Издужене сфероидне координате у тродимензионалном простору представљају ортогонални координатни систем настао ротацијом сфероида око велике оси. Ротацијом око мање оси добијају се спљоштене сфероидне координате. Издужене сфероидне координате користе се да се реше различите парцијалне диференцијалне једначине, у којима гранични услови одговарају издуженом сфероиду са два фокуса на великој оси. Један од реалних примера је електрон у електромагнетном пољу два позитивно набијена језгра, као што је случај у јонизованом молекулу водоника
H
2
+
{\displaystyle H_{2}^{+}}
Дефиниција
уреди
Најчешћа дефиниција издужених сфероидних координата
(
μ
,
ν
,
ϕ
)
{\displaystyle (\mu ,\nu ,\phi )}
x
=
a
sinh
μ
sin
ν
cos
ϕ
{\displaystyle x=a\ \sinh \mu \ \sin \nu \ \cos \phi }
y
=
a
sinh
μ
sin
ν
sin
ϕ
{\displaystyle y=a\ \sinh \mu \ \sin \nu \ \sin \phi }
z
=
a
cosh
μ
cos
ν
{\displaystyle z=a\ \cosh \mu \ \cos \nu }
где је
μ
{\displaystyle \mu }
ν
∈
[
0
,
π
]
{\displaystyle \nu \in [0,\pi ]}
ϕ
{\displaystyle \phi }
[
0
,
2
π
)
{\displaystyle [0,2\pi )}
Квадрирајући горње изразе добија се:
z
2
a
2
cosh
2
μ
+
x
2
+
y
2
a
2
sinh
2
μ
=
cos
2
ν
+
sin
2
ν
=
1
{\displaystyle {\frac {z^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}
што показује да површи константнога
μ
{\displaystyle \mu }
елипсе , које се ротирају око оси, које спајају њихове фокусе . На сличан начин добија се и следећа релација:
z
2
a
2
cos
2
ν
−
x
2
+
y
2
a
2
sin
2
ν
=
cosh
2
μ
−
sinh
2
μ
=
1
{\displaystyle {\frac {z^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}
из које се види да површи константнога
ν
{\displaystyle \nu }
Ламеови коефицијенти скалирања
уреди
Ламеови коефицијенти скалирања за елиптичне координате
(
μ
,
ν
)
{\displaystyle (\mu ,\nu )}
h
μ
=
h
ν
=
a
sinh
2
μ
+
sin
2
ν
{\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}
а азимутални Ламеов коефицијент је:
h
ϕ
=
a
sinh
μ
sin
ν
{\displaystyle h_{\phi }=a\sinh \mu \ \sin \nu }
Инфинитезимални елемент запремине је:
d
V
=
a
3
sinh
μ
sin
ν
(
sinh
2
μ
+
sin
2
ν
)
d
μ
d
ν
d
ϕ
{\displaystyle dV=a^{3}\sinh \mu \ \sin \nu \ \left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu d\phi }
а Лапласијан је:
∇
2
Φ
=
1
a
2
(
sinh
2
μ
+
sin
2
ν
)
[
∂
2
Φ
∂
μ
2
+
∂
2
Φ
∂
ν
2
+
coth
μ
∂
Φ
∂
μ
+
cot
ν
∂
Φ
∂
ν
]
+
1
a
2
sinh
2
μ
sin
2
ν
∂
2
Φ
∂
ϕ
2
{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left[{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}+\coth \mu {\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}+\cot \nu {\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right]+{\frac {1}{a^{2}\sinh ^{2}\mu \sin ^{2}\nu }}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}}
Алтернативне дефиниције
уреди
Постоји алтернативна дефиниција преко три координате
(
σ
,
τ
,
ϕ
)
{\displaystyle (\sigma ,\tau ,\phi )}
σ
=
cosh
μ
{\displaystyle \sigma =\cosh \mu }
τ
=
cos
ν
{\displaystyle \tau =\cos \nu }
Онда добијамо:
x
=
a
(
σ
2
−
1
)
(
1
−
τ
2
)
cos
ϕ
{\displaystyle x=a{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}\cos \phi }
y
=
a
(
σ
2
−
1
)
(
1
−
τ
2
)
sin
ϕ
{\displaystyle y=a{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}\sin \phi }
z
=
a
σ
τ
{\displaystyle z=a\ \sigma \ \tau }
Алтернативни Ламеови коефицијенти
уреди
Ламеови коефицијенти за
(
σ
,
τ
,
ϕ
)
{\displaystyle (\sigma ,\tau ,\phi )}
h
σ
=
a
σ
2
−
τ
2
σ
2
−
1
{\displaystyle h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}}}
h
τ
=
a
σ
2
−
τ
2
1
−
τ
2
{\displaystyle h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}}
h
ϕ
=
a
(
σ
2
−
1
)
(
1
−
τ
2
)
{\displaystyle h_{\phi }=a{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}
Инфинитезимални елемент запремине је:
d
V
=
a
3
(
σ
2
−
τ
2
)
d
σ
d
τ
d
ϕ
{\displaystyle dV=a^{3}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)d\sigma d\tau d\phi }
а Лапласијан је:
∇
2
Φ
=
1
a
2
(
σ
2
−
τ
2
)
{
∂
∂
σ
[
(
σ
2
−
1
)
∂
Φ
∂
σ
]
+
∂
∂
τ
[
(
1
−
τ
2
)
∂
Φ
∂
τ
]
}
+
1
a
2
(
σ
2
−
1
)
(
1
−
τ
2
)
∂
2
Φ
∂
ϕ
2
{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left[\left(\sigma ^{2}-1\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right]+{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left[\left(1-\tau ^{2}\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}}
Дивергенција је:
div
A
(
σ
,
τ
,
ϕ
)
=
1
a
(
σ
2
−
τ
2
)
∂
∂
σ
[
A
σ
(
σ
2
−
τ
2
)
(
σ
2
−
1
)
]
+
{\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {A} (\sigma ,\tau ,\phi )={\frac {1}{a(\sigma ^{2}-\tau ^{2})}}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left[A_{\sigma }{\sqrt {(\sigma ^{2}-\tau ^{2})(\sigma ^{2}-1)}}\right]+}
1
a
(
σ
2
−
τ
2
)
∂
∂
τ
[
A
τ
(
σ
2
−
τ
2
)
(
1
−
τ
2
)
]
+
1
a
(
σ
2
−
1
)
(
1
−
τ
2
)
∂
∂
ϕ
[
A
ϕ
]
{\displaystyle {\frac {1}{a(\sigma ^{2}-\tau ^{2})}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left[A_{\tau }{\sqrt {(\sigma ^{2}-\tau ^{2})(1-\tau ^{2})}}\right]+{\frac {1}{a{\sqrt {(\sigma ^{2}-1)(1-\tau ^{2})}}}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}{\Big [}A_{\phi }{\Big ]}}
Литература
уреди
Издужени сфероидни координатни систем Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers , McGraw-Hill.
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0 .
Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-043316-8 
![{\displaystyle \nu \in [0,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afa60490b32a53df8fe49e7bd023f1adf3e61f05)
![{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left[{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}+\coth \mu {\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}+\cot \nu {\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right]+{\frac {1}{a^{2}\sinh ^{2}\mu \sin ^{2}\nu }}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48caeab189e1f1d9da9233fb21d53bb92851f8fc)
![{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left[\left(\sigma ^{2}-1\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right]+{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left[\left(1-\tau ^{2}\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f15e727f9d0e40ee12fa68cb58a07f2011f82707)
![{\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {A} (\sigma ,\tau ,\phi )={\frac {1}{a(\sigma ^{2}-\tau ^{2})}}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left[A_{\sigma }{\sqrt {(\sigma ^{2}-\tau ^{2})(\sigma ^{2}-1)}}\right]+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fbc19e4a6bdf3e3202eee7b479894bb8ca261e6)
![{\displaystyle {\frac {1}{a(\sigma ^{2}-\tau ^{2})}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left[A_{\tau }{\sqrt {(\sigma ^{2}-\tau ^{2})(1-\tau ^{2})}}\right]+{\frac {1}{a{\sqrt {(\sigma ^{2}-1)(1-\tau ^{2})}}}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}{\Big [}A_{\phi }{\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9612a7367490aa53fa3dfc1bad027b852bbcf32)