Кристофелови симболи

Кристофелови симболи у диференцијалној геометрији представљају коефицијенте који описују паралелни транспорт у криволинијским координатним системима. Добили су име по немачком математичару Елвину Бруну Кристофелу. Кристофелови симболи прве врсте означавају се са $[\mu \nu ,\kappa ]=\Gamma _{\mu \nu \kappa },$ а симболи друге врсте са ${\begin{Bmatrix}\sigma \\\mu \nu \end{Bmatrix}}=\Gamma _{\;\mu \nu }^{\sigma }$. У целом тексту користи се Ајнштајнова конвенција да се сумира по индексима који се појављаују више пута.

Паралелни транспорт на сфери

Паралелни транспорт

Слика 1.

Када у криволинијском систему одузимамо два вектора поред уобичајене разлике два вектора у правоугаоном систему имамо и додатну разлику због паралелнога транспорта једнога вектора до другога. Нека у $x^{i}$ вектор има вредност $A^{i},$ а у некој тачки $x^{i}+dx^{i}$ вредност $A^{i}+dA^{i}.$ Ако вектор $A^{i}$ транспортујемо до $x^{i}+dx^{i}$ он се због паралелнога транспорта у криволинијским координатама промени за $\delta A^{i}.$ Укупна разлика два вектора постаје онда:

$DA^{i}=dA^{i}-\delta A^{i}$

Паралелни транспорт зависан је од Кристофелових симбола:

$\delta A^{i}=-\Gamma ^{i}{}_{k\ell }A^{k}dx^{l}.$

Ту се користи Ајнштајнова конвенција да се сумира по индексима који се појављаују више пута.

Слика 2.

Пример у поларном систему

Узмимо поларни координатни систем у коме се тачка налази на удаљености ${r}$ и под углом $\varphi .$ Нека вектор ${\boldsymbol {A}}$ има координате $(a,\,\alpha )$, односно налази се на удаљеност $a$ од центра и из центра се види под углом $\alpha$. Препоставимо да се велтор премешта из једне у другу тачку. Његове компоненте се не мјењају у правоугаоном координатном систему. У поларном систему вектора ${\boldsymbol {A}}$ остаје исте величине јер величина вектора на једном месту је:

$|A|^{2}=a^{2}+r^{2}\alpha ^{2}$

а на другом је:

$a^{2}+(r+{\rm {d}}r)^{2}(\alpha +{\rm {d}}\alpha )^{2}=a^{2}+r^{2}\alpha ^{2},$

па се добија:

${\rm {d}}\alpha =-{\frac {1}{r}}\,\alpha \,{\rm {d}}r.$

Паралелан транспорт дуж лука

Током транслације дуж лука мењају се обе координате, па са слике 2 видимо да је: $\alpha ={\frac {A}{r}}\sin \lambda$, $a=A\cos \lambda$, и ${\rm {d}}\lambda =-{\rm {d}}\varphi$ па је:

${\rm {d}}\alpha =-{\frac {1}{r}}\,a\,{\rm {d}}\varphi .$

Осим тога пошто је $a=A\cos \lambda$, ${\rm {d}}\lambda =-{\rm {d}}\varphi$, и $A\sin \lambda =r\alpha$, онда је

${\rm {d}}a=-(-r)\,\alpha \,{\rm {d}}\varphi .$

Означимо ли:$x^{1}=r$, $x^{2}=\varphi$, ${A^{1}=a}$ и $A^{2}=\alpha$ онда се из формуле, у којој је конвенција да се сумира по индексима који се појављаују два или више пута

$\delta A^{i}=-\Gamma ^{i}{}_{k\ell }A^{k}dx^{l}.$

могу добити Кристофелови симболи као: ${\Gamma _{22}^{1}=-r}$, $\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{21}^{2}=1/r$, а сви остали су нула.

Кристофелови симболи прве и друге врсте

Кристофелови симболи прве и друге врсте повезани су следећом релацијом:

$\Gamma _{cab}=g_{cd}\Gamma ^{d}{}_{ab}\,,$

Кристофелови симболи повезани су са метричким тензором. Ако знамо метрички тензор за неки криволинијски систем тада се Кристофелови симболи друге врсте могу потпуно представити преко одговарајућега матричкога тензора:

$\Gamma ^{i}{}_{k\ell }={\frac {1}{2}}g^{im}\left({\frac {\partial g_{mk}}{\partial x^{\ell }}}+{\frac {\partial g_{m\ell }}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{k\ell }}{\partial x^{m}}}\right)={1 \over 2}g^{im}(g_{mk,\ell }+g_{m\ell ,k}-g_{k\ell ,m}),\$

а ту је $g^{ij}\$ контраваријантни приказ метричкога тензора, а $g_{ij}\$ представља коваријантан приказ метричкога тензора, а повезани су изразом $g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i}\$. Кристофелови симболи прве врсте даду се приказати као: $\Gamma _{n,ij}^{}$

$\Gamma _{n,ij}=g_{kn}\Gamma _{ij}^{k}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{in}}{\partial x^{j}}}+{\frac {\partial g_{jn}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{n}}}\right)$

Кристофелови симболи су симетрични по доњим индексима;

$\Gamma ^{i}{}_{jk}=\Gamma ^{i}{}_{kj}.$

С друге стране коваријантан извод метричкога тензора може се приказати преко Кристофелових симбола:

$\nabla _{\ell }g_{ik}={\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{\ell }}}-g_{mk}\Gamma ^{m}{}_{i\ell }-g_{im}\Gamma ^{m}{}_{k\ell }=0.\$

У неким системима

За сферни координатни систем компоненте метричкога тензора су $g_{\theta \theta }=r^{2}$, $g_{\phi \phi }=r^{2}\sin ^{2}\theta$, $g_{\theta \theta ,r}=2r$, $g_{\phi \phi ,r}=2r\sin ^{2}\theta$, $g_{\phi \phi ,\theta }=2r^{2}\cos \theta \sin \theta$. па су Кристофелови симболи дани са:

${\begin{aligned}\Gamma _{\theta \theta }^{r}&=-r\\\Gamma _{\phi \phi }^{r}&=-r\sin ^{2}\theta \\\Gamma _{r\theta }^{\theta }=\Gamma _{\theta r}^{\theta }&=r^{-1}\\\Gamma _{\phi \phi }^{\theta }&=-\cos \theta \sin \theta \\\Gamma _{r\phi }^{\phi }=\Gamma _{\phi r}^{\phi }&=r^{-1}\\\Gamma _{\phi \theta }^{\phi }=\Gamma _{\theta \phi }^{\phi }&=\cot \theta \end{aligned}}$

За цилиндрични координатни систем симболи су:

${\begin{aligned}\Gamma _{\phi \phi }^{r}&=-r\\\Gamma _{r\phi }^{\phi }=\Gamma _{\phi r}^{\phi }&={\frac {1}{r}}\end{aligned}}$

Коваријантан извод

Преко Кристофелових симбола приказује се коваријантан извод тензора: Коваријантни извод тензорскога поља $A^{ik}\$ је

$\nabla _{\ell }A^{ik}={\frac {\partial A^{ik}}{\partial x^{\ell }}}+\Gamma ^{i}{}_{m\ell }A^{mk}+\Gamma ^{k}{}_{m\ell }A^{im},\$

тј.

$A^{ik}{}_{;\ell }=A^{ik}{}_{,\ell }+A^{mk}\Gamma ^{i}{}_{m\ell }+A^{im}\Gamma ^{k}{}_{m\ell }.\$

За мешано тензорско поље имамо:

$A^{i}{}_{k;\ell }=A^{i}{}_{k,\ell }+A^{m}{}_{k}\Gamma ^{i}{}_{m\ell }-A^{i}{}_{m}\Gamma ^{m}{}_{k\ell },\$

а за тензорско поље поље типа (0,2) коваријантан извод је:

$A_{ik;\ell }=A_{ik,\ell }-A_{mk}\Gamma ^{m}{}_{i\ell }-A_{im}\Gamma ^{m}{}_{k\ell }.\$

Коваријантни извод за неки тензор типа (n, m) је:

$\nabla _{k}v_{j_{1}\cdots j_{m}}^{i_{1}\cdots i_{n}}={\frac {\partial }{\partial x^{k}}}v_{j_{1}\cdots j_{m}}^{i_{1}\cdots i_{n}}+\sum _{\alpha =1}^{n}\Gamma _{k\ell }^{i_{\alpha }}\ v_{j_{1}\cdots j_{m}}^{i_{1}\cdots i_{\alpha -1}\ \ell \ i_{\alpha +1}\cdots i_{n}}-\sum _{\alpha =1}^{m}\Gamma _{ki_{\alpha }}^{\ell }\ v_{j_{1}\cdots j_{\alpha -1}\ \ell \ j_{\alpha +1}\cdots j_{m}}^{i_{1}\cdots i_{n}}$

Контракција

Користи се Ајнштајнова конвенција да се сумира по индексима који се појављаују више пута. Контракцијом Кристофелових симбола односно сумацијом по индексу, који се понавља добија се:

$\Gamma ^{i}{}_{ki}={\frac {1}{2}}g^{im}{\frac {\partial g_{im}}{\partial x^{k}}}={\frac {1}{2g}}{\frac {\partial g}{\partial x^{k}}}={\frac {\partial \log {\sqrt {|g|}}}{\partial x^{k}}}\$

и

$g^{k\ell }\Gamma ^{i}{}_{k\ell }={\frac {-1}{\sqrt {|g|}}}\;{\frac {\partial \left({\sqrt {|g|}}\,g^{ik}\right)}{\partial x^{k}}}$

Ту је |g| детерминанта од $g_{ij}\$, односно коваријантнога приказа метричкога тензора. С друге стране $g^{ij}\$ означава контраваријантни приказ метричкога тензора, а два приказа тензора повезана су изразом $g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i}\$.

Трансформација

При трансформацији једнога система $(x^{1},...,x^{n})\$ у други $(y^{1},...,y^{n})\$, вектори базе се коваријантно трансформишу:

${\frac {\partial }{\partial y^{i}}}={\frac {\partial x^{k}}{\partial y^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}\$

па се добија формула трансформације Кристофелових симбола:

${\overline {\Gamma ^{k}{}_{ij}}}={\frac {\partial x^{p}}{\partial y^{i}}}\,{\frac {\partial x^{q}}{\partial y^{j}}}\,\Gamma ^{r}{}_{pq}\,{\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{r}}}+{\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{m}}}\,{\frac {\partial ^{2}x^{m}}{\partial y^{i}\partial y^{j}}}\$

Литература

• Кристофелов симбол
• Kobayashi, Shoshichi and Nomizu, Katsumi (1996 (New edition)). Foundations of Differential Geometry, Vol. 1. Wiley Interscience. ISBN 978-0-471-15733-5.
• Sternberg, Shlomo (1964). Lectures on Differential Geometry. Prentice-Hall