U matematičkoj teoriji skupova, alef brojevi predstavljaju brojeve koji se koriste da označe kardinalnost (broj članova) beskonačnih skupova. Njihova oznaka je hebrejsko slovo alef ().

Alef nula, najmanji beskonačni kardinalni broj

Kardinalnost skupa prirodnih brojeva je (alef-nula); sledeća veća kardinalnost je alef-jedan , pa i tako dalje. Na ovaj način, moguće je definisati kardinalni broj za svaki ordinalni broj α.

Ovaj koncept je uveo Georg Kantor, koji je uveo pojam kardinalnosti, i došao do zaključka da beskonačni skupovi mogu da imaju različite kardinalnosti.

Alef brojevi se razlikuju od beskonačnosti (∞) koja se često sreće u algebri ili matematičkoj analizi. Alef brojevi označavaju veličinu skupova; beskonačnost sa druge strane, se obično definiše kao krajnja granica prave realnih brojeva. Dok neki alef brojevi mogu da budu veći od drugih, ∞ je jednostavno ∞.

Alef-nula uredi

Alef-nula ( ) je po definiciji kardinalnost skupa svih prirodnih brojeva (pretpostavljajući, kao i obično, aksiomu izbora). Alef-nula je najmanja od svih beskonačnih kardinalnosti. Skup ima kardinalnost   ako i samo ako je prebrojivo beskonačan, što je slučaj ako i samo ako se može napraviti direktna bijekcija, ili jedan-jedan preslikavanje sa skupom prirodnih brojeva. Među takvim skupovima su skupovi svih prostih brojeva, svih celih brojeva ili skup svih racionalnih brojeva.

Alef-jedan uredi

  je kardinalnost skupa svih prebrojivih ordinalnih brojeva, zvanog ω1 ili Ω. Treba imati u vidu da je ω1 neprebrojiv skup. Ova teorija implicira (i u samoj Zermelo-Frenkel teoriji skupova (ZF), bez aksiome izbora) da ne postoji kardinalan broj između   i  . Ako se koristi aksioma izbora, može se dalje dokazati da je klasa kardinalnih brojeva potpuno uređena, i da je stoga  drugi najmanji beskonačan kardinalan broj. Korišćenjem aksiome izbora se može pokazati jedno od najkorisnijih svojstava skupa Ω (standardan primer skupa veličine  ): svaki prebrojivi podskup skupa Ω ima gornju granicu (u odnosu na standardnu dobru uređenost ordinala) u Ω (dokaz je lak: prebrojiva unija prebrojivih skupova je prebrojiva; ovo je jedna od najčešćih primena aksiome izbora). Ova činjenica je analogna situaciji u  : svaki konačan skup prirodnih brojeva (podskup od ω) ima maksimum, koji je taođe prirodan broj (ima gornju granicu u ω) — konačne unije konačnih skupova su konačne.

Ω je u stvari koristan koncept, iako zvuči pomalo egzotično. Primer primene je zatvaranje u odnosu na prebrojive operacije; na primer, pokušavanje da se eksplicitno opiše σ-algebra generisana proizvoljnom zbirkom podskupova. Ovo je teže od većine eksplicitnih opisa „generisanja“ u algebri (na primer vektorskih prostora, grupa, itd.) jer u tim slučajevima moramo da zatvorimo samo u odnosu na konačne operacije - sume, proizvode i slično. Proces uključuje definisanje, za svaki prebrojivi ordinal, putem transfinitne indukcije, skupa ubacivanjem svih mogućih prebrojivih unija i komplemenata, i uzimanjem unije svega toga nad celim Ω.

Hipoteza kontinuuma uredi

Kardinalnost skupa realnih brojeva je  . Nije jasno gde ovaj broj spada u hijerarhiji alef-brojeva. Iz Zermelo-Frenkel teorije skupova, sa aksiomom izbora, da je čuvena hipoteza kontinuuma, ekvivalentna identitetu

 

Hipoteza kontinuuma je nezavisna od Zermelo-Frenkel teorije skupova sa aksiomom izbora: ne može da ni da bude dokazana, niti opovrgnuta unutar konteksta tog aksiomatskog sistema. Kurt Gedel je 1940. dokazao njenu konzistentnost sa ZF teorijom skupova sa aksiomom izbora; Pol Koen je 1963. demonstrirao da je nezavisna od ZF teorije skupova sa aksiomom izbora.

Alef-ω uredi

Konvencionalno se najmanji beskonačan ordinal označava sa ω, i kardinalan broj   je najmanja gornja granica

 

Alef-ω je prvi neprebrojivi kardinalan broj za koji se unutar ZF teorije skupova može pokazati da nije jednak kardinalnosti skupa realnih brojeva; za bilo koji pozitivan ceo broj n možemo konzistentno da pretpostavimo da  , i štaviše, moguće je pretpostaviti da je   proizvoljno veliko.

Alef-α za opšte α uredi

Kako bismo definisali alef-α za proizvoljan ordinalan broj α, moramo da definišemo operaciju kardinala naslednika, koja proizvoljnom kardinalnom broju ρ dodeljuje sledeći veći dobro uređen kardinal  . (Ako stoji aksioma izbora, onda je ovo sledeći veći kardina.)

Tada možemo da definišemo alef brojeve na sledeći način

 
 

i za λ, beskonačan granični ordinal,

 

α-ti beskonačni početni ordinal se označava sa  . Njegova kardinalnost je  .

Fiksirane tačke za alef uredi

Za bilo koji ordinal α imamo

 

U mnogim slučajevima   je strogo veće od α. Na primer, za bilo koji ordinal naslednik α, ovo stoji. Međutim, postoje neki granični ordinali, koji su fiksirane tačke alef funkcije. Prvi takav je granica niza

 

Svaki nedostižni kardinal je takođe fiksirana tačka alef funkcije.

Vidi još uredi