Отворите главни мени
Kvadratna funkcija sa korenima x = 1 i x = 4

U elementarnoj algebri, kvadratna formula je rešenje kvadratne jednačine. Postoje jos načina rešavanja kvadratne jednačine umesto korišćenja kvadratne jednačine poput: faktorizacije,dopune do potpunog kvadrata,grafikom funkcije.Korisćenje kvadratne formule je uglavnom najpogodniji način.

Generalna kvadratna formula je:

Ovde x predstavlja nepoznatu, dok su a ,b i c konstante gde a nije jednaka 0.Može se proveriti da li kvadratna formula zadovoljava kvadratnu jednačinu postavljanjem prethodnog u novo.Sa ovom parametrizacijom iznad, kvadratna formula je:

Svako rešenje dobijeno od kvadratne formule se naziva korenom kvadratne jednačine.Geometrijski, ovi koreni predstavljaju x vrednosti gde bilo koja parabola,eksplicitno data kao y = ax2 + bx + c, seče x-osu. Pored toga što je formula koja će dati nule bilo koje parabole,kvadratna formula će dati i osu simetriju parabole i može se koristiti da se odmah utvrdi koliko realnih nula ima kvadratna jednačina.

Izvođenje formuleУреди

Koristeći metodu "Dopuna do potpunog kvadrata"Уреди

Kvadratna formula se može izvesti sa jednostavnom primenom "dopune do potpunog kvadrata".[1][2][3][4] Dva izvođenja su sledeća :

Metoda 1Уреди

Podeliti kvadratnu jednačinu sa  , što je dozvoljeno jer   nije nula.

 

Oduzeti   od obe strane jednačine, time dobijamo :

 

Kvadratna jednačina je sada u formi gde možemo primeniti dopunu do potpunog kvadrata. Dakle, dodajte konstantu na obe strane jednačine tako da leva strana postane potpun kvadrat.

 

što proizvodi :

 

Prema tome, nakon preraspodele termina sa desne strane da bi imali zajednički imenilac, dobijamo sledeće :

 

Kvadrat se time upotpunio. Korenovanjem obe strane dobijamo sledeću jednačinu :

 

Izolovanjem broja x dobijamo kvadratnu formulu :

 

Simbol plus-minus "±" označava da su

 

oboje rešenja kvadratne jednačine.[5] Postoje mnoge varijacije ovog izvođenja sa malim razlikama, u većini slučajeva je to korišćenjem broja  .

Kvadratna formula se može sapisati i kao :

 

što se može pojednostaviti na :

 

Ova verzija formule je korisna kada se kompleksni koreni dozvoljavaju. Izraz van korena će biti realan deo, dok će izraz sa kvadratnim korenom biti imaginaran deo. Izraz unutar korena je diskiminanta.

Neki izvori, pogotovo stariji, koriste alternativne parametrizacije kvadratne jednačine poput ax2 − 2bx + c = 0[6] ili ax2 + 2bx + c = 0[7] , gde  ima vrednost polovine češće. Ovo dovodi do malo različitijih formi rešenja, ali su inače jednaki.

Manje poznata kvadratna formula, korišćena u Mulerovoj metodi i koja se može pronaći u Vietovim formulama, daje iste korene preko jednačine :

 

Metoda 2Уреди

Veliki deo knjiga o algebri proteklih decenija uče o dopuni do potpunog kvadrata koristeći prethodnu formulu : (1) Podeli obe strane sa   , (2) Preurediti , (3) Zatim dodaj   na obe strane da bi upotpunili kvadrat.

Kao što je istakao Larri Hoehn 1975. godine, upotpunjavanje kvadrata može se postići različitim redosledom koji vodi do jednostavnijeg niza težih termina: (1) Pomnoži obe strane sa  , (2) Preurediti, (3) Zatim dodaj  .[8]

Drugim rečima, kvadratna formula se može ovako izvesti :

 

Ovo zapravo predstavlja veoma staro izvođenje kvadratne formule i bila je poznata Hindusima 1025. godine.[9] U poređenju sa standardnim izvođenjem, ovo izvođenje je kraće, uključuje manje kalkulacija sa apsolutnim koeficijentima, izbegava razlomke do poslednjeg koraka, ima lakše izraze, i uključuje lakšu matematiku. Kao što Hoen tvrdi, " lakše je dodati koren od  nego dodati koren polovine koeficijenta  ".[8]

Veliki broj alternativnih izvođenja kvadratne formule se nalaze u literaturi. Ova izvođenja možda su jednostavnija od standardnog upotpunjavanja kvadrata i predstavljaju interesantne koristi drugih algebarskih tehnika ili možda nude uvid u druge oblasti matematike.

Korišćenjem zameneУреди

Jedna tehnika je korišćenje zamene.[10] U ovoj tehnici mi zamenjujemo  u kvadratnu formulu da dobijemo :

 

Proširavanjem i vađenjem   ispred zagrade dobijamo :

 

Još nismo uveli drugi uslov na  i  , zato sada biramo  da bi središnji izraz nestao. To bi bilo   ili  . Oduzimanjem konstantan izraz sa obe strane jednačine ( da bi je pomerili na desnu stranu jednačine ) a zatim podeliti sa  nam daje :

 

Zamenjivanje sa  daje :

 

Tako da je :

 

Zamenom   nam daje kvadratnu formulu :

 

Koristeći algebarske identiteteУреди

Ovu metodu su koristili razni matematičari kroz istoriju:[11]

Neka koreni standardne kvadratne jednačine budu r1 i r2. Izvođenje počinje ponovnim pozivanjem identiteta:

 

Korenovanjem obe strane dobijamo:

 

Pošto je koeficijent a ≠ 0, možemo podeliti standardnu jednačinu sa a da bi dobili kvadratni polinom sa istim korenima. Naime,

 

Iz ovoga se vidi da je zbir korena standardne kvadratne jednačine dobijen preko −b/a, a proizvod preko c/a. Stoga se identitet može prepisati kao:

 

Sada,

 

Pošto je r2 = −r1b/a, ako uzmemo da je

 

onda dobijemo da je

 

a ako uzmemo da je

 

onda dobijemo da je

 

Kombinovanjem ovih rezultata koristeći skraćenicu ±, dobijemo da su rešenja kvadratne jednačine data pomoću:

 

Koristeći Lagranžove resolventeУреди

Alternativni način izvođenja kvadratnih formula je preko Lagranžovih resolvenata,[12] koji su rani deo Galove teorije.[13] Ova metoda može biti generalizovana radi dobijanja korena kubnih polinoma i funkcija četvrtog stepena i vodi do Galove teorije, koja omogućava razumevanje rešenja algebarske jednačine bilo kog stepena u pogledu grupa simetrija njihovih korena, Galove grupe. Ovaj pristup više se fokusira na korene nego na preuređivanje originalne jednačine. Dat je kvadratni polinom

 

pretpostavi da je

 

Proširenje se poništava

 

gde su p = −(α + β) i q = αβ.

Pošto redosled množenja nije bitan, α i β se mogu menjati, a da se vrednosti p i q ne menjaju: može se reći da su p i q simetrični polinomi u α i β. Zapravo, oni su osnovni simetrični polinomi - bilo koji simetrični polinom u α i β može biti izražen preko α+β i αβ. Pristup Galove teorije analiziranju i rešavanju polinoma je: uzimajući u obzir koeficijente polinoma, koje su simetrične funkicije u korenima, može li se "slomiti simetrija" i obnoviti koren? Tako je rešavanje polinoma stepena n povezano sa načinima preuređivanja ("permutovanja") n termina, koji se naziva simetrična grupa na n slova, i označava Sn. Za kvadratni polinom, jedini način da se preurede dva termina je da se oni zamene ("transponuju"), i tako rešavanje kvadratnog polinoma je jednostavno.

Da bi našao korene α i β, uzmi u obzir njihov zbir i razliku:

 

To se naziva Lagranžovim resolventima polinoma; primetite da jedna od ovih zavisi od reda korena, što je ključna tačka. Koreni iz resolvenata može se oporaviti invertovanjem gornjih jednačina:

 

Time, rešavanje resolventima daje originalne korene.

Sad je r1 = α + β simetrična funkcija u α i β, te može biti izražena preko p i q, i zapravo r1 = −p kao što je gore navedeno. Ali r2 = αβ nije simetrično jer zamenjivanjem α i β poništava se r2 = βα . Pošto r2 nije simetrično, ne može biti predstavljeno preko koeficijenata p i q, jer su oni simetrični u korenu i time je i svaki polinomski izraz koji uključuje njih. Menjanje reda korena menja samo r2 za -1 i time je r22 = (αβ)2 simetrična u korenu i može se izraziti preko p i q. Koristeći jednačinu

 

poništava

 

i time je

 

Ako se uzme pozitivni koren,lomi se simetrija i dobija se:

 

i time je

 

Što znači da su koreni

 

što je kvadratna formula. Menjanjem p = b/a, q = c/a poništava se uobičajena forma.Resolventi se mogu prepoznati kao

r1/2 = p/2 = b/2a koja je verteks, i r22 = p2 − 4q koja je diskriminanta

.Sličan, ali složeniji metod funkcioniše za kubne jednačine, gde jedna ima tri rezolvente i kvadratnu jednačinu ("rešavajući polinom") koja se odnosi na r2 i r3, što se može rešiti kvadratnom jednačinom, a slično za kvartičku jednačinu (stepen 4) ), čije je rešavanje polinoma kubno, što može biti rešeno.[12] Ista metoda za kvintičku jednačinu daje polinom stepena 24, što ne pojednostavljuje problem, i, u stvari, rešenja kvintičkih jednačina uopšte se ne mogu izraziti koristeći samo korene.

Preko ekstremaУреди

Poznavanje vrednosti x u funkcionalnoj ekstremnoj tački omogućava da se reši samo za povećanje (ili smanjenje) potrebno u x da se reši kvadratna jednačina. Ova metoda prvo koristi diferencijaciju da bi našla xext tj. x u ekstremnoj tački.Zatim rešavamo za vrednost x, koja osigurava da jef(xext + q) = 0. Iako to možda nije najintuitivniji metod, osigurava da je matematika jasna.

 

Postavljanje gornjeg diferencijala na nulu daje nam ekstreme kvadratne funkcije

 

Definišemo q kao:

 

Ovde je x0 vrednost x koja rešava kvadratnu jednačinu. Zbir xext i q je ubačena u kvadratnu jednačinu

 

Vrednost xext se zatim dodaje na obe strane jednačine

 

Ovo daje kvadratnu formulu. Na ovaj način se izbegava tehnika kompletiranja kvadrata i mnogo složenija matematika nije potrebna. Imajte na umu da je ovo rešenje veoma slično rešavanju koje dobija formulu supstitucijom.

Podelom na realne i imaginarne deloveУреди

Uzmimo da je jednačina

 

 
Vizuelizacija kompleksnog korena y = ax2 + bx + c parabola je rotirana za 180 stepeni oko svog vertexa (narandzasto). Njegovi x-preseci su rotirani za 90 stepeni oko srednje tačke i koordinantni sistem se tumači kao kompleksna linija.(zeleno)[14]

gde je  kompleksan broj i gde su a,b i c su pravi brojevi. Onda

 

Ovo se deli na dve jednačine. Realni deo:

 

i imaginarni deo:

 

Pretpostaviti da je  te podeliti drugu jednačinu sa y:

 

i rešiti za x:

 

Zameniti ovu vrednost x u prvoj jednačini i rešiti za y:

 

Pošto je  , onda

 

Iako y ne bi trebalo da bude 0, poslednja formula se može koristiti za bilo koji koren originalne jednačine, pretpostavljajući da je y=0 nije od velike pomoći.

Istorijski razvojУреди

Najranije metode za rešavanje kvadratnih jednačina bile su geometrijske. Vavilonske klinaste tablice sadrže probleme koji se mogu svesti na rešavanje kvadratnih jednačina.[15] Egipatski Berlin Papirus, koji datira još iz Srednjeg kraljevstva (2050. pne. Do 1650. pne), sadrži rešenje za dvosmernu kvadratnu jednačinu.[16]

Elemenata uticajne matematičke studije.[17] Pravila za kvadratne jednačine pojavljuju se u kineskih Devet poglavlja o matematičkoj umetnosti[18][19] oko 200.

godine pre nove ere. U svom radu Arithmetica, grčki matematičar Diofant (otprilike 250 pne) rešavao je kvadratne jednačine metodom koja je više prepoznatljiva algebarska od geometrijske algebre Euklida.[17] Njegovo rešenje daje samo jedan koren, čak i kada su oba korena pozitivna.[20]

Indijski matematičar Brahmagupta (597–668 AD) eksplicitno je opisao kvadratnu formulu u svojoj raspravi Brahmasphutasiddhanta objavljenu 628. godine,[21] ali napisanu rečima umjesto simbolima.[22] Njegovo rešenje kvadratne jednačine ax2 + bx = c bilo je sledeće: "Na apsolutni broj pomnožen četiri puta [koeficijentom] kvadrata, dodajte kvadrat [koeficijenta] srednjeg člana, kvadratni koren istog, bez [koeficijenta] srednjeg člana, podeljen dvostrukim [koeficijentom] kvadrata je vrednost.[23] Ovo je ekvivalentno:

 

Perzijski matematičar iz 9. veka Mumammad ibn Musa al-Khvarizmi rešio je kvadratne jednačine algebarski.[24] Kvadratnu formulu koja pokriva sve slučajeve prvi put je dobio Simon Stevin 1594. godine[25]

Godine 1637. Rene Dekart je objavio La Geometrie koji sadrži posebne slučajeve kvadratne formule u formi koju danas poznajemo.Prvo pojavljivanje opšteg rešenja u modernoj matematičkoj literaturi pojavilo se u izdanju Henrija Hitona[26] iz 1896. godine.


Značajne koristiУреди

Geometrijski značajУреди

Što se tiče analitičke geometrije, parabola je kriva čije su (x,y)-koordinate opisane polinomom drugog stepena,to jest, bilo koja jednačina oblika:

 
Grafik y = ax2 + bx + c, gde su a i diskriminanta b2 − 4ac pozitivni.

 

gde p predstavlja polinom drugog stepena i a0, a1, i a2 ≠ 0 konstantne koeficijente čiji indeksi odgovaraju njihovom odgovarajućem stepenu.Geometrijska interpretacija kvadratne formule je ta da definiše tačke na x-osi gde će parabola seći osu.Dodatno, ako gledamo kvadratnu formulu iz dva dela:

 

osna simetrija se pojavljuje kao linija x = −b/2a.Drugi deo,√b2 − 4ac, pokazuje rastojanje između nula i osne simetrije, gde plus znak predstavlja desno rastojanje, dok znak minus predstavlja levo rastojanje.

Ako bi se rastojanje ovog dela smanjilo na 0, vrednost osne simetrije bi bila x vrednost jedine nule,to jest,postoji samo jedno moguće rešenje kvadratne jednačine.Algebarski, to znači da b2 − 4ac = 0, ili jednostavno b2 − 4ac = 0 (gde je leva strana poznata kao diskriminanta).Ovo je jedan od tri slučaja, gde diskriminanta označava koliko će nula sadržati parabola.Ako je diskriminanta pozitivna,distanca neće biti nula i postojaće 2 rešenja.Međutim, postoji slučaj gde je diskriminanta manja od nule i ovo ukazuje na to da će rastojanje biti imaginarno ili proizvod kompleksne jedinice i, gde je i = −1 - i nule parabole će biti kompleksni brojevi. Kompleksni koren će biti konjugovano kompleksan, gde će realni deo kompleksnog korena biti vrednost osne simetrije. Neće biti realnih vrednosti x gde parabola seče x-osu.

Dimenziona analizaУреди

Ako konstante a,b i/ilic imaju jedinice, onda jedinice od x moraju biti jednaki jedinicama od b/a, jer je potrebno da se ax2 i bx slažu po jedinicama.Štaviše,po istoj logici, jedinica od c mora biti jednaka jedinicama od b2/a,sto može biti provereno bez rešavanja za x.Ovo je dobar način za proveravanje da li je kvadratni izraz fizičkih veličina postavljen korektno, pre rešavanja.

Vidi jošУреди

ReferenceУреди

  1. ^ Rich, Barnett; Schmidt, Philip (2004), Schaum's Outline of Theory and Problems of Elementary Algebra, The McGraw–Hill Companies, ISBN 0-07-141083-X , Chapter 13 §4.4, p. 291
  2. ^ Li, Xuhui. An Investigation of Secondary School Algebra Teachers' Mathematical Knowledge for Teaching Algebraic Equation Solving, p. 56 (ProQuest, 2007): "The quadratic formula is the most general method for solving quadratic equations and is derived from another general method: completing the square."
  3. ^ Rockswold, Gary. College algebra and trigonometry and precalculus, p. 178 (Addison Wesley, 2002).
  4. ^ Beckenbach, Edwin et al. Modern college algebra and trigonometry, p. 81 (Wadsworth Pub. Co., 1986).
  5. ^ Sterling, Mary Jane (2010), Algebra I For Dummies, Wiley Publishing, стр. 219, ISBN 978-0-470-55964-2 
  6. ^ Kahan, Willian (20. 11. 2004), On the Cost of Floating-Point Computation Without Extra-Precise Arithmetic (PDF), Приступљено 2012-12-25 
  7. ^ „Quadratic Formula”, Proof Wiki, Приступљено 2016-10-08 
  8. 8,0 8,1 Hoehn, Larry (1975). „A More Elegant Method of Deriving the Quadratic Formula”. The Mathematics Teacher. 68 (5): 442–443. 
  9. ^ Smith, David E. (1958). History of Mathematics, Vol. II. Dover Publications. стр. 446. ISBN 0486204308. 
  10. ^ Joseph J. Rotman. (2010). Advanced modern algebra (Vol. 114). American Mathematical Soc. Section 1.1
  11. ^ Debnath, L. (2009). The legacy of Leonhard Euler–a tricentennial tribute. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 40(3), 353–388. Section 3.6
  12. 12,0 12,1 Clark, A. (1984). Elements of abstract algebra. Courier Corporation. p. 146.
  13. ^ Prasolov, Viktor; Solovyev, Yuri (1997), Elliptic functions and elliptic integrals, AMS Bookstore, ISBN 978-0-8218-0587-9 , §6.2, p. 134
  14. ^ „Complex Roots Made Visible – Math Fun Facts”. Приступљено 1 October 2016.  Проверите вредност парамет(а)ра за датум: |access-date= (помоћ)
  15. ^ Irving, Ron (2013). Beyond the Quadratic Formula. MAA. стр. 34. ISBN 978-0-88385-783-0. 
  16. ^ The Cambridge Ancient History Part 2 Early History of the Middle East. Cambridge University Press. 1971. стр. 530. ISBN 978-0-521-07791-0. 
  17. 17,0 17,1 Irving, Ron (2013). Beyond the Quadratic Formula. MAA. стр. 39. ISBN 978-0-88385-783-0. 
  18. ^ Aitken, Wayne. „A Chinese Classic: The Nine Chapters” (PDF). Mathematics Department, California State University. Приступљено 28. 4. 2013. 
  19. ^ Smith, David Eugene (1958). History of Mathematics. Courier Dover Publications. стр. 380. ISBN 978-0-486-20430-7. 
  20. ^ Smith, David Eugene (1958). History of Mathematics. Courier Dover Publications. стр. 134. ISBN 0-486-20429-4. 
  21. ^ Bradley, Michael. The Birth of Mathematics: Ancient Times to 1300, p. 86 (Infobase Publishing 2006).
  22. ^ Mackenzie, Dana. The Universe in Zero Words: The Story of Mathematics as Told through Equations, p. 61 (Princeton University Press, 2012).
  23. ^ Stillwell, John (2004). Mathematics and Its History (2nd ed.). Springer. стр. 87. ISBN 0-387-95336-1. 
  24. ^ Irving, Ron (2013). Beyond the Quadratic Formula. MAA. стр. 42. ISBN 978-0-88385-783-0. 
  25. ^ Struik, D. J.; Stevin, Simon (1958), The Principal Works of Simon Stevin, Mathematics (PDF), II—B, C. V. Swets & Zeitlinger, стр. 470 
  26. ^ Heaton, H. (1896) A Method of Solving Quadratic Equations, American Mathematical Monthly 3(10), 236–237.