Teorija kategorija

Teorija kategorija se koristi da formalizuje matematiku i njene koncepte kao kolekcije objekata i strelica (morfizama). Teorija kategorija može da se koristi da formalizuje već postojeće teorije na višem nivou apstrakcije kao što su teorija skupova, teorija prstena i teorija grupa. Nekoliko termina koji se koriste u teoriji kategorija, uključujući termin "morfizam", ima različito značenje u ostalim oblastima matematike.

Kategorija sa objektima X, Y, Z i morfizmima f, g, g ∘ f, i tri identička morfizma (nisu prikazani) 1_X, 1_Y and 1_Z.

Objekti zajednice su dati objektima koji su vrhovi grafa, a njihovi odnosi su označeni usmerenim bridovima, koji se nazivaju strelicama ili morfizmima. Svaka kategorija po definiciji uz objekte i njihove usmerene odnosa predstavljene morfizmima imaju zadato asocijativno preslikavanje kompozicije onih parova strelica koje grafički slede u nizu (kraj jedne je početak druge) i za svaki objekt je izabrana posebna strelica identiteta, kojoj je i početak i kraj na tom objektu. Na primer, kategorijama se može formalizovati zajednica svih skupova i njihovih preslikavanja kao odnosa, zajednicu svih prstenova i njihovih (homo)morfizama i zajednicu svih grupa i (homo)morfizama grupa. U tim primerima se vidi da zajednica može biti velika, tj. da čini klasu u smislu teorije skupova.

Nekolika termina korištenih u teoriji kategorija, uključujući termin „morfizam” se koriste drugačije nego u specijalizovanim situacijama u matematici. U teoriji kategorija, morfizmi moraju ispunjavati samo opšte aksiome iz teorije kategorija, a ne specifične aksiome koji se zahtevaju u nekom drugom kontekstu. Dakle, taj koncept je unutrašnji u zadanoj kategoriji.

Saunders Maklejn i Samjuel Ejlenberg su uveli koncepte kategorija, funktora i prirodnih transformacija u 1942-45 u njihovom proučavanju algebarske topologije, sa ciljem aksiomatizacije pojma prirodnosti i još nekih svojstava koja su se ponavljala u više konteksta.

Kategorija teorija ima praktičnu primenu u teoriji programskih jezika, npr. formalizacije semantike programskih jezika i korištenje monada u funkcijskom programiranju. Aksiomatski pristup strukturi kategorije (elementarna teorija kategorija) nije zavisan od aksiomatike skupova i može se izučavati kao jedan od alternativnih pristupa temeljima matematike (uz teoriju skupova, razne teorije tipova itd).

Kategorije

Kategorija C se sastoji od sledeća tri entiteta:

• Klase ob(C), čije elemente zovemo objekti;
• Klase hom(C), čije elemente zovemo morfizmi ili preslikavanja ili strelice. Svaki morfizam f ima svoj domen a i kodomen b.
  

Izraz f : a → b, se čita kao "f je morfizam iz a u b".
Izraz hom(a, b) — koriste se i oznake hom_C(a, b), mor(a, b), ili C(a, b) — označava klasu svih morfizama iza u b.

• Binarne operacije ∘, koju nazivamo kompozicija morfizama, tako da za bilo koja tri objekta a, b, i c, važi hom(b, c) × hom(a, b) → hom(a, c). Kompoziciju f : a → b i g : b → c zapisujemo g ∘ f ili gf, regulisana sa dve aksiome:
  • Asocijativnost: Ako f : a → b, g : b → c i h : c → d onda je h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f, i
  • Identitet (matematika): Za svaki objekt x, postoji morfizam 1_x : x → x zvani identički morfizam x, tako da za svaki morfizam f : a → b, važi 1_b ∘ f = f = f ∘ 1_a.

Iz aksioma se može dokazati da postoji tačno jedan identički morfizam za svaki objekt. Neki autori odstupaju od ove definicije identifikujući svaki objekt sa njegovim identičkim morfizmom.

Odnosi među morfizmima i tipovi morfizama

Relacije između morfizama (poput fg = h) često se prikazuju grafički pomoću komutativnih dijagrama, sa „tačkama” (vrhovima) predstavljajući objekte i „strelicama” predstavljajući morfizme. Komutativnost dijagrama označava da kompozicija svih morfizama uzduž bilo koja dva usmerena puta s međusobno istim početkom i međusobno istim krajem ima isti rezultat (ne yavisi od puta).

Morfizmi mogu imati bilo koja od sedećih svojstava. Morfizam f : a → b je:

• monomorfizam (generalizirajući pojam injekcije u kategoriji skupova) ako f ∘ g₁ = f ∘ g₂ povlači g₁ = g₂ za sve morfizme g₁, g₂ : x → a.
• epimorfizam (generalizirajući pojam surjekcije u kategoriji skupova) ako g₁ ∘ f = g₂ ∘ f povlači g₁ = g₂ za sve morfizme g₁, g₂ : b → x.
• bimorfizam ako je f istovremeno monomorfizam i epimorfizam.
• izomorfizam ako postoji morfizam g : b → a takav da je f ∘ g = 1_b and g ∘ f = 1_a.
• endomorfizam ako je domen ujedno i kodomen, a = b. end(a) označava klasu endomorfizama od a.
• automorfizam ako f je izomorfizam s istom domenom i kodomenom. aut(a) označava klasu endomorfizama od a.
• retrakcija (sažimanje) ako desna inverzija od f postoji, t.j. ako postoji morfizam g : b → a takav da f ∘ g = 1_b.
• prerez (sekcija) ako leva inverzija od f postoji, t.j. ako postoji morfizam g : b → a takav da g ∘ f = 1_a.

Za kategoriju se kaže da je balansirana ako je svaki bimorfizam izomorfizam. Na primer, sve su Abelove kategorije balansirane.

Svaka retrakcija je epimorfizam, i svaku prerez je monomorfizam. Nadalje, sledeće tri tvrdnje su ekvivalentne:

• f je monomorfizam i retrakcija;
• f je epimorfizam i prerez;
• f je izomorfizam.

Suprotna kategorija

Svakoj kategoriji $C$ može se pridružiti suprotna kategorija $C^{\circ }$ koja ima iste objekte i morfizme, no morfizmi idu u suprotni smer. Tako za svaki objekt $x$ ima svoju suprotnu kopiju $x^{\circ }$, a za morfizam $f:x\to y$ njegovu suprotnu kopiju $f^{\circ }:y^{\circ }\to x^{\circ }$ sa zamenjenom domenom i kodomenom; pri tome je kompozicija definisana s $g^{\circ }\circ f^{\circ }:=(f\circ g)^{\circ }$, a identitet s $1_{x^{\circ }}:=(1_{x})^{\circ }:x^{\circ }\to x^{\circ }$. Suprotna kategorija se naziva takođe dvojstvena ili dualna kategorija kategorije $C$.

Vidi još

• Aksiomatska teorija skupova
• Zermelo-Frenkel teorija skupova
• Teorija grupa

Literatura

• Awodey, Steve (2010) [2006]. Category Theory. Oxford Logic Guides. 49 (2nd izd.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-923718-0. 
• Awodey, Steve (2006). Category Theory. Oxford Logic Guides. 49. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-151382-4. 
• Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (2004). Abstract and Concrete Categories. Heldermann Verlag Berlin. Arhivirano iz originala 24. 02. 2021. g. Pristupljeno 25. 04. 2021. 
• Barr, Michael; Wells, Charles (2012) [1995], Category Theory for Computing Science, Reprints in Theory and Applications of Categories, 22 (3rd izd.) .
• Barr, Michael; Wells, Charles (2005), Toposes, Triples and Theories, Reprints in Theory and Applications of Categories, 12, MR 2178101 .
• Borceux, Francis (1994). Handbook of categorical algebra. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge University Press. str. 50—52. ISBN 9780521441780. 
• Freyd, Peter J. (2003) [1964]. Abelian Categories. Reprints in Theory and Applications of Categories. 3. 
• Freyd, Peter J.; Scedrov, Andre (1990). Categories, allegories. North Holland Mathematical Library. 39. North Holland. ISBN 978-0-08-088701-2. 
• Goldblatt, Robert (2006) [1979]. Topoi: The Categorial Analysis of Logic. Studies in logic and the foundations of mathematics. 94. Dover. ISBN 978-0-486-45026-1. 
• Herrlich, Horst; Strecker, George E. (2007). Category Theory (3rd izd.). Heldermann Verlag Berlin. ISBN 978-3-88538-001-6. .
• Kashiwara, Masaki; Schapira, Pierre (2006). Categories and Sheaves. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 332. Springer. ISBN 978-3-540-27949-5. 
• Lawvere, F. William; Rosebrugh, Robert (2003). Sets for Mathematics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-01060-3. 
• Lawvere, F. William; Schanuel, Stephen Hoel (2009) [1997]. Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories (2nd izd.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-89485-2. 
• Leinster, Tom (2004). Higher Operads, Higher Categories. Higher Operads. London Math. Society Lecture Note Series. 298. Cambridge University Press. str. 448. Bibcode:2004hohc.book.....L. ISBN 978-0-521-53215-0. Arhivirano iz originala 2003-10-25. g. Pristupljeno 2006-04-03. 
• Leinster, Tom (2014). Basic Category Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 143. Cambridge University Press. ISBN 9781107044241. arXiv:1612.09375 . 
• Lurie, Jacob (2009). Higher Topos Theory. Annals of Mathematics Studies. 170. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-14049-0. MR 2522659. arXiv:math.CT/0608040 . 
• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics. 5 (2nd izd.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98403-2. MR 1712872. 
• Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999) [1967]. Algebra (2nd izd.). Chelsea. ISBN 978-0-8218-1646-2. 
• Martini, A.; Ehrig, H.; Nunes, D. (1996). „Elements of basic category theory”. Technical Report. 96 (5). 
• May, Peter (1999). A Concise Course in Algebraic Topology. University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-51183-2. 
• Mazzola, Guerino (2002). The Topos of Music, Geometric Logic of Concepts, Theory, and Performance. Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-5731-3. 
• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, ur. (2004). Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 97. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83414-8. Zbl 1034.18001. 
• Pierce, Benjamin C. (1991). Basic Category Theory for Computer Scientists. MIT Press. ISBN 978-0-262-66071-6. 
• Schalk, A.; Simmons, H. (2005). An introduction to Category Theory in four easy movements (PDF). Arhivirano iz originala (PDF) 2017-03-21. g. Pristupljeno 2007-12-03.  Notes for a course offered as part of the MSc. in Mathematical Logic, Manchester University.
• Simpson, Carlos (2010). Homotopy theory of higher categories. Bibcode:2010arXiv1001.4071S. arXiv:1001.4071 . , draft of a book.
• Taylor, Paul (1999). Practical Foundations of Mathematics. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 59. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-63107-5. 
• Turi, Daniele (1996—2001). „Category Theory Lecture Notes” (PDF). Pristupljeno 11. 12. 2009. CS1 održavanje: Format datuma (veza) Based on Mac Lane 1998.
• Marquis, Jean-Pierre (2008). From a Geometrical Point of View: A Study of the History and Philosophy of Category Theory. Springer. ISBN 978-1-4020-9384-5. 

Spoljašnje veze

• Theory and Application of Categories, an electronic journal of category theory, full text, free, since 1995.
• nLab, a wiki project on mathematics, physics and philosophy with emphasis on the n-categorical point of view.
• The n-Category Café, essentially a colloquium on topics in category theory.
• Category Theory, a web page of links to lecture notes and freely available books on category theory.
• Hillman, Chris, A Categorical Primer, CiteSeerX 10.1.1.24.3264  , a formal introduction to category theory.
• Adamek, J.; Herrlich, H.; Stecker, G. „Abstract and Concrete Categories-The Joy of Cats” (PDF). Arhivirano iz originala (PDF) 21. 04. 2015. g. Pristupljeno 25. 04. 2021. 
• "Category Theory" entry by Jean-Pierre Marquis in the Stanford Encyclopedia of Philosophy, with an extensive bibliography.
• List of academic conferences on category theory
• Baez, John (1996). „The Tale of n-categories”.  — An informal introduction to higher order categories.
• WildCats is a category theory package for Mathematica. Manipulation and visualization of objects, morphisms, categories, functors, natural transformations, universal properties.
• The catsters na sajtu YouTube, a channel about category theory.
• Category theory at PlanetMath.org..
• Video archive of recorded talks relevant to categories, logic and the foundations of physics.
• Interactive Web page which generates examples of categorical constructions in the category of finite sets.
• Category Theory for the Sciences, an instruction on category theory as a tool throughout the sciences.
• Category Theory for Programmers A book in blog form explaining category theory for computer programmers.
• Introduction to category theory.