Може се приметити да у Хелмхолцовој једначини нема оператора који представљају изводе по времену. Хелмхолцова једначина може да се добије из таласне једначине :
( ∇ 2 − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 ) u ( r , t ) = 0. {\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial {t}^{2}}}\right)u(\mathbf {r} ,t)=0.} (1)Претпоставља се да се таласна функција даде решити сепарацијом променљивих по простору и времену:
u ( r , t ) = A ( r ) T ( t ) . {\displaystyle u(\mathbf {r} ,t)=A(\mathbf {r} )T(t).} (2)Уврштавајући (2) у (1) добијамо следећу једначину:
∇ 2 A A = 1 c 2 T d 2 T d t 2 . {\displaystyle {\nabla ^{2}A \over A}={1 \over c^{2}T}{d^{2}T \over dt^{2}}.} (3)Лева страна једначине (3) зависи само од просторних координата, а десна страна од времена. Због свега тога у општем случају обе стране једначине су једнаке некој константи, па добијамо две једначине:
∇ 2 A A = − k 2 {\displaystyle {\nabla ^{2}A \over A}=-k^{2}} (4)и
1 c 2 T d 2 T d t 2 = − k 2 {\displaystyle {1 \over c^{2}T}{d^{2}T \over dt^{2}}=-k^{2}} (5)Преуређујући једначину (4) добијамо:
∇ 2 A + k 2 A = ( ∇ 2 + k 2 ) A = 0. {\displaystyle \nabla ^{2}A+k^{2}A=(\nabla ^{2}+k^{2})A=0.} (6)а преуређујући једначину (5) уз помоћ супституције ω = d e f k c {\displaystyle \omega {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}kc} добија се:
d 2 T d t 2 + ω 2 T = ( d 2 d t 2 + ω 2 ) T = 0 , {\displaystyle {\frac {d^{2}{T}}{d{t}^{2}}}+\omega ^{2}T=\left({d^{2} \over dt^{2}}+\omega ^{2}\right)T=0,} При томе k је таласни вектор, а ω је угаона фреквенција.
Решавање Хелмхолцове једначине сепарацијом променљивих
уреди
За Хелмхолцову једначину:
( ∇ 2 + k 2 ) A = 0 {\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})A=0} (7)Лапласијан се у поларним координатама пише као:
Δ A = 1 r ∂ ∂ A ( r ∂ A ∂ r ) + 1 r 2 ∂ 2 A ∂ ϕ 2 = 1 r ∂ A ∂ r + ∂ 2 A ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ 2 A ∂ ϕ 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta A&={1 \over r}{\partial \over \partial A}\left(r{\partial A \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}A \over \partial \phi ^{2}}&={1 \over r}{\partial A \over \partial r}+{\partial ^{2}A \over \partial r^{2}}+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}A \over \partial \phi ^{2}}.\end{aligned}}} Због тога једначина (7) постаје:
1 r ∂ A ∂ r + ∂ 2 A ∂ r 2 + 1 r 2 ∂ 2 A ∂ ϕ 2 + ( k 2 ) A = 0 {\displaystyle {1 \over r}{\partial A \over \partial r}+{\partial ^{2}A \over \partial r^{2}}+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}A \over \partial \phi ^{2}}+(k^{2})A=0} (8)Једначину покушавамо да решимо сепарацијом варијабли:
A ( r , θ ) = R ( r ) Θ ( θ ) , {\displaystyle A(r,\theta )=R(r)\Theta (\theta ),\,} гдее Θ мора да буде периодична са периодом 2π. Одатле следи:
Θ ″ + n 2 Θ = 0 , {\displaystyle \Theta ''+n^{2}\Theta =0,\,} (9)и
r 2 R ″ + r R ′ + r 2 k 2 R − n 2 R = 0. {\displaystyle r^{2}R''+rR'+r^{2}k^{2}R-n^{2}R=0.\,} (10)Решења од (9) и (10) су:
Θ = α cos n θ + β sin n θ , {\displaystyle \Theta =\alpha \cos n\theta +\beta \sin n\theta ,\,} R ( r ) = γ J n ( ρ ) , {\displaystyle R(r)=\gamma J_{n}(\rho ),\,} где је J n ( ρ ) {\displaystyle J_{n}(\rho )} Беселова функција , која је решење Беселове једначине:
ρ 2 J n ″ + ρ J n ′ + ( ρ 2 − n 2 ) J n = 0 , {\displaystyle \rho ^{2}J_{n}''+\rho J_{n}'+(\rho ^{2}-n^{2})J_{n}=0,} Тродимензионално решење у сферним координатама
уреди
У сферним координатама опште решење Хелмхолцове једначине је:
A ( r , θ , φ ) = ∑ ℓ = 0 ∞ ∑ m = − ℓ ℓ ( a ℓ m j ℓ ( k r ) + b ℓ m y ℓ ( k r ) ) Y ℓ m ( θ , φ ) . {\displaystyle A(r,\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }(a_{\ell m}j_{\ell }(kr)+b_{\ell m}y_{\ell }(kr))Y_{\ell }^{m}({\theta ,\varphi }).} где су
j ℓ ( k r ) {\displaystyle j_{\ell }(kr)} и y ℓ ( k r ) {\displaystyle y_{\ell }(kr)} сферне Беселове функције , а :Y ℓ m ( θ , φ ) {\displaystyle Y_{\ell }^{m}({\theta ,\varphi })} представља сферне хармонике .
Нехомогена Хелмхолцова једначина
уреди
Нехомогена Хелмхолцова једначина:
( Δ + k 2 ) U = f {\displaystyle (\Delta +k^{2})U=f} рјешава се уз помоћ Гринове функције , односно:
∇ 2 G ( x ) + k 2 G ( x ) = δ ( x ) . {\displaystyle \nabla ^{2}G(x)+k^{2}G(x)=\delta (x).\,} Пошто је:
( △ + k 2 ) 1 | x | e i k | x | = e i k | x | △ 1 | x | + 2 ( grad e i k | x | , grad 1 | x | ) + 1 | x | △ e i k | x | + k 2 | x | e i k | x | = {\displaystyle (\triangle +k^{2}){\frac {1}{|x|}}e^{ik|x|}=e^{ik|x|}\triangle {\frac {1}{|x|}}+2\left(\operatorname {grad} \,\,e^{ik|x|},\operatorname {grad} {\frac {1}{|x|}}\right)+{\frac {1}{|x|}}\triangle e^{ik|x|}+{\frac {k^{2}}{|x|}}e^{ik|x|}=} = − 4 π e i k | x | δ ( x ) + ( − 2 i k | x | 2 + 2 i k | x | 2 − k 2 | x | + k 2 | x | ) e i k | x | = − 4 π δ ( x ) . {\displaystyle =-4\pi e^{ik|x|}\delta (x)+\left(-{\frac {2ik}{|x|^{2}}}+{\frac {2ik}{|x|^{2}}}-{\frac {k^{2}}{|x|}}+{\frac {k^{2}}{|x|}}\right)e^{ik|x|}=-4\pi \delta (x).}
онда је тродимензионална Гринова функција:
G 1 ( x ) = − e i k | x | 4 π | x | , G 2 = − e − i k | x | 4 π | x | . {\displaystyle G_{1}(x)=-{\frac {e^{ik|x|}}{4\pi |x|}},\qquad G_{2}=-{\frac {e^{-ik|x|}}{4\pi |x|}}.} Горе написане једначине могу да се пишу у векторском облику као:
( Δ + k 2 ) G ( r → , r → ′ ) = δ ( r → − r → ′ ) {\displaystyle \left(\Delta +k^{2}\right)G({\vec {r}},{\vec {r}}')=\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}')} а Гринова функција као:
G ( r → , r → ′ ) = − exp ( ± i k | r → − r → ′ | ) 4 π | r → − r → ′ | {\displaystyle G({\vec {r}},{\vec {r}}')=-{\frac {\exp(\pm ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|)}{4\pi |{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}} Решење нехомогене Хелмхолцове једначине се онда може приказати помоћу Гринове функције као:
U ( r → ) = ∫ d 3 r ′ f ( r → ′ ) G ( r → , r → ′ ) = − ∫ d 3 r ′ f ( r → ′ ) exp ( ± i k | r → − r → ′ | ) 4 π | r → − r → ′ | {\displaystyle U({\vec {r}})=\int d^{3}r'\,f({\vec {r}}')G({\vec {r}},{\vec {r}}')=-\int d^{3}r'\,f({\vec {r}}'){\frac {\exp(\pm ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|)}{4\pi |{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}}
Литература
уреди
Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers , McGraw-Hill.
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. , Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. . New York: Dover. 1965. ISBN 978-0-486-61272-0 .
Morse PM, Feshbach H . Methods of Theoretical Physics, Part I. . New York: McGraw-Hill. 1953. ISBN 978-0-07-043316-8 .
Хелмхолцове једначине