Лагранжева функција

Када се решава проблем кретања система више тела, користи се Лагранжев формализам који упрошћава праћење еволуције система. Тачније, користе се једначине:

где је Лагранжијан или Лагранжева функција, док је Т — кинетичка енергија система, а U — потенцијална енергија система, док су — генералисане брзине, а генералисане координате.[1]

ИзвођењеУреди

Полазимо од Даламберовог принципа да је рад сила реакција подлоге при могућем или виртуелном померању тела једнак 0, тј. ако је: , где је  маса ν-тог тела, аν — његово убрзање,   — резултанта дејствујућих сила на ν-то тело и   — реакција подлоге на ν-то тело, тада је:  , односно   1.

 ;  =>  , сада израз 1. постаје

  уз  , а  

 

Како је кинетичка енергија,  =>

 =>  

Па ако су силе потенцијалне, тј. важи  , то израз  

и коначно једначина 1 постаје: 

Како су могућа померања  произвољна, то следи:  

ПримериУреди

Математичко клатноУреди

 
Приказ клатна са дејствујућим силама, везама и генералисаном координатом

Круто тело занемарљиве масе ограничава кретање тела масе ṁ занемарљивих димензија, тако да се кретање прати замо углом θ — отклона штапа од вертикале, па се добије: =>  

 ;  ;  

 , па из

 =>  , па за   произилази решење   

Кретање у Кулоновом пољу силаУреди

Кулоново поље сила припада типу централних сила, код којих је момент импулса једнак 0. , а по својству векторског производа  , па је  константа кретања.

Исти резултат лако добијамо из Лангражевог формализма: 

 => ,јер је  

Ẕ — број протона у језгри атома или редни број атома, ṁ — маса електрона, е — наелектрисање електрона, ε0 — диелектричка пропустљивост вакуума.

РеференцеУреди

  1. ^ Мушицки, Ђорђе (12. 02. 1987). „Увод у теоријску физику” (PDF).