Квадратни корен

У математици квадратни корен је унарна математичка операција инверзна квадрирању. Ознака ове операције над неким бројем a је , и чита се као „корен од a”.[1] Квадратни корен је броја a је број y тако да y2 = a; другим речима, број y чији је квадрат a (резултат множења броја са самим собом, или yy).[2] На пример, 4 и −4 су квадратни корени броја 16, јер је 42 = (−4)2 = 16. Потпуно исправно би било писати , и изговарати „квадратни корен од a“, међутим то се ређе ради јер се највећи број случајева помена корена односи на квадратни корен, па се усталио краћи изговор и једноставнији запис.[3][4]

Математички израз квадратног корена од x.
На пример, 25 = 5, пошто је 25 = 5 ⋅ 5, или 52 (5 на квадрат).

Сваки не-негативни реални број a има јединствен не-негативни квадратни корен, који се назива главни квадратни корен, који се означава са a, при чему се √ назива знаком корена или радиксом.[5][6] На пример, главни квадратни корен од 9 је 3, што се означава са 9 = 3, јер је 32 = 3 · 3 = 9 и 3 је не-негативно. Члан (или број) чији се квадратни корен разматра се назива радиканд. Радиканд је број или израз испод коренског знака, у овом примеру 9.

Сваки позитивни број a има два квадратна корена: a, који је позитиван, и −a, који је негативан. Заједно, ова два корена се означавају са ±a (погледајте ± стенографски знак). Мада је главни квадратни корен позитивног броја само један од његова два јединствена корена, ознака „квадратног корена” се обично користи за означавање главног квадратног корена. За позитивно a, главни квадратни корен се може написати у експонентној нотацији, као a1/2.[7]

Квадратни корени негативних бројева се могу разматрати у оквиру комплексних бројева. Генералније, квадратни корени се могу разматрати у било ком контексту у којем је дефинисан појам „квадрирања” неких математичких објеката (укључујући алгебру матрица, ендоморфизам прстенова, итд.)

ДефиницијаУреди

Ова операција се дефинише следећом релацијом:

Квадратни корен броја x је ненегативан број који помножен сам собом даје x.

На пример,   пошто је  .

Пример показује како се квадратни корен појављује приликом решењавања квадратне једначине  .

Уопштено квадратна једначина има облик   и за њено решавање је неопходна примена квадратног корена.

ОсобинеУреди

 
График функције f(x) = √x, чини половина параболе са усправном директрисом.

Ова функција је диферецијабилна и интеграбилна на целом домену.

Квадратни корен је функција   која пресликава скуп ненегативних реалних бројева   на самог себе.

Квадратни корен квадрата неког реалног броја није тај број сам, већ његова апсолутна вредност:

 

Због ове своје особине, квадратни корен није права инверзна функција квадратној функцији. Квадратна функција и функција квадратног корена су инерзне на скупу  .

За све ненегативне реалне бројеве x и y важи

 

и

 

Функција квадратног корена је непрекидна за свако ненегативно x, и диференцијабилна за свако позитивно x. Ако f означава функцију квадратног корена, чији дериват је дат са:

 

Тејлорова серија од 1 + x око x = 0 конвергира за |x| ≤ 1, и дата је са

 

Квадратни корен ненегативног броја користи се у дефиницији Еуклидове нормерастојања), као и у генерализацијама као што су Хилбертови простори. Њиме се дефинише важан концепт стандардне девијације који се користи у теорији вероватноће и статистици. Он има главну употребу у формули за корене квадратне једначине; квадратна поља и прстенови квадратних целих бројева, који се заснивају на квадратним коренима, важни су у алгебри и користе се у геометрији. Квадратни корени се често појављују у математичким формулама другде, као и у многим физичким законима.

Квадратни корен је могуће дефинисати и на пољу комплексних бројева, као и на матрицама.

Квадратни корени позитивних целих бројеваУреди

Позитиван број има два квадратна корена, један позитиван и један негативан, који су међусобно супротни. Када се говори о квадратном корену позитивног целог броја, обично се мисли на позитивни квадратни корен.

Квадратни корени целог броја су алгебарски цели бројеви - тачније квадратни цели бројеви.

Квадратни корен позитивног целог броја је умножак корена његових главних фактора, јер је квадратни корен производа производ квадратних корена фактора. Будући да је p2k = pk, неопходни су само корени оних простих бројева који имају непарну моћ у факторизацији. Тачније, квадратни корен просте факторизације је

 

Децималне експанзијеУреди

Квадратни корени савршених квадрата (нпр. 0, 1, 4, 9, 16) су цели бројеви. У свим осталим случајевима, квадратни корени позитивних целих бројева су ирационални бројеви, и стога у децималним приказима имају непонављајуће децимале. Децималне апроксимације квадратних корена првих неколико природних бројева дате су у следећој табели.

n n, скраћено на 50 децимала
0 0
1 1
2 1.41421356237309504880168872420969807856967187537694
3 1.73205080756887729352744634150587236694280525381038
4 2
5 2.23606797749978969640917366873127623544061835961152
6 2.44948974278317809819728407470589139196594748065667
7 2.64575131106459059050161575363926042571025918308245
8 2.82842712474619009760337744841939615713934375075389
9 3
10 3.16227766016837933199889354443271853371955513932521

РачунањеУреди

Служимо се биномом на квадрат: 

На пример: , a = 1, b = 1.

Поступак добијања ових цифара је следећи:

Напишемо  , направили смо групе по две цифре, почевши од јединица, а завршавамо са цифрама највеће тежине.

Сада тражимо цифру чији квадрат цео број пута стаје у групи крајње лев, у нашем случају то је 1 и видимо да само цифра 1 задовољава тај услов, дакле a = 1, Сада од 121 одузимамо 100 да би нашли другу цифру: ;  , зато одбацујем јединице у броју 21 и гледамо у броју 2 колико се пута садржи двострука вредност броја a, тј. 2 = 2b, b = 1

Сада је :   =>   ;  ;  

Пробамо:  и видимо да за b = 5 имамо  

Пробајмо  , прва цифра је а = 1,  

  ;   , пробамо са b = 5, јјер је  , али  , па за b узимамо 4, b = 4.

Сада узимамо остатак и додајемо следеће две цифре са леве стране.

 =  ;  , што је испуњно само за b = 1, 28 < 40. Добили смо до сада:   и у даљем поступку добивене цифре третирамо као а, тј. сада је тренутно а = 141.

Настављамо поступак, 400 - 281 =  ;  

пробамо  , b = 4 задовољава јер је 1138 < 1190 и коначно наш корен постаје. , 11900 -11296 =  ;  , испуњено за b = 2 и коначно   и поступак се наставља.....

ОпширнијеУреди

Квадратни корен природног броја је често ирационалан број тј. број кога није могуће записати у облику разломка. На пример   се не може записати као m/n, где су n и m природни бројеви. Међутим, толико тачно износи дужина дијагонале квадрата чија је дужина странице једнака 1.

Откриће чињенице да су   и број 1 несразмерни се приписује Хипасу, Питагорином ученику. За питагорејце је ова чињеница била толико шокантна да се термин ирационалан, чији првобитни превод значи несразмеран, који се не може приказати у облику количника (лат. ratio) и данас користи за нешто неразумљиво, страно промишљању[8].

Ознака, симбол, за квадратни корен ( ) је први пут употребљена у 16. веку. Скоро је сигурно да је произашло из прилагођеног исписа малог латиничног слова r, што је скраћеница од лат. radix што значи корен.

Види јошУреди

РеференцеУреди

  1. ^ Gel'fand, p. 120 Архивирано 2016-09-02 на сајту Wayback Machine
  2. ^ Gel'fand, p. 120 Архивирано 2016-09-02 на сајту Wayback Machine
  3. ^ „Compendium of Mathematical Symbols”. Math Vault (на језику: енглески). 2020-03-01. Приступљено 2020-08-28. 
  4. ^ „Squares and Square Roots”. www.mathsisfun.com. Приступљено 2020-08-28. 
  5. ^ Zill, Dennis G.; Shanahan, Patrick (2008). A First Course in Complex Analysis With Applications (2nd изд.). Jones & Bartlett Learning. стр. 78. ISBN 0-7637-5772-1. Архивирано из оригинала на датум 2016-09-01.  Extract of page 78 Архивирано 2016-09-01 на сајту Wayback Machine
  6. ^ Weisstein, Eric W. „Square Root”. mathworld.wolfram.com (на језику: енглески). Приступљено 2020-08-28. 
  7. ^ Zill, Dennis G.; Shanahan, Patrick (2008). A First Course in Complex Analysis With Applications (2nd изд.). Jones & Bartlett Learning. стр. 78. ISBN 978-0-7637-5772-4. Архивирано из оригинала на датум 1. 9. 2016.  Extract of page 78 Архивирано 2016-09-01 на сајту Wayback Machine
  8. ^ Милан Божић, Преглед историје и филозофије математике. Београд: 2002. ISBN 978-86-17-10124-2.

ЛитератураУреди

Спољашње везеУреди