Правоугаоник
Правоугаоник је четвороугаона геометријска фигура у равни. Спада у класу паралелограма, а следећа два правила важе за сваки правоугаоник: наспрамне странице су по дужини једнаке и паралелне, и суседне странице су нормалне једна на другу (заклапају угао од 90°). Тачан изглед једног правоугаоника је одређен његовом ширином (означено са a на слици десно) и његовом дужином (означено са b на слици десно). Специјалан случај правоугаоника коме су све странице једнаке се назива квадрат.[1][2][3]
Правоугаоник | |
---|---|
![]() Правоугаоник | |
Тип | четвороугао, трапез, паралелограм, ортотоп |
Ивице и темена | 4 |
Симбол Шлефли | { } × { } |
Дијаграм Кокстера | ![]() ![]() ![]() |
Симетрична група | Диедрална (D2), [2], (*22), order 4 |
Двоструки многоугао | ромб |
Својства | конвексан, изогоналан, цикличан Супротни углови и странице су подударни |
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/ba/WRectangle.png/250px-WRectangle.png)
Реч правоугаоник потиче од латинског rectangulus, што је комбинација rectus (као придев, усправан, прав) и angulus (угао).
Укрштени правоугаоник је самопресецајући четвороугао који се састоји од две супротне странице правоугаоника заједно са две дијагонале[4] (дакле, само две странице су паралелне). То је посебан случај антипаралелограма, а његови углови нису прави углови и нису сви једнаки, иако су супротни углови једнаки. Друге геометрије, као што су сферна, елиптична и хиперболичка, имају такозване правоугаонике са супротним страницама једнаке дужине и једнаким угловима који нису прави углови.
Карактеризације
уредиКонвексни четвороугао је правоугаоник ако и само ако важи једно од следећег:[5][6]
- паралелограм са најмање једним правим углом
- паралелограм са дијагоналама једнаке дужине
- паралелограм ABCD где су троуглови ABD и DCA подударни[7]
- једнакоугаони четвороугао
- четвороугао са четири права угла
- четвороугао где су две дијагонале једнаке по дужини и деле једна другу на пола[8]
- конвексан четвороугао са узастопним страницама a, b, c, d чија је површина .[9]:fn.1
- конвексан четвороугао са узастопним страницама a, b, c, d чија је површина [9]
Формуле
уреди- Површина правоугаоника је P = ab
- Обим правоугаоника је O = 2(a+b)
- Полуобим правоугаоника је S = (a+b)
- Углови између страница и дијагонала: φ1 = arctg(b/a) и φ1 = arctg(a/b); φ1 + φ2 = π/2.
- Углови између дијагонала Θ1 = π - 2φ1 и Θ2 = π - 2φ2; Θ1 + Θ2 = π
- r (полупречник описане кружнице) : r =
Дијагонала правоугаоника
уредиДијагонала правоугаоника је дуж која спаја два његова темена која немају ни једну заједничку страницу. Правоугаоник има тачно две дијагонале, и оне су једнаких дужина:
Конструкције правоугаоника
уредиДве странице
уредиДате су дужине страница a и b. Једно решење:
- Конструисати дуж AB дужине a.
- У тачки A, нормално на AB, конструисати дуж AD дужине b.
- Повући дуж DB.
- Симетрала тачке A у односу на средиште DB ће бити C.
Уместо корака 3 и 4 може се конструисати дуж BC, дужине a и нормална на AC, тако да угао ABC буде математички негативно оријентисан.
Страница и угао између ње и дијагонале
уредиПретпоставимо да су дати страница AB и угао α.
- Конструисати дуж AB
- Из тачке A конструисати полуправу s која са AB заклапа угао α, тако да је угао BAs позитивно оријентисан.
- Из тачке B конструисати нормалу н на AB.
- Пресек n и s обележити као C.
- У A конструисати полуправу n1 нормалну на AB, тако да је угао ABn1 позитивно оријентисан
- У A конструисати круг k полупречника BC.
- Пресек n1 и kје D.
Уколико су дати страница AB и угао β између друге странице ње и дијагонале, угао α је једнак 90° - β.
Страница и дијагонала
уредиАко су дате странца, на пример AB, и дужина дијагонале правоугаоника d, конструкција има следећи ток:
- Конструисати дуж дужине d и назвати јој темена A и C.
- Конструисати круг k1 који за пречник има дуж AC.
- У тачки A конструисати круг k2 полупречника AB.
- Круг k2 ће сећи k1 у две тачке. Једна од ове две треба да добије име B тако да је угао ABC негативно математички оријентисан
- Од B треба повући полуправу кроз средиште AC. Пресек ове полуправе са кругом k1 ће бити тачка D.
Остали правоугаоници
уредиУ сферној геометрији, сферни правоугаоник је фигура чије су четири ивице велики кружни лукови који се састају под једнаким угловима већим од 90°. Супротни лукови су једнаки по дужини. Површина сфере у еуклидској чврстој геометрији је нееуклидска површина у смислу елиптичке геометрије. Сферна геометрија је најједноставнији облик елиптичке геометрије.
У елиптичкој геометрији, елиптични правоугаоник је фигура у елиптичној равни чије су четири ивице елиптични лукови који се састају под једнаким угловима већим од 90°. Супротни лукови су једнаки по дужини.
У хиперболичној геометрији, хиперболички правоугаоник је фигура у хиперболичној равни чије су четири ивице хиперболички лукови који се састају под једнаким угловима мањим од 90°. Супротни лукови су једнаки по дужини.
Теселације
уредиПравоугаоник се користи у многим периодичним обрасцима теселације, у зидању, на пример, овим плочицама:
Наслагана веза |
Текућа веза |
Плетена кошара |
Плетена кошара |
Патерн рибље кости |
Квадратни, савршени и други поплочани правоугаоници
уредиЗа правоугаоник поплочан квадратима, правоугаоницима или троугловима се каже да је правоугаоник „квадратни“, „правоугаони“ или „троугаони“. Поплочани правоугаоник је савршен[10][11] ако су плочице сличне и ограниченог броја и нема две плочице исте величине. Ако су две такве плочице исте величине, плочица је несавршена. У савршеном (или несавршеном) троуглом правоугаонику троуглови морају бити правоугли. База података свих познатих савршених правоугаоника, савршених квадрата и сродних облика може се наћи на squaring.net.[12] Најмањи број квадрата који је потребан за савршено поплочавање правоугаоника је 9,[13] а најмањи број потребан за савршено поплочавање квадрата је 21, пронађен 1978. компјутерском претрагом.[14]
Правоугаоник има самерљиве странице ако и само ако је поплочан коначним бројем неједнаких квадрата.[10] Исто важи и ако су плочице неједнаки једнакокраки правоугли троуглови.
Поплочавање правоугаоника другим плочицама које су привукле највећу пажњу су оне конгруентним неправоугаоним полиомима, дозвољавајући све ротације и рефлексије. Постоје и поплочавања конгруентним полиаболима.[15][16][17]
Јуникод
уреди- U+25AC ▬ Црни правугаоник
- U+25AD ▭ Бели правугаоник
- U+25AE ▮ Црни вертикални правоугаоник
- U+25AF ▯ Бели вертикални правоугаоник
Референце
уреди- ^ „Archived copy” (PDF). Архивирано из оригинала (PDF) 2014-05-14. г. Приступљено 2013-06-20.
- ^ Definition of Oblong. Mathsisfun.com. Retrieved 2011-11-13.
- ^ Oblong – Geometry – Math Dictionary. Icoachmath.com. Retrieved 2011-11-13.
- ^ Coxeter, Harold Scott MacDonald; Longuet-Higgins, M.S.; Miller, J.C.P. (1954). „Uniform polyhedra”. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences. The Royal Society. 246 (916): 401—450. ISSN 0080-4614. JSTOR 91532. MR 0062446. S2CID 202575183. doi:10.1098/rsta.1954.0003.
- ^ Zalman Usiskin and Jennifer Griffin, "The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition", Information Age Publishing, 2008, pp. 34–36 ISBN 1-59311-695-0.
- ^ Owen Byer; Felix Lazebnik; Deirdre L. Smeltzer (19. 8. 2010). Methods for Euclidean Geometry. MAA. стр. 53—. ISBN 978-0-88385-763-2. Приступљено 2011-11-13.
- ^ Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). „Oxford Concise Dictionary of Mathematics, Congruent Figures” (PDF). Addison-Wesley. стр. 167. Архивирано из оригинала 29. 10. 2013. г. Приступљено 2. 6. 2017.
- ^ Gerard Venema, "Exploring Advanced Euclidean Geometry with GeoGebra", MAA, 2013, p. 56.
- ^ а б Josefsson Martin (2013). „Five Proofs of an Area Characterization of Rectangles” (PDF). Forum Geometricorum. 13: 17—21. Архивирано из оригинала (PDF) 24. 03. 2024. г. Приступљено 17. 07. 2022.
- ^ а б R.L. Brooks; C.A.B. Smith; A.H. Stone; W.T. Tutte (1940). „The dissection of rectangles into squares”. Duke Math. J. 7 (1): 312—340. doi:10.1215/S0012-7094-40-00718-9.
- ^ J.D. Skinner II; C.A.B. Smith; W.T. Tutte (новембар 2000). „On the Dissection of Rectangles into Right-Angled Isosceles Triangles”. Journal of Combinatorial Theory, Series B. 80 (2): 277—319. doi:10.1006/jctb.2000.1987 .
- ^ squaring.net
- ^ Sloane, N. J. A. (ур.). „Sequence A219766 (Number of nonsquare simple perfect squared rectangles of order n up to symmetry)”. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
- ^ „Squared Squares; Perfect Simples, Perfect Compounds and Imperfect Simples”. www.squaring.net. Приступљено 2021-09-26.
- ^ Gardner, Martin (јун 1967). „The polyhex and the polyabolo, polygonal jigsaw puzzle pieces”. Scientific American. 216 (6): 124—132.
- ^ Golomb, Solomon W. (1994). Polyominoes (2nd ed.). Princeton University Press. стр. 101. ISBN 0-691-02444-8.
- ^ Goodman, Jacob E.; O'Rourke, Joseph, ур. (2004). Handbook of Discrete and Computational Geometry (2nd ed.). Chapman & Hall/CRC. стр. 349. ISBN 1-58488-301-4.
Литература
уреди- Martin, George Edward (1982), Transformation geometry, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, Theorem 12.1, page 120, ISBN 0-387-90636-3, MR 718119, doi:10.1007/978-1-4612-5680-9
- „Quadrilaterals - Square, Rectangle, Rhombus, Trapezoid, Parallelogram”. Mathsisfun.com. Приступљено 2020-09-02.
- „Sum of Angles in a Polygon”. Cuemath. Приступљено 22. 6. 2022.
- Keady, G.; Scales, P.; Németh, S. Z. (2004). „Watt Linkages and Quadrilaterals”. The Mathematical Gazette. 88 (513): 475—492. S2CID 125102050. doi:10.1017/S0025557200176107.
- Jobbings, A. K. (1997). „Quadric Quadrilaterals”. The Mathematical Gazette. 81 (491): 220—224. JSTOR 3619199. doi:10.2307/3619199.
- Beauregard, R. A. (2009). „Diametric Quadrilaterals with Two Equal Sides”. College Mathematics Journal. 40 (1): 17—21. S2CID 122206817. doi:10.1080/07468342.2009.11922331.
- Hartshorne, R. (2005). Geometry: Euclid and Beyond. Springer. стр. 429—430. ISBN 978-1-4419-3145-0.
- Josefsson, Martin (2013), „Five Proofs of an Area Characterization of Rectangles” (PDF), Forum Geometricorum, 13: 17—21, Архивирано из оригинала (PDF) 24. 03. 2024. г., Приступљено 17. 07. 2022
- Josefsson, Martin (2012), „Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals” (PDF), Forum Geometricorum, 12: 13—25, Архивирано из оригинала (PDF) 05. 12. 2020. г., Приступљено 17. 07. 2022
- Leonard Mihai Giugiuc; Dao Thanh Oai; Kadir Altintas (2018). „An inequality related to the lengths and area of a convex quadrilateral” (PDF). International Journal of Geometry. 7: 81—86.
- Josefsson, Martin (2014). „Properties of equidiagonal quadrilaterals”. Forum Geometricorum. 14: 129—144. Архивирано из оригинала 05. 06. 2024. г. Приступљено 17. 07. 2022.
- „Inequalities proposed in Crux Mathematicorum (from vol. 1, no. 1 to vol. 4, no. 2 known as "Eureka")” (PDF). Imomath.com. Приступљено 1. 3. 2022.
- Alsina, Claudi; Nelsen, Roger (2010). Charming Proofs : A Journey Into Elegant Mathematics. Mathematical Association of America. стр. 114, 119, 120, 261. ISBN 978-0-88385-348-1.
- John Boris Miller. „Centroid of a quadrilateral” (PDF). Austmd.org.au. Приступљено 1. 3. 2022. <
- Chen, Evan (2016). Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN 9780883858394.
- David, Fraivert (2019), „Pascal-points quadrilaterals inscribed in a cyclic quadrilateral”, The Mathematical Gazette, 103 (557), S2CID 233360695, doi:10.1017/mag.2019.54
- David, Fraivert (2019), „A Set of Rectangles Inscribed in an Orthodiagonal Quadrilateral and Defined by Pascal-Points Circles”, Journal for Geometry and Graphics, 23
- David, Fraivert (2017), „Properties of a Pascal points circle in a quadrilateral with perpendicular diagonals” (PDF), Forum Geometricorum, 17: 509—526, Архивирано из оригинала (PDF) 05. 12. 2020. г., Приступљено 17. 07. 2022
- Josefsson, Martin (2013). „Characterizations of Trapezoids” (PDF). Forum Geometricorum. 13: 23—35.[мртва веза]
- Barnett, M. P.; Capitani, J. F. (2006). „Modular chemical geometry and symbolic calculation”. International Journal of Quantum Chemistry. 106 (1): 215—227. Bibcode:2006IJQC..106..215B. doi:10.1002/qua.20807.
- Hamilton, William Rowan (1850). „On Some Results Obtained by the Quaternion Analysis Respecting the Inscription of "Gauche" Polygons in Surfaces of the Second Order” (PDF). Proceedings of the Royal Irish Academy. 4: 380—387.
- Borisov, Alexander; Dickinson, Mark; Hastings, Stuart (март 2010). „A Congruence Problem for Polyhedra”. American Mathematical Monthly. 117 (3): 232—249. S2CID 8166476. arXiv:0811.4197 . doi:10.4169/000298910X480081.
- Creech, Alexa. „A Congruence Problem” (PDF). Архивирано из оригинала (PDF) 11. 11. 2013. г.
- Franco P. Preparata and Michael Ian Shamos (1985). Computational Geometry – An Introduction. Springer-Verlag. ISBN 0-387-96131-3. 1st edition: ; 2nd printing, corrected and expanded, 1988.
Спољашње везе
уреди- Weisstein, Eric W. „Rectangle”. MathWorld.
- Definition and properties of a rectangle with interactive animation.
- Area of a rectangle with interactive animation.