Крамерово правило

Крамерово правило је теорема у линеарној алгебри, која даје решење система линеарних једначина помоћу детерминанти. Добила је име по Габријелу Крамеру (1704—1752).

Рачунски, ради се о неефикасном поступку, и стога се не користи у пракси у случајевима када је број једначина у систему велики. Међутим, ово правило је од теоријског значаја јер даје експлицитни израз за решење система.

Елементарна формулацијаУреди

Систем једначина представљен у форми множења матрица као:

 

где је квадратна матрица   инвертибилна а вектор   је вектор колоне променљивих:  .

Теорема онда тврди да:

 
 

где је   матрица која се добија заменом i-те колоне из   вектором колоне  . Ради једноставности, понекад се користи само један симбол као што је   да представи   а нотација   се користи да представи  . Стога се једначина (1) може компактније записати као

 

Апстрактна формулацијаУреди

Нека је R комутативни прстен, а A n×n матрица са коефицијентима из R. Онда

 

где Adj(A) означава адјунговану матрицу матрице A, det(A) је детерминанта, а I је јединична матрица.

ПримерУреди

Добар начин да се Крамерово правило искористи за матрице димензије 2×2 је помоћу следеће формуле:

  и
 ,

што се може записати у матричном облику

 

x и y се могу наћи Крамеровим правилом:

 

и

 


Правило за матрице димензије 3×3 је слично.

 ,
  и
 ,

што се може записати у матричном облику

 

x, y и z се могу наћи на следећи начин:

 ,    ,   and    

Примене у диференцијалној геометријиУреди

Крамерово правило је врло корисно за решавање проблема у диференцијалној геометрији. Узмимо две једначине   и  . Када су u и v независне променљиве, можемо да дефинишемо   и  .

Налажење једначине за   је тривијално применом Крамеровог правила.

Прво израчунамо прве изводе за F, G, x и y.

 
 
 
 

Заменом dx, dy у dF и dG, добијамо:

 
 

Како су u, v обе независне, коефицијенти du, dv морају бити једнаки нули. Тако да можемо да напишемо:

 
 
 
 

Сада, применом Крамеровог правила видимо да:

 

Ово сада је формула у облику два јакобијана:

 

Сличне формуле се могу извести за  ,  ,  .

Примене у алгебриУреди

Крамерово правило се може користити за доказивање Кејли-Хамилтонове теореме из линеарне алгебре, као и Накајамине леме, која је од основног значаја у теорији комутативних прстенова.

Спољашње везеУреди