Идентитет (математика)

У математици, идентитет је једнакост која се односи на један математички израз A на други математички израз B, тако да A и B (које могу садржати неке променљиве) производе исту вредност за све вредности варијабли унутар одређеног домена дискурса. Другим речима, A=B је идентитет ако A и B дефинишу исте функције, а идентитет је једнакост између функција које су различито дефинисане. На пример, $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ и $\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1$ су идентитети. Идентитети се понекад означавају симболом троструким знаком једнакости (≡), уместо знаком једнакости (=). Формално, идентитет је универзално квантификована једнакост.

Визуелни доказ Питагориног идентитета: за било који угао $\theta$, тачка $(x,y)=(\cos \theta ,\sin \theta )$ лежи на јединичном кругу, што задовољава једначину $x^{2}+y^{2}=1$. дакле, $\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1$.

Заједнички идентитети

Алгебарски идентитети

Одређени идентитети, као на пример $a+0=a$ и $a+(-a)=0$, чине основу алгебре, док други идентитети, као на пример $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ и $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$, може бити корисно у поједностављивању алгебарских израза и њиховом проширењу.

Тригонометријски идентитети

Геометријски, тригонометријски идентитети су идентитети који укључују одређене функције једног или више углова. Они се разликују од идентитета троугла, који су идентитети који укључују и углове и дужине страница троугла. У овом чланку су обрађени само први.

Ови идентитети су корисни кад год изразе који укључују тригонометријске функције треба поједноставити. Друга важна примена је интеграл нетригонометријских функција: уобичајена техника која укључује прво коришћење правила замене са тригонометријском функцијом, а затим поједностављивање резултујућег интеграла са тригонометријским идентитетом.

Један од најистакнутијих примера тригонометријских идентитета укључује једначину $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,$ што важи за све стварне вредности од $\theta$. С друге стране, једначина

$\cos \theta =1$

важи само за одређене вредности $\theta$, а не све. На пример, ова једначина је тачна када је $\theta =0,$ али нетачна када је $\theta =2$.

Друга група тригонометријских идентитета односи се на такозване формуле сабирања/одузимања (на пример идентитет двоструког угла $\sin(2\theta )=2\sin \theta \cos \theta$, формула за додавање за $\tan(x+y)$), који се може користити за разбијање израза већих углова на оне са мањим састојцима.

Степеновани идентитети

Главни чланак: Степеновање

Следећи идентитети важе за све целобројне степене, под условом да је база различита од нуле:

${\begin{aligned}b^{m+n}&=b^{m}\cdot b^{n}\\(b^{m})^{n}&=b^{m\cdot n}\\(b\cdot c)^{n}&=b^{n}\cdot c^{n}\end{aligned}}$

За разлику од сабирања и множења, степеновање није комутативно. На пример, 2 + 3 = 3 + 2 = 5 и 2 · 3 = 3 · 2 = 6, али 2³ = 8 док је 3² = 9.

Такође, за разлику од сабирања и множења, степеновање такође није асоцијативно. На пример, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 и (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24, али 2³ до 4 је 8⁴ (или 4,096) док је 2 до 3⁴ 2⁸¹ (или 2,417,851,639,229,258,349,412,352). Када нису написане заграде, по конвенцији је редослед одозго надоле, а не одоздо према горе:

$b^{p^{q}}:=b^{(p^{q})},$ док $(b^{p})^{q}=b^{p\cdot q}.$

Логаритамски идентитети

Неколико важних формула, које се понекад називају логаритамски идентитети или логаритамски закони, повезују логаритме један са другим:

Производ, количник, снага и корен

Логаритам производа је збир логаритама бројева који се множе; логаритам односа два броја је разлика логаритама. Логаритам p тог степена броја је p пута већи од логаритма самог броја; логаритам p тог корена је логаритам броја подељеног са p. Следећа табела наводи ове идентитете са примерима. Сваки од идентитета се може извести након замене дефиниција логаритма $x=b^{\log _{b}x},$ и/или $y=b^{\log _{b}y},$ у леве стране.

	Формула	Пример
производ	$\log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)$	$\log _{3}(243)=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}(9)+\log _{3}(27)=2+3=5$
количник	$\log _{b}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)$	$\log _{2}(16)=\log _{2}\!\left({\frac {64}{4}}\right)=\log _{2}(64)-\log _{2}(4)=6-2=4$
степен	$\log _{b}(x^{p})=p\log _{b}(x)$	$\log _{2}(64)=\log _{2}(2^{6})=6\log _{2}(2)=6$
корен	$\log _{b}\!{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\log _{b}(x)}{p}}$	$\log _{10}\!{\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\log _{10}1000={\frac {3}{2}}=1.5$

Промена базе

Логаритам log_b(x) се може израчунати из логаритама x и b у односу на произвољну базу k користећи следећу формулу:

$\log _{b}(x)={\frac {\log _{k}(x)}{\log _{k}(b)}}.$

Типични научни калкулатори израчунавају логаритме на основу 10 и e. Логаритми у односу на било коју базу b могу се одредити коришћењем било ког од ова два логаритма по претходној формули:

$\log _{b}(x)={\frac {\log _{10}(x)}{\log _{10}(b)}}={\frac {\log _{e}(x)}{\log _{e}(b)}}.$

Дат је број x и његов логаритам log_b(x) непознатој основици b, база је дата са:

$b=x^{\frac {1}{\log _{b}(x)}}.$

Идентитети хиперболичких функција

Хиперболичке функције задовољавају многе идентитете, а сви су по форми слични тригонометријским идентитетима. У ствари, Озборново правило каже да се може конвертовати било који тригонометријски идентитет у хиперболички идентитет тако што ће га се у потпуности проширити у смислу целобројних снага синуса и косинуса, променити синус у sinh и косинус у cosh, и променити знак сваког члана који садржи производ парног броја хиперболичких синуса.

Гудерманова функција даје директну везу између тригонометријских и хиперболичких функција која не укључује комплексне бројеве.

Логика и универзална алгебра

Формално, идентитет је права универзално квантификована формула форме $\forall x_{1},\ldots ,x_{n}:s=t,$ где су s и t чланови без других слободних променљивих осим $x_{1},\ldots ,x_{n}.$ Префикс квантификатора $\forall x_{1},\ldots ,x_{n}$ често остаје имплицитно, када се наводи да је формула идентитет. На пример, аксиоми моноида се често дају као формуле

$\forall x,y,z:x*(y*z)=(x*y)*z,\quad \forall x:x*1=x,\quad \forall x:1*x=x,$

или, укратко,

$x*(y*z)=(x*y)*z,\qquad x*1=x,\qquad 1*x=x.$

Дакле, ове формуле су идентитети у сваком моноиду. Као и за сваку једнакост, формуле без квантификатора се често називају једначинама. Другим речима, идентитет је једначина која је тачна за све вредности променљивих.

Види још

• Рачуноводствени идентитет
• Списак математичких идентитета

Референце

 

Спољашње везе

• The Encyclopedia of Equation Онлајн енциклопедија математичких идентитета (архивирано)
• Збирка алгебарских идентитета Архивирано на сајту Wayback Machine (1. октобар 2011)