Električna reaktansa

Prolaskom kroz električne provodnike i otpornike električna struja nailazi na električni otpor koji je određen strukturalnim osobinama materijala od kojeg je neki električki vodič, odn. otpornik načinjen. Električna struja u električnim strujnim krugovima s električnim otpornicima strogo je srazmerna električnom naponu, a obrnuto srazmerna veličini električnog otpora (u daljnjem tekstu: struja, napon, otpor).

Reaktancija je imaginarna veličina koja ima svoju apsolutnu vrednost (veličinu) i odgovarajući fazni pomak (argument). S reaktancijama se u osnovi računa kao i s električnim mrežama izvedenim istosmernim električnim izvorima i otporima, uzimajući naravno u obzir da se matematičke operacije zbivaju u kompleksnoj ravni. Uz iste uslove vrede Omov zakon, Kirhofovi zakoni, teoreme iz područja električnih mreža (Tevenenova teorema, Nortonova teorema i teorema superpozicije) te druge metode rešavanja linearnih električnih mreža.^[1]

Električni otpor

Otpornik ne menja veličinu svog otpora veličinom struje koja kroz njega prolazi te се naziva i linearnim elementom. Karakteristika ne samo otpornika, već i svih provodnika elektriciteta generalno, je da je njihov otpor po pravilu jednak i za jednosmernu i za sve vrste naizmenične struje bez obzira na frekvenciju ili talasni oblik naizmenične struje, gde je električni otpor određen odnosom u skladu sa Omovim zakonom:

I={\frac {U}{R}}

Konačno, i ne manje važno, otpornik kao osnovni elektronski element nema mogućnost skladištenja energije. Za razliku od otpornika, električni kondenzatori i električne zavojnice (u daljnjem tekstu: kondenzator, zavojnica) imaju svojstvo pohrane (akumuliranja) energije u obliku električnog ili magnetnog polja.

Poređenje sa otporom

Reaktanca je slična otporu u tome što veća reaktanca dovodi do manjih struja za isti primenjeni napon. Dalje, kolo napravljeno u potpunosti od elemenata koji imaju samo reaktancu (i bez otpora) može se tretirati na isti način kao i kolo napravljeno u potpunosti od otpora. Ove iste tehnike se takođe mogu koristiti za kombinovanje elemenata sa reaktancom sa elementima sa otporom, ali su za izražavanje obično potrebni kompleksni brojevi. Ovo je obrađeno u nastavku u članku o impedansi.

Postoji nekoliko važnih razlika između reaktanse i otpora. Prvo, reaktansa menja fazu tako da se struja kroz element pomera za četvrtinu ciklusa u odnosu na fazu napona primenjenog na element. Drugo, snaga se ne rasipa u čisto reaktivnom elementu, već se umesto toga skladišti. Treće, reaktanse mogu biti negativne tako da mogu 'poništiti' jedna drugu. Konačno, glavni elementi kola koji imaju reaktansu (kondenzatori i induktori) imaju reaktancu zavisnu od frekvencije, za razliku od otpornika koji imaju isti otpor za sve frekvencije, barem u idealnom slučaju.

Termin reaktansa je prvi predložio francuski inženjer M. Hospitalier u L'Industrie Electrique 10. maja 1893. godine. Zvanično ga je usvojio Američki institut elektroinženjera u maju 1894. godine.^[2]

Kondenzator

Električna reaktancija kondenzatora

Kondenzator ne provodi jednosmernu električnu struju te za nju predstavlja, u idealnim uslovima, beskonačno velik otpor.^[3] Međutim, priključenjem na jednosmerni električni izvor on će se «nabiti» elektricitetom i upravo ta osobina kondenzatora da pohranjuje energiju imaće posledicu da će on svojevrsnim povratnim, reaktivnim, delovanjem uticati i na jačinu naizmenične struje. Kako je električni kapacitet definisan kao odnos električnog naboja koji postoji na oblogama kondenzatora i odgovarajućeg električnog napona koji se pojavljuje na priključnicama kondenzatora (u daljnjem tekstu: kapacitet, naboj, napon), u statičkim uslovima vredi da je

C={\frac {Q}{U}}

U dinamičkim uslovima, međutim, vrede sledeći odnosi

C={\frac {dq}{du}}

iz čega sledi da je

du={\frac {1}{C}}dq

odnosno generalno

u(t)={\frac {1}{C}}\int i(t)\,dt.

Rešavanje integralnih ili diferencijalnih jednačina može se pokazati složenim čak i za jednostavnija električna kola, a tamo gde ima više strujnih petlji, električnih izvora i veći broj otpornika i kondenzatora to može predstavljati nepremostivu poteškoću.^[3]^[4]^[5] Štaviše, računanje trenutnih vrednosti naizmeničnih napona i struja u domenu vremena niti nema neku praktičnu vrednost. Zato se pomoću Furijeove transformacije ili Laplasove transformacije za slučaj kontinuirane sinusoidne pobude ( $s=j\omega \,$ ) čitava integralna jednačina transformiše iz domena vremena u domen kružne frekvencije $j\omega ,\,$ kako sledi

$U(j\omega \,)={\frac {1}{j\omega \,C}}I(j\omega \,)$

Kondenzatoru, odn. kapacitetu, se na taj način dodeljuje svojevrstan imaginaran «otpor» u području kružne frekvencije koji se naziva kapacitivnim reaktivnim otporom ili kapacitivnom reaktancijom:^[3]

$X_{C}={\frac {1}{j\omega \,C}}$

i odgovarajuća kapacitivna reaktivna provodljivost, odn. kapacitivna susceptancija: $B=j\omega \,C$

gde je $\omega \,=2\pi \,f$

Kapacitivni reaktivni otpor kondenzatora se smanjuje porastom frekvencije nazmenične struje strminom 6 dB/oktavi (20 dB/dekadi) da bi za beskonačno visoku frekvenciju postao jednak nuli. Prikazujući napon na kondenzatoru i struju kroz kondenzator vektorima (ponekad se koristi pojam fazora) u kompleksnoj ravni, ustanovljen u odnosu na vektor napona, na primer, na pozitivnu realnu osu, vektor struje prethodi vektoru napona za 90 stupnjeva i koji se u takvom slučaju nalazi na pozitivnoj imaginarnoj osi ( $+j\,$ ). Uobičajeno je stoga kazati da kod kondenzatora, odn. kapaciteta, fazni pomak struje +90 stupnjeva.

Reaktancija kondenzatora u strujnom krugu

Reaktancija kondenzatora je imaginarna veličina gde se, vrlo pojednostavljeno, integracija u domenu vremena zamenjuje deljenjem sa $j\,\omega \,$ prelazeći na taj način u domen kružne frekvencije. U području kružne frekvencije u strujnim kolima postupa se vrlo slično strujnim kolima sa jednosmernim izvorima te je rezultantna reaktancija serijskog spoja više kondenzatora jednaka:

$X=X_{C_{1}}+X_{C_{1}}+\dots +X_{C_{1}}$

dok za paralelni spoj više kapacitivnih reaktancija vredi

${\frac {1}{X}}={\frac {1}{X_{C_{1}}}}+{\frac {1}{X_{C_{2}}}}+\dots +{\frac {1}{X_{C_{n}}}}$

Reaktancija kondenzatora u stvarnim uvjetima

Kondenzator sa idealnim dielektrikom (idealni kondenzator) vraća u električnu mrežu onoliko energije koliko je i primio. Na taj način u ukupnom energetskom bilancu kondenzator u idealnim uslovima ne troši snagu iz električne mreže i ne uzrokuje gubitke energije. U stvarnosti, međutim, kondenzator ima neki konačni otpor dielektrika te ga prikazujemo paralelnim spojem idealnog kondenzatora kapaciteta C, te otpora Rc koji predstavlja otpor dielektrika i uzrok je gubitaka snage na kondenzatoru. Odnos otpora dielektrika i apsolutne vrednosti reaktancije kondenzatora određuje kvalitet kondenzatora te su u tom smislu najkvalitetniji, na primer, keramički kondenzatori su među najkvalitetnijim elektrolitskim kondenzatorima.

Zavojnica

Električna reaktancija zavojnice

Za razliku od kondenzatora, zavojnica pohranjuje energiju u magnetskom polju i dok se kondenzator svojim kapacitetom protivi promeni napona, karakteristika je zavojnice da se svojom induktivnošću protivi promeni struje indukujući tzv. protivelektromotornu silu određenu diferencijalnom jednačinom:

u(t)=L{\frac {di(t)}{dt}}

Primenljujući Furijeovu, odn. Laplasovu transformaciju za slučaj kontinuirane sinusoidne pobude ( $s=j\omega \,$ ), jednačina se iz domena vremena transformiše u domen kružne frekvencije $j\omega \,$ :

$U(j\omega \,)=j\omega \,L\cdot I(j\omega \,)$

Zavojnici, odn. induktivitetu se na taj način dodeljuje svojevrstan imaginaran otpor u području kružne frekvencije koji se naziva induktivnim reaktivnim otporom ili induktivnom reaktancijom:

$X_{L}=j\omega \,L$

te induktivna reaktivna provodljivost, odn. induktivna susceptancija: $B={\frac {1}{j\omega \,L}}$

gde je $\omega \,=2\pi \,f$

Otpor idealne zavojnice za jednosmernu struju jednak je nuli. Reaktivni otpor zavojnice raste sa porastom frekvencije strminom 6 dB/oktavi (20 dB/dekadi) i na beskonačno visokoj frekvenciji postaje beskonačno velik. Prikazujući napon na zavojnici i struju kroz zavojnicu vektorima u kompleksnoj ravnini, može se ustanoviti da u odnosu na vektor napona, na primer, na pozitivnu realnu osu, vektor struje zaostaje za vektorom napona za 90 stupnjeva i koji se u takvom slučaju nalazi na negativnoj imaginarnoj osi ( $-j\,$ ). Uobičajeno je stoga smatrati da je kod zavojnice, odnosno induktiviteta, fazni pomak struje -90 stupnjeva.

Reaktancija zavojnice u strujnom kolu

Reaktancija zavojnice takođe je imaginarna veličina gde se, vrlo pojednostavljeno, diferenciranje u domenu vremena zamenjuje množenjem sa $j\omega \,$ te se prelazi na taj način u domen kružne frekvencije. U području kružne frekvencije u strujnim kolima postupa se vrlo slično strujnim kolima s jesnosmernim izvorima te je rezultantna reaktancija serijskog spoja više zavojnica jednaka:

$X=X_{L_{1}}+X_{L_{2}}+\dots +X_{L_{n}}$

dok za paralelni spoj više induktivnih reaktancija vredi

${\frac {1}{X}}={\frac {1}{X_{L_{1}}}}+{\frac {1}{X_{L_{2}}}}+\dots +{\frac {1}{X_{L_{n}}}}$

Reaktancija zavojnice pod stvarnim uslovima

Idealna zavojnica s otporom žice jednakim nuli vraća u električnu mrežu onoliko energije koliko je i primila. Na taj način u ukupnom energetskom bilansu zavojnica u idealnim uslovima ne troši snagu iz električne mreže i ne uzrokuje gubitke energije. U stvarnosti, međutim, zavojnica ima neki otpor provodnika od koga je napravljena te se prikazuje kao serijski spoj idealnog induktiviteta i otpora koji predstavlja radni otpor zavoja zavojnice i koji je uzrok gubitaka snage u zavojnici. Odnos apsolutnog iznosa reaktancije zavojnice i „omskog” otpora zavoja zavojnice određuje kvalitet zavojnice te se one po pravilu prave od provodnika nešto većeg preseka i što manjeg specifičnog električnog otpora.

Reference

^ Horowitz, Paul; Hill, Winfield (1989). "1". The Art of Electronics. Cambridge University Press. pp. 32–33. ISBN 978-0-521-37095-0..
^ Charles Proteus Steinmetz, Frederick Bedell, "Reactance", Transactions of the American Institute of Electrical Engineers, vol. 11, pp. 640–648, January–December 1894.
^ ^а ^б ^в Irwin, D. (2002). Basic Engineering Circuit Analysis, page 274. New York: John Wiley & Sons, Inc.
^ Hayt, W.H., Kimmerly J.E. (2007). Engineering Circuit Analysis, 7th ed., McGraw-Hill, p. 388
^ Glisson, T.H. (2011). Introduction to Circuit Analysis and Design, Springer, p. 408

Literatura

Oliver Heaviside, The Electrician, p. 212, 23rd July 1886 reprinted as Electrical Papers, p64, AMS Bookstore. ISBN 978-0-8218-3465-7.
Kennelly, Arthur. Impedance (IEEE, 1893)
Shamieh C. and McComb G., Electronics for Dummies, John Wiley & Sons, 2011.
Meade R., Foundations of Electronics, Cengage Learning, 2002.
Young, Hugh D.; Roger A. Freedman; A. Lewis Ford (2004) [1949]. Sears and Zemansky's University Physics (11 изд.). San Francisco: Addison Wesley. ISBN 0-8053-9179-7.
William D. Greason (1992). Electrostatic discharge in electronics. Research Studies Press. ISBN 978-0-86380-136-5. Приступљено 4. 12. 2011.
Tipler, Paul; Mosca, Gene (2004). Physics for Scientists and Engineers (5th изд.). Macmillan. стр. 752. ISBN 978-0-7167-0810-0.
Massarini, A.; Kazimierczuk, M.K. (1997). „Self capacitance of inductors”. IEEE Transactions on Power Electronics. 12 (4): 671—676. Bibcode:1997ITPE...12..671M. CiteSeerX 10.1.1.205.7356  . doi:10.1109/63.602562: example of the use of the term 'self capacitance'.
Jackson, John David (1999). Classical Electrodynamic (3rd изд.). John Wiley & Sons. стр. 43. ISBN 978-0-471-30932-1.
Maxwell, James (1873). „3”. A treatise on electricity and magnetism. 1. Clarendon Press. p. 88ff.
Fundamentals of Electronics. Volume 1b — Basic Electricity — Alternating Current. Bureau of Naval Personnel. 1965.
Jackson, J. D. (1975). Classical Electrodynamics. Wiley.
Binns; Lawrenson (1973). Analysis and computation of electric and magnetic field problems. Pergamon Press. ISBN 978-0-08-016638-4.
Maxwell, J. C. (1873). A Treatise on Electricity and Magnetism. Dover. p. 266ff. ISBN 978-0-486-60637-8.
Rawlins, A. D. (1985). „Note on the Capacitance of Two Closely Separated Spheres”. IMA Journal of Applied Mathematics. 34 (1): 119—120. doi:10.1093/imamat/34.1.119.
Jackson, J. D. (1975). Classical Electrodynamics. Wiley. стр. 128, problem 3.3.
Maxwell, J. C. (1878). „On the electrical capacity of a long narrow cylinder and of a disk of sensible thickness”. Proc. London Math. Soc. IX: 94—101. doi:10.1112/plms/s1-9.1.94.
Vainshtein, L. A. (1962). „Static boundary problems for a hollow cylinder of finite length. III Approximate formulas”. Zh. Tekh. Fiz. 32: 1165—1173.
Jackson, J. D. (2000). „Charge density on thin straight wire, revisited”. Am. J. Phys. 68 (9): 789—799. Bibcode:2000AmJPh..68..789J. doi:10.1119/1.1302908.
Raphael Tsu (2011). Superlattice to Nanoelectronics. Elsevier. стр. 312—315. ISBN 978-0-08-096813-1.
T. LaFave Jr. (2011). „Discrete charge dielectric model of electrostatic energy”. J. Electrostatics. 69 (6): 414—418. arXiv:1203.3798  . doi:10.1016/j.elstat.2011.06.006.
G. J. Iafrate; K. Hess; J. B. Krieger; M. Macucci (1995). „Capacitive nature of atomic-sized structures”. Phys. Rev. B. 52 (15): 10737—10739. Bibcode:1995PhRvB..5210737I. doi:10.1103/physrevb.52.10737.