2e izd.). Wiley. ISBN 978-0-471-85947-5. 
• Council, National Research (2001). Adding It Up: Helping Children Learn Mathematics. National Academy Press. ISBN 978-0-309-06995-3. doi:10.17226/9822. Arhivirano iz originala 08. 06. 2007. g. Pristupljeno 06. 05. 2019. 
• Van de Walle, John (2004). Elementary and Middle School Mathematics: Teaching developmentally (5e izd.). Pearson. ISBN 978-0-205-38689-5. 

Kognitivna nauka

• Fosnot, Catherine T.; Dolk, Maarten (2001). Young Mathematicians at Work: Constructing Number Sense, Addition, and Subtraction. Heinemann. ISBN 978-0-325-00353-5. 
• Wynn, Karen (1998). „Numerical competence in infants”. The Development of Mathematical Skills. Taylor & Francis. ISBN 978-0-86377-816-2. 

Matematičko izlaganje

• Bogomolny, Alexander (1996). „Addition”. Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles (cut-the-knot.org). Arhivirano iz originala 26. 04. 2006. g. Pristupljeno 3. 2. 2006. 
• Dunham, William (1994). The Mathematical Universe. Wiley. ISBN 978-0-471-53656-7. 
• Johnson, Paul (1975). From Sticks and Stones: Personal Adventures in Mathematics. Science Research Associates. ISBN 978-0-574-19115-1. 
• Linderholm, Carl (1971). Mathematics Made Difficult. Wolfe. ISBN 978-0-7234-0415-6. 
• Smith, Frank (2002). The Glass Wall: Why Mathematics Can Seem Difficult. Teachers College Press. ISBN 978-0-8077-4242-6. 
• Smith, Karl (1980). The Nature of Modern Mathematics (3rd izd.). Wadsworth. ISBN 978-0-8185-0352-8. 

Napredna matematika

• Bergman, George (2005). An Invitation to General Algebra and Universal Constructions (2.3 izd.). General Printing. ISBN 978-0-9655211-4-7. 
• Burrill, Claude (1967). Foundations of Real Numbers. McGraw-Hill. LCC QA248.B95. 
• Dummit, D.; Foote, R. (1999). Abstract Algebra (2 izd.). Wiley. ISBN 978-0-471-36857-1. 
• Enderton, Herbert (1977). Elements of Set Theory. Academic Press. ISBN 978-0-12-238440-0. 
• Lee, John (2003). Introduction to Smooth Manifolds. Springer. ISBN 978-0-387-95448-6. 
• Martin, John (2003). Introduction to Languages and the Theory of Computation (3 izd.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-232200-2. 
• Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis (3 izd.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8. 
• Stewart, James (1999). Calculus: Early Transcendentals (4 izd.). Brooks/Cole. ISBN 978-0-534-36298-0. 

Matematičko istraživanje

• Akian, Marianne; Bapat, Ravindra; Gaubert, Stephane (2005). „Min-plus methods in eigenvalue perturbation theory and generalised Lidskii-Vishik-Ljusternik theorem”. INRIA Reports. Bibcode:2004math......2090A. arXiv:math.SP/0402090 . 
• Baez, J.; Dolan, J. (2001). Mathematics Unlimited – 2001 and Beyond. From Finite Sets to Feynman Diagrams. str. 29. ISBN 978-3-540-66913-5. arXiv:math.QA/0004133 . 
• Litvinov, Grigori; Maslov, Viktor; Sobolevskii, Andrei (1999). „Idempotent mathematics and interval analysis”. Bibcode:1999math.....11126L. arXiv:math.SC/9911126 . 
• Loday, Jean-Louis (2002). „Arithmetree”. Journal of Algebra. 258: 275—309. arXiv:math/0112034 . doi:10.1016/S0021-8693(02)00510-0. 
• Mikhalkin, Grigory (2006). Sanz-Solé, Marta, ur. Proceedings of the International Congress of Mathematicians (ICM), Madrid, Spain, August 22–30, 2006. Volume II: Invited lectures. Tropical Geometry and its Applications. Zürich: European Mathematical Society. str. 827—852. ISBN 978-3-03719-022-7. Zbl 1103.14034. arXiv:math.AG/0601041 . 
• Viro, Oleg (2001). Cascuberta, Carles; Miró-Roig, Rosa Maria; Verdera, Joan; Xambó-Descamps, Sebastià, ur. European Congress of Mathematics: Barcelona, July 10–14, 2000, Volume I. Dequantization of Real Algebraic Geometry on Logarithmic Paper. Progress in Mathematics. 201. Basel: Birkhäuser. str. 135—146. Bibcode:2000math......5163V. ISBN 978-3-7643-6417-5. Zbl 1024.14026. arXiv:math/0005163 . 

Računarstvo

• Flynn, M.; Oberman, S. (2001). Advanced Computer Arithmetic Design. Wiley. ISBN 978-0-471-41209-0. 
• Horowitz, P.; Hill, W. (2001). The Art of Electronics (2 izd.). Cambridge UP. ISBN 978-0-521-37095-0. 
• Jackson, Albert (1960). Analog Computation. McGraw-Hill. LCC QA76.4 J3. 
• Truitt, T.; Rogers, A. (1960). Basics of Analog Computers. John F. Rider. LCC QA76.4 T7. 
• Marguin, Jean (1994). Histoire des Instruments et Machines à Calculer, Trois Siècles de Mécanique Pensante 1642–1942 (na jeziku: francuski). Hermann. ISBN 978-2-7056-6166-3. 
• Taton, René (1963). Le Calcul Mécanique. Que Sais-Je ? n° 367 (na jeziku: francuski). Presses universitaires de France. str. 20—28. 

Spoljašnje veze

• MathWorld Wolfram, „Sabiranje“ (jezik: engleski)