Kristofelovi simboli

Kristofelovi simboli u diferencijalnoj geometriji predstavljaju koeficijente koji opisuju paralelni transport u krivolinijskim koordinatnim sistemima. Dobili su ime po nemačkom matematičaru Elvinu Brunu Kristofelu. Kristofelovi simboli prve vrste označavaju se sa $[\mu \nu ,\kappa ]=\Gamma _{\mu \nu \kappa },$ a simboli druge vrste sa ${\begin{Bmatrix}\sigma \\\mu \nu \end{Bmatrix}}=\Gamma _{\;\mu \nu }^{\sigma }$. U celom tekstu koristi se Ajnštajnova konvencija da se sumira po indeksima koji se pojavljauju više puta.

Paralelni transport na sferi

Paralelni transport

Slika 1.

Kada u krivolinijskom sistemu oduzimamo dva vektora pored uobičajene razlike dva vektora u pravougaonom sistemu imamo i dodatnu razliku zbog paralelnoga transporta jednoga vektora do drugoga. Neka u $x^{i}$ vektor ima vrednost $A^{i},$ a u nekoj tački $x^{i}+dx^{i}$ vrednost $A^{i}+dA^{i}.$ Ako vektor $A^{i}$ transportujemo do $x^{i}+dx^{i}$ on se zbog paralelnoga transporta u krivolinijskim koordinatama promeni za $\delta A^{i}.$ Ukupna razlika dva vektora postaje onda:

$DA^{i}=dA^{i}-\delta A^{i}$

Paralelni transport zavisan je od Kristofelovih simbola:

$\delta A^{i}=-\Gamma ^{i}{}_{k\ell }A^{k}dx^{l}.$

Tu se koristi Ajnštajnova konvencija da se sumira po indeksima koji se pojavljauju više puta.

Slika 2.

Primer u polarnom sistemu

Uzmimo polarni koordinatni sistem u kome se tačka nalazi na udaljenosti ${r}$ i pod uglom $\varphi .$ Neka vektor ${\boldsymbol {A}}$ ima koordinate $(a,\,\alpha )$, odnosno nalazi se na udaljenost $a$ od centra i iz centra se vidi pod uglom $\alpha$. Prepostavimo da se veltor premešta iz jedne u drugu tačku. Njegove komponente se ne mjenjaju u pravougaonom koordinatnom sistemu. U polarnom sistemu vektora ${\boldsymbol {A}}$ ostaje iste veličine jer veličina vektora na jednom mestu je:

$|A|^{2}=a^{2}+r^{2}\alpha ^{2}$

a na drugom je:

$a^{2}+(r+{\rm {d}}r)^{2}(\alpha +{\rm {d}}\alpha )^{2}=a^{2}+r^{2}\alpha ^{2},$

pa se dobija:

${\rm {d}}\alpha =-{\frac {1}{r}}\,\alpha \,{\rm {d}}r.$

Paralelan transport duž luka

Tokom translacije duž luka menjaju se obe koordinate, pa sa slike 2 vidimo da je: $\alpha ={\frac {A}{r}}\sin \lambda$, $a=A\cos \lambda$, i ${\rm {d}}\lambda =-{\rm {d}}\varphi$ pa je:

${\rm {d}}\alpha =-{\frac {1}{r}}\,a\,{\rm {d}}\varphi .$

Osim toga pošto je $a=A\cos \lambda$, ${\rm {d}}\lambda =-{\rm {d}}\varphi$, i $A\sin \lambda =r\alpha$, onda je

${\rm {d}}a=-(-r)\,\alpha \,{\rm {d}}\varphi .$

Označimo li:$x^{1}=r$, $x^{2}=\varphi$, ${A^{1}=a}$ i $A^{2}=\alpha$ onda se iz formule, u kojoj je konvencija da se sumira po indeksima koji se pojavljauju dva ili više puta

$\delta A^{i}=-\Gamma ^{i}{}_{k\ell }A^{k}dx^{l}.$

mogu dobiti Kristofelovi simboli kao: ${\Gamma _{22}^{1}=-r}$, $\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{21}^{2}=1/r$, a svi ostali su nula.

Kristofelovi simboli prve i druge vrste

Kristofelovi simboli prve i druge vrste povezani su sledećom relacijom:

$\Gamma _{cab}=g_{cd}\Gamma ^{d}{}_{ab}\,,$

Kristofelovi simboli povezani su sa metričkim tenzorom. Ako znamo metrički tenzor za neki krivolinijski sistem tada se Kristofelovi simboli druge vrste mogu potpuno predstaviti preko odgovarajućega matričkoga tenzora:

$\Gamma ^{i}{}_{k\ell }={\frac {1}{2}}g^{im}\left({\frac {\partial g_{mk}}{\partial x^{\ell }}}+{\frac {\partial g_{m\ell }}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{k\ell }}{\partial x^{m}}}\right)={1 \over 2}g^{im}(g_{mk,\ell }+g_{m\ell ,k}-g_{k\ell ,m}),\$

a tu je $g^{ij}\$ kontravarijantni prikaz metričkoga tenzora, a $g_{ij}\$ predstavlja kovarijantan prikaz metričkoga tenzora, a povezani su izrazom $g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i}\$. Kristofelovi simboli prve vrste dadu se prikazati kao: $\Gamma _{n,ij}^{}$

$\Gamma _{n,ij}=g_{kn}\Gamma _{ij}^{k}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{in}}{\partial x^{j}}}+{\frac {\partial g_{jn}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{n}}}\right)$

Kristofelovi simboli su simetrični po donjim indeksima;

$\Gamma ^{i}{}_{jk}=\Gamma ^{i}{}_{kj}.$

S druge strane kovarijantan izvod metričkoga tenzora može se prikazati preko Kristofelovih simbola:

$\nabla _{\ell }g_{ik}={\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{\ell }}}-g_{mk}\Gamma ^{m}{}_{i\ell }-g_{im}\Gamma ^{m}{}_{k\ell }=0.\$

U nekim sistemima

Za sferni koordinatni sistem komponente metričkoga tenzora su $g_{\theta \theta }=r^{2}$, $g_{\phi \phi }=r^{2}\sin ^{2}\theta$, $g_{\theta \theta ,r}=2r$, $g_{\phi \phi ,r}=2r\sin ^{2}\theta$, $g_{\phi \phi ,\theta }=2r^{2}\cos \theta \sin \theta$. pa su Kristofelovi simboli dani sa:

${\begin{aligned}\Gamma _{\theta \theta }^{r}&=-r\\\Gamma _{\phi \phi }^{r}&=-r\sin ^{2}\theta \\\Gamma _{r\theta }^{\theta }=\Gamma _{\theta r}^{\theta }&=r^{-1}\\\Gamma _{\phi \phi }^{\theta }&=-\cos \theta \sin \theta \\\Gamma _{r\phi }^{\phi }=\Gamma _{\phi r}^{\phi }&=r^{-1}\\\Gamma _{\phi \theta }^{\phi }=\Gamma _{\theta \phi }^{\phi }&=\cot \theta \end{aligned}}$

Za cilindrični koordinatni sistem simboli su:

${\begin{aligned}\Gamma _{\phi \phi }^{r}&=-r\\\Gamma _{r\phi }^{\phi }=\Gamma _{\phi r}^{\phi }&={\frac {1}{r}}\end{aligned}}$

Kovarijantan izvod

Preko Kristofelovih simbola prikazuje se kovarijantan izvod tenzora: Kovarijantni izvod tenzorskoga polja $A^{ik}\$ je

$\nabla _{\ell }A^{ik}={\frac {\partial A^{ik}}{\partial x^{\ell }}}+\Gamma ^{i}{}_{m\ell }A^{mk}+\Gamma ^{k}{}_{m\ell }A^{im},\$

tj.

$A^{ik}{}_{;\ell }=A^{ik}{}_{,\ell }+A^{mk}\Gamma ^{i}{}_{m\ell }+A^{im}\Gamma ^{k}{}_{m\ell }.\$

Za mešano tenzorsko polje imamo:

$A^{i}{}_{k;\ell }=A^{i}{}_{k,\ell }+A^{m}{}_{k}\Gamma ^{i}{}_{m\ell }-A^{i}{}_{m}\Gamma ^{m}{}_{k\ell },\$

a za tenzorsko polje polje tipa (0,2) kovarijantan izvod je:

$A_{ik;\ell }=A_{ik,\ell }-A_{mk}\Gamma ^{m}{}_{i\ell }-A_{im}\Gamma ^{m}{}_{k\ell }.\$

Kovarijantni izvod za neki tenzor tipa (n, m) je:

$\nabla _{k}v_{j_{1}\cdots j_{m}}^{i_{1}\cdots i_{n}}={\frac {\partial }{\partial x^{k}}}v_{j_{1}\cdots j_{m}}^{i_{1}\cdots i_{n}}+\sum _{\alpha =1}^{n}\Gamma _{k\ell }^{i_{\alpha }}\ v_{j_{1}\cdots j_{m}}^{i_{1}\cdots i_{\alpha -1}\ \ell \ i_{\alpha +1}\cdots i_{n}}-\sum _{\alpha =1}^{m}\Gamma _{ki_{\alpha }}^{\ell }\ v_{j_{1}\cdots j_{\alpha -1}\ \ell \ j_{\alpha +1}\cdots j_{m}}^{i_{1}\cdots i_{n}}$

Kontrakcija

Koristi se Ajnštajnova konvencija da se sumira po indeksima koji se pojavljauju više puta. Kontrakcijom Kristofelovih simbola odnosno sumacijom po indeksu, koji se ponavlja dobija se:

$\Gamma ^{i}{}_{ki}={\frac {1}{2}}g^{im}{\frac {\partial g_{im}}{\partial x^{k}}}={\frac {1}{2g}}{\frac {\partial g}{\partial x^{k}}}={\frac {\partial \log {\sqrt {|g|}}}{\partial x^{k}}}\$

i

$g^{k\ell }\Gamma ^{i}{}_{k\ell }={\frac {-1}{\sqrt {|g|}}}\;{\frac {\partial \left({\sqrt {|g|}}\,g^{ik}\right)}{\partial x^{k}}}$

Tu je |g| determinanta od $g_{ij}\$, odnosno kovarijantnoga prikaza metričkoga tenzora. S druge strane $g^{ij}\$ označava kontravarijantni prikaz metričkoga tenzora, a dva prikaza tenzora povezana su izrazom $g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i}\$.

Transformacija

Pri transformaciji jednoga sistema $(x^{1},...,x^{n})\$ u drugi $(y^{1},...,y^{n})\$, vektori baze se kovarijantno transformišu:

${\frac {\partial }{\partial y^{i}}}={\frac {\partial x^{k}}{\partial y^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}\$

pa se dobija formula transformacije Kristofelovih simbola:

${\overline {\Gamma ^{k}{}_{ij}}}={\frac {\partial x^{p}}{\partial y^{i}}}\,{\frac {\partial x^{q}}{\partial y^{j}}}\,\Gamma ^{r}{}_{pq}\,{\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{r}}}+{\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{m}}}\,{\frac {\partial ^{2}x^{m}}{\partial y^{i}\partial y^{j}}}\$

Literatura

• Kristofelov simbol
• Kobayashi, Shoshichi and Nomizu, Katsumi (1996 (New edition)). Foundations of Differential Geometry, Vol. 1. Wiley Interscience. ISBN 978-0-471-15733-5.
• Sternberg, Shlomo (1964). Lectures on Differential Geometry. Prentice-Hall