а степеновање природним степеном се може дефинисати као поновљено множење:
што је инспирисало Кнута да дефинише оператор 'двоструке стрелице' за поновљено степеновање:
Овде и надаље израчунавање се спроводи здесна улево (као таква, операција је десно асоцијативна):
Према овој дефиницији,
(у разложеном облику, овај број би попунио неколико повећих хард дискова[1])
итд.
Ово већ води до прилично великих бројева, али Кнут је проширио своју нотацију. Дефинисао је оператор 'троструке стрелице' за поновљену примену оператора 'двоструке стрелице':
даље имамо оператор 'четири стрелице':
и тако даље. Опште правило је да се оператор стрелица разлаже у серију оператора стрелица. Симболички,
У изразима као што је , нотација за степеновање обично подразумева да се експонент записује изнад са десне стране од базног броја . Међутим, многа окружења – као што су програмски језици – не подржавају такав дводимензиони запис. Због тога је усвојена линеарна нотација за оваква окружења; стрелица нагоре представља 'дизање на степен'. Ако у скупу карактера не постоји стрелица нагоре, користи се симбол ^.
Нотација са записивањем експонента изнад броја који се диже на степен, није погодна за генерализацију, што објашњава зашто је кнут изабрао да ради са стрелицом нагоре, .
У контексту програмског језика C, карактер ^ означава ексклузивно или XOR. ** је уобичајена алтернатива за па је у овом контексту могуће користити два симбола за понављање оператора. Могуће је узети да је *** еквивалентно са , али ова употреба није уобичајена.
Неки бројеви су толико велики да чак и запис са вишеструким стрелицама нагоре постаје прегломазан: тада је од користи оператор -стрелица (као и за описе са променљивим бројем стрелица), или еквивалентно, хипер оператори.
Неки бројеви су толико велики да ни оваква нотација није довољна. Пример за ово је Грејемов број. У овим случајевима се може користити Конвејева ланчана нотација: ланац од три елемента је еквивалентан осталим нотацијама, али ланац од четири елемента је још већи.
Обично се Кнутова нотација користи за бројеве релативно мање магнитуде, а ланчане стрелице или хипер оператори за веће бројеве.
Кнутова нотација се формално дефинише на следећи начин
за све целе бројеве и .
Сви оператори стрелице нагоре (укључујући класично степеновање, ) су десно асоцијативни, то јест, израчунавање се спроводи здесна улево уколико израз садржи два или више таквих оператора. На пример, , не ; на пример
је а не
Постоји добар разлог зашто је изабран овакав редослед израчунавања. Да је коришћено израчунавање слева удесно, тада би било једнако
, па суштински не би било нова операција.
Десна асоцијативност је такође природна јер можемо да препишемо поновљени са стрелицама који се понавља у развоју као
, па је свако леви операнд оператора стрелице. Ово је значајно јер оператори стрелице нису комутативни.
Рачунање се може записати у бесконачној таблици. Записујемо бројеве 2 у првој врсти, и пунимо десну колону вредностима 2. Како би се одреила нека вредност у таблици, узима се број одмах лево од ње, а затим се тражи број у претходној врсти на пзицији означеној овим бројем.
Таблица је иста као код Акерманове функције, осим замене и , и додатка 3 свим вредностима.
Рачунање
Ставимо бројеве 3 у горњу врсту, и попунимо леву колону тројкама. Како би одредили неку вредност у табели, узмемо број одмах лево до њега, и потражимо број у претходној врсти, на позицији коју означава број који смо узели.
Попунимо прву врсту бројевима 10 , а прву колону десеткама. Како би одредили неку вредност у табели узмимамо број одмах лево до ове позиције, и потражимо број у претходној врсти, на позицији коју означава број који смо узели.