Алеф број

У математичкој теорији скупова, алеф бројеви представљају бројеве који се користе да означе кардиналност (број чланова) бесконачних скупова. Њихова ознака је хебрејско слово алеф ( $\aleph$ ).

Алеф нула, најмањи бесконачни кардинални број

Кардиналност скупа природних бројева је $\aleph _{0}$ (алеф-нула); следећа већа кардиналност је алеф-један $\aleph _{1}$ , па $\aleph _{2}$ и тако даље. На овај начин, могуће је дефинисати кардинални број $\aleph _{\alpha }$ за сваки ординални број α.

Овај концепт је увео Георг Кантор, који је увео појам кардиналности, и дошао до закључка да бесконачни скупови могу да имају различите кардиналности.

Алеф бројеви се разликују од бесконачности (∞) која се често среће у алгебри или математичкој анализи. Алеф бројеви означавају величину скупова; бесконачност са друге стране, се обично дефинише као крајња граница праве реалних бројева. Док неки алеф бројеви могу да буду већи од других, ∞ је једноставно ∞.

Алеф-нула уреди

Алеф-нула ( $\aleph _{0}$ ) је по дефиницији кардиналност скупа свих природних бројева (претпостављајући, као и обично, аксиому избора). Алеф-нула је најмања од свих бесконачних кардиналности. Скуп има кардиналност $\aleph _{0}$ ако и само ако је пребројиво бесконачан, што је случај ако и само ако се може направити директна бијекција, или један-један пресликавање са скупом природних бројева. Међу таквим скуповима су скупови свих простих бројева, свих целих бројева или скуп свих рационалних бројева.

Алеф-један уреди

$\aleph _{1}$ је кардиналност скупа свих пребројивих ординалних бројева, званог ω₁ или Ω. Треба имати у виду да је ω₁ непребројив скуп. Ова теорија имплицира (и у самој Зермело-Френкел теорији скупова (ЗФ), без аксиоме избора) да не постоји кардиналан број између $\aleph _{0}$ и $\aleph _{1}$ . Ако се користи аксиома избора, може се даље доказати да је класа кардиналних бројева потпуно уређена, и да је стога $\aleph _{1}$ други најмањи бесконачан кардиналан број. Коришћењем аксиоме избора се може показати једно од најкориснијих својстава скупа Ω (стандардан пример скупа величине $\aleph _{1}$ ): сваки пребројиви подскуп скупа Ω има горњу границу (у односу на стандардну добру уређеност ординала) у Ω (доказ је лак: пребројива унија пребројивих скупова је пребројива; ово је једна од најчешћих примена аксиоме избора). Ова чињеница је аналогна ситуацији у $\aleph _{0}$ : сваки коначан скуп природних бројева (подскуп од ω) има максимум, који је таође природан број (има горњу границу у ω) — коначне уније коначних скупова су коначне.

Ω је у ствари користан концепт, иако звучи помало егзотично. Пример примене је затварање у односу на пребројиве операције; на пример, покушавање да се експлицитно опише σ-алгебра генерисана произвољном збирком подскупова. Ово је теже од већине експлицитних описа „генерисања“ у алгебри (на пример векторских простора, група, итд.) јер у тим случајевима морамо да затворимо само у односу на коначне операције - суме, производе и слично. Процес укључује дефинисање, за сваки пребројиви ординал, путем трансфинитне индукције, скупа убацивањем свих могућих пребројивих унија и комплемената, и узимањем уније свега тога над целим Ω.

Хипотеза континуума уреди

Кардиналност скупа реалних бројева је $2^{\aleph _{0}}$ . Није јасно где овај број спада у хијерархији алеф-бројева. Из Зермело-Френкел теорије скупова, са аксиомом избора, да је чувена хипотеза континуума, еквивалентна идентитету

2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}.

Хипотеза континуума је независна од Зермело-Френкел теорије скупова са аксиомом избора: не може да ни да буде доказана, нити оповргнута унутар контекста тог аксиоматског система. Курт Гедел је 1940. доказао њену конзистентност са ЗФ теоријом скупова са аксиомом избора; Пол Коен је 1963. демонстрирао да је независна од ЗФ теорије скупова са аксиомом избора.

Алеф-ω уреди

Конвенционално се најмањи бесконачан ординал означава са ω, и кардиналан број $\aleph _{\omega }$ је најмања горња граница

\left\{\,\aleph _{n}:n\in \left\{\,0,1,2,\dots \,\right\}\,\right\}.

Алеф-ω је први непребројиви кардиналан број за који се унутар ЗФ теорије скупова може показати да није једнак кардиналности скупа реалних бројева; за било који позитиван цео број n можемо конзистентно да претпоставимо да $2^{\aleph _{0}}=\aleph _{n}$ , и штавише, могуће је претпоставити да је $2^{\aleph _{0}}$ произвољно велико.

Алеф-α за опште α уреди

Како бисмо дефинисали алеф-α за произвољан ординалан број α, морамо да дефинишемо операцију кардинала наследника, која произвољном кардиналном броју ρ додељује следећи већи добро уређен кардинал $\rho ^{+}$ . (Ако стоји аксиома избора, онда је ово следећи већи кардина.)

Тада можемо да дефинишемо алеф бројеве на следећи начин

\aleph _{0}=\omega

\aleph _{\alpha +1}=\aleph _{\alpha }^{+}

и за λ, бесконачан гранични ординал,

\aleph _{\lambda }=\bigcup _{\beta <\lambda }\aleph _{\beta }.

α-ти бесконачни почетни ординал се означава са $\omega _{\alpha }$ . Његова кардиналност је $\aleph _{\alpha }$ .

Фиксиране тачке за алеф уреди

За било који ординал α имамо

\alpha \leq \aleph _{\alpha }.

У многим случајевима $\aleph _{\alpha }$ је строго веће од α. На пример, за било који ординал наследник α, ово стоји. Међутим, постоје неки гранични ординали, који су фиксиране тачке алеф функције. Први такав је граница низа

\aleph _{0},\aleph _{\aleph _{0}},\aleph _{\aleph _{\aleph _{0}}},\ldots

Сваки недостижни кардинал је такође фиксирана тачка алеф функције.