Корисник:Trancelestial/sandbox

Елиптични хиперболоид

Хиперболоид је површ другог реда, обично задата у простору $\mathbb {R} ^{3}$ и може бити једнограни, задат једначином ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$

или двограни

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1$

Када је $a\neq b$, овакве површи се називају још и елиптични хиперболоиди. Ако и само ако је $a=b$, хиперболоид је ротациона површ. Једнограни ротациони хиперболоид се може добити ротацијом хиперболе око симетрале дужи која спаја жиже, док двограни ротациони хиперболоид ротацијом хиперболе око праве која пролази кроз исту дуж.

Канонска једначина

Једнограни хиперболоид

Једнограни хиперболоид

Ако се за директрисе узму хиперболе одређене једначинама

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}-1=y=0$,

${\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}-1=x=0$,

онда је скуп свих тачака на елипси задатих једначинама чија су темена пресечне тачке равни $z=\gamma$ са задатим хиперболама, једнограни хиперболоид. Ове хиперболе се називају директрисама, а променљиве елипсе генератрисама једнограног хиперболоида. За тачке генеришућих елипси

${\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}-1=z-\gamma =0$,

${\frac {\alpha ^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}=1$ и

${\frac {\beta ^{2}}{b^{2}}}-{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}=1$

елиминацијом параметара $\alpha ,\beta ,\gamma$ добија се канонска једначина једнограног хиперболоида

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1$

Двограни хиперболоид

Двограни хиперболоид

Ако за директрисе узму хиперболе одређене једначинама

${\frac {z^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}{c^{2}}}-1=y=0$

${\frac {z^{2}}{b^{2}}}-{\frac {y^{2}}{c^{2}}}-1=x=0$

и исте елипсе као за једнограни хиперболоид, аналогним поступком добија се канонска једначина двограног хиперболоида

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1$.

Параметарске једначине

Једнограни хиперболоид

Једнограни хиперболоид добијен ротацијом хиперболе

Једнограни хиперболоид добијен ротацијом праве

Ако се као параметри узму $u\in [0,2\pi )$ и $v\in \mathbb {R}$ онда се једнограни елиптични хиперболоид може параметризовати на више начина:

$x(u,v)=a{\sqrt {1+v^{2}}}\cos u$,

$y(u,v)=b{\sqrt {1+v^{2}}}\sin u$,

$z(u,v)=cu$ или

$x(u,v)=a\cosh v\cos u$,

$y(u,v)=b\cosh v\sin u$,

$z(u,v)=c\sinh v$ или

$x(u,v)=a(\cos u\mp v\sin u)$,

$y(u,v)=b(\sin u\pm v\cos u$,

$z(u,v)=\pm cu$

У случају кад је $a=b$ други наведени начин параметризације реализује једнограни хиперболоид ротацијом хиперболе, а трећи праве око $z$ осе.

Двограни хиперболоид

Двограни елиптични хиперболоид усмерен дуж $z$ осе има параметарску једначину:

$x(u,v)=a\sinh v\cos u$,

$y(u,v)=b\sinh v\sin u$,

$z(u,v)=\pm c\sinh v$, где $u\in [0,pi)$ и $v\in \mathbb {R}$.

Уопштење канонске једначине

Хиперболоид са центром у $\mathbf {c}$, произвоњне оријентације, дефинише се једначином

$(\mathbf {x} -\mathbf {c} )^{T}A(\mathbf {x} -\mathbf {c} )=1$,

где су $\mathbf {x}$ и $\mathbf {c}$ вектори димензије 3x1, а А је матрица 3x3.

Сопствени вектори матрице А дефинишу усмерење хиперболоида, а сопствене вредности А су реципрочне вредности квадрата полу-оса:${\tfrac {1}{a^{2}}}{\tfrac {1}{b^{2}}}{\tfrac {1}{c^{2}}}$.

Особине

Кружни једнограни хиперболоид је ротациона површ и може се добити ротацијом хиперболе око споредне полу-осе. Ротацијом хиперболе око главне полу-осе се добија двограни хиперболоид, који се још може описати као скуп тачака P таквих да је АP-BP константно, где су А и B жиже хиперболоида.

Кружни једнограни хиперболоид се такође може добити и ротацијом праве око полу-осе што значи да је он праволинијска површ, односно да се кроз сваку тачку на њему може наћи права која у потпуности припада хиперболоиду. Штавише, кроз сваку тачку на хиперболоиду се могу наћи две овакве праве.

Гаусово закривљење једнограног хиперболоида имплицитно је дато формулом

$K(x,y,z)=-{\frac {a^{2}b^{6}c^{6}}{(b^{4}c^{4}+a^{2}c^{4}y^{2}-b^{2}c^{4}y^{2}+a^{2}b^{4}z^{2}+b^{4}c^{2}z^{2})^{2}}}$,

а Гаусово закривљење двограног хиперболоида

$K(x,y,z)={\frac {a^{2}b^{6}c^{6}}{(b^{4}c^{4}-a^{2}c^{4}y^{2}+b^{2}c^{4}y^{2}-a^{2}b^{4}z^{2}-b^{4}c^{2}z^{2})^{2}}}$,

где су a, b и c полу-осе.

Иако је Гаусово закривљење двограног хиперболоида позитивно, одабиром погодне метрике он може бити модел хиперболичке геометрије.

Хиперболоид у простору $\mathbb {R} ^{n},n>3$

У математици виших димензија се често помињу имагинарни хиперболоиди. Ако се посматра псеудо-Еуклидски простор и полином

$p(x)=(x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2})-((x_{k+1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}))$, за k<n, део простора

$\{x|p(x)=c\}$,

где је c константа, назива се хиперболоид.

Такође се овакви хиперболоиди називају и квази-сфере због сличности између сфере и хиперболоида.

Примена у грађевини

Торањ у граду Кобе, Јапан

Због особине да је једнограни хиперболоид праволинијска површ, могуће је направити грађевину овог облика помоћу равних металних шипки, док је за већину грађевина које имају закривљену структуру потребно правити закривљене градивне елементе што је далеко компликованије у смислу прецизности. Ово својство заједно са негативним Гаусовим закривљењем омогућавају хиперболоидним грађевинама да буду стабилније и отпорније у односу на равне грађевине.

Оваква структура има доста неискористивог простора па се зато углавном користи за конструкцију торњева за хлађење, водених торњева, грађевина које треба да држе велику масу или ради естетике.

Торањ у граду Кобе, Јапан

Торањ у граду Кобе, Јапан

Спољашње везе

• Хиперболоид на сајту MathWorld
  • Једнограни хиперболоид на сајту MathWorld
  • Двограни хиперболоид на сајту MathWorld
  • Елиптични хиперболоид на сајту MathWorld
• Једнограни хиперболоид на сајту mathinsight
• Двограни хиперболоид на сајту mathinsight