142857

142.857 su šest ponavljajućih decimalnih cifara broja 1/7, 0,142857, koje takođe čine i najpoznatiji ciklični broj u brojevnoj osnovi 10. Ovaj broj, pomnožen brojevima 2, 3, 4, 5, ili 6, daje cikličnu permutaciju samog sebe.

142857
142854 · 142855 · 142856 · 142857 · 142858 · 142859 · 142860
Kardinalni broj	sto četrdeset i dve hiljade osamsto pedeset i sedam
Redni broj	sto četdeset dve hiljade osamsto pedeset sedmi
Delioci	1, 3, 9, 11,13,27,33,37,39,99,...
Faktorizacija	33 x 11 x 13 x 37
Rimski	CXLMMDCCCLVII
Binarno	100010111000001001
Oktalno	427011
Heksadecimalno	22E09
φ(142857)	34560
σ(142857)	253917
π(142857)	13252
μ(142857)	0

Račun

1 × 142.857 = 142.857

2 × 142.857 = 285.714

3 × 142.857 = 428.571

4 × 142.857 = 571.428

5 × 142.857 = 714.285

6 × 142.857 = 857.142

7 × 142.857 = 999.999

Ako je pomnožen celim brojem većim od 7, postoji jednostavan postupak da se opet dobije ciklična permutacija broja 142857. Dodavanjem prvih šest cifara preostalim ciframa i ponavljanjem postupka dok ne ostane samo šest cifara, dobija se ciklična permutacija broja 142857

142857 × 8 = 1142856

1 + 142856 = 142857

142857 × 815 = 116428455

116 + 428455 = 428571

Množenje umnoškom broja 7 će rezultovati brojem 999999 nakon istog procesa

142857 × 7⁴ = 342999657

342 + 999657 = 999999

Kvadrat prve tri cifre oduzet od kvadrata poslednje tri cifre takođe daje cikličnu permutaciju ovog broja.

857² = 734449

142² = 20164

734449 - 20164 = 714285

Cifre 142857 su ponavljajuća niska u decimalnom razvoju racionalnog broja 1/7 = 0 , 142857 142857 14... Stoga se umnošci broja 1/7 jednostavno dobijaju ponovljenim kopijama odgovarajućih umnožaka broja 142857:

1 ÷ 7 = 0 , 142857 142857 142857 14...

2 ÷ 7 = 0 , 285714 285714 285714 28...

3 ÷ 7 = 0 , 428571 428571 428571 42...

4 ÷ 7 = 0 , 571428 571428 571428 57...

5 ÷ 7 = 0 , 714285 714285 714285 71...

6 ÷ 7 = 0 , 857142 857142 857142 85...

7 ÷ 7 = 0 , 999999 999999 999999 99...

8 ÷ 7 = 1 , 142857 142857 142857 14...

9 ÷ 7 = 1 , 285714 285714 285714 28...

22 ÷ 7 = 3 , 142857 142857..., je stara aproksimacija broja Pi.

${\frac {1}{7}}=\sum _{n=0}^{\infty }3^{n}*10^{-(n+1)}$

Jednostavno kombinovanje cifara na različite načine i deljenje brojem 7 ili umnoškom broja 7 daje

142 + 857 = 999

999 ÷ 7 = 142,7 142857 142857 142857 14...

14 + 28 + 57 = 99

99 ÷ 7 = 14, 142857 142857 142857...

1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27

27 ÷ 7 = 3.857 142857 142857 142857...

857 - 142 = 715

715 ÷ 7 = 102, 142857 142857 142857...

1 × 4 × 2 × 8 × 5 × 7 = 2240

2240 ÷ 49 = 45,7 142857 142857 142857...

1 + 42 + 857 = 900

900 ÷ 7 = 128,57 142857 142857 142857...

1 × 4 ÷ 2 × 8 ÷ 5 × 7 = 22,4

22,4 ÷ 49 = 0,457 142857 142857 142857...

U osnovi 10, 142.857 je Haršadov broj i Kaprekarov broj.

${\frac {22}{7}}$ kao $\pi \,\!$

Ova antička aproksimacija broja $\pi \,\!$ se dovodi u vezu sa jevrejskim misticizmom. U određenim kabalističkim krugovima, kao što su mediogegnijanci je poznato da dvadeset i dva slova hebrejskog pisma predstavljaju kompletan obim koji kad se podeli brojem sedam (sveti broj ciklusa) daje kabalistički $\pi \,\!$, takođe poznat u ovim krugovima kao savršeni $\pi \,\!$.

${\frac {22}{7}}=3.142857142857142857...$$\pi =3,141592653589793238...\,\!$

Razlika između ova dva broja je

${\frac {22}{7}}-\pi =\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}\,dx$

Literatura

• Leslie, John (1820). The Philosophy of Arithmetic: Exhibiting a Progressive View of the Theory and Practice of .... Longman, Hurst, Rees, Orme, and Brown. ISBN 978-1-4020-1546-5. 
• Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers Revised Edition. London: Penguin Group. (1997): 171 - 175

Vidi još

• Cikličan broj

Spoljašnje veze

• Sajt broja 142857