Helmholcova jednačina

Helmholcova jednačina je eliptična parcijalna diferencijalna jednačina:

$(\Delta +k^{2})U=0$

gde $\Delta =\nabla ^{2}$ predstavlja Laplasov operator, $k$ je talasni broj, a $U$ amplituda. Nehomogena Helmholcova jednačina je oblika:

$(\Delta +k^{2})U=f$

Izvod

Može se primetiti da u Helmholcovoj jednačini nema operatora koji predstavljaju izvode po vremenu. Helmholcova jednačina može da se dobije iz talasne jednačine:

$\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial {t}^{2}}}\right)u(\mathbf {r} ,t)=0.$ (1)

Pretpostavlja se da se talasna funkcija dade rešiti separacijom promenljivih po prostoru i vremenu:

$u(\mathbf {r} ,t)=A(\mathbf {r} )T(t).$ (2)

Uvrštavajući (2) u (1) dobijamo sledeću jednačinu:

${\nabla ^{2}A \over A}={1 \over c^{2}T}{d^{2}T \over dt^{2}}.$ (3)

Leva strana jednačine (3) zavisi samo od prostornih koordinata, a desna strana od vremena. Zbog svega toga u opštem slučaju obe strane jednačine su jednake nekoj konstanti, pa dobijamo dve jednačine:

${\nabla ^{2}A \over A}=-k^{2}$ (4)

i

${1 \over c^{2}T}{d^{2}T \over dt^{2}}=-k^{2}$ (5)

Preuređujući jednačinu (4) dobijamo:

$\nabla ^{2}A+k^{2}A=(\nabla ^{2}+k^{2})A=0.$ (6)

a preuređujući jednačinu (5) uz pomoć supstitucije $\omega {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}kc$ dobija se:

${\frac {d^{2}{T}}{d{t}^{2}}}+\omega ^{2}T=\left({d^{2} \over dt^{2}}+\omega ^{2}\right)T=0,$

Pri tome k je talasni vektor, a ω je ugaona frekvencija.

Rešavanje Helmholcove jednačine separacijom promenljivih

Za Helmholcovu jednačinu:

$(\nabla ^{2}+k^{2})A=0$ (7)

Laplasijan se u polarnim koordinatama piše kao:

${\begin{aligned}\Delta A&={1 \over r}{\partial \over \partial A}\left(r{\partial A \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}A \over \partial \phi ^{2}}&={1 \over r}{\partial A \over \partial r}+{\partial ^{2}A \over \partial r^{2}}+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}A \over \partial \phi ^{2}}.\end{aligned}}$

Zbog toga jednačina (7) postaje:

${1 \over r}{\partial A \over \partial r}+{\partial ^{2}A \over \partial r^{2}}+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}A \over \partial \phi ^{2}}+(k^{2})A=0$ (8)

Jednačinu pokušavamo da rešimo separacijom varijabli:

$A(r,\theta )=R(r)\Theta (\theta ),\,$

gdee Θ mora da bude periodična sa periodom 2π. Odatle sledi:

$\Theta ''+n^{2}\Theta =0,\,$ (9)

i

$r^{2}R''+rR'+r^{2}k^{2}R-n^{2}R=0.\,$ (10)

Rešenja od (9) i (10) su:

$\Theta =\alpha \cos n\theta +\beta \sin n\theta ,\,$

$R(r)=\gamma J_{n}(\rho ),\,$

gde je $J_{n}(\rho )$ Beselova funkcija, koja je rešenje Beselove jednačine:

$\rho ^{2}J_{n}''+\rho J_{n}'+(\rho ^{2}-n^{2})J_{n}=0,$

Trodimenzionalno rešenje u sfernim koordinatama

U sfernim koordinatama opšte rešenje Helmholcove jednačine je:

$A(r,\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }(a_{\ell m}j_{\ell }(kr)+b_{\ell m}y_{\ell }(kr))Y_{\ell }^{m}({\theta ,\varphi }).$

gde su $j_{\ell }(kr)$ i $y_{\ell }(kr)$ sferne Beselove funkcije, a :$Y_{\ell }^{m}({\theta ,\varphi })$ predstavlja sferne harmonike.

Nehomogena Helmholcova jednačina

Nehomogena Helmholcova jednačina:

$(\Delta +k^{2})U=f$

rješava se uz pomoć Grinove funkcije, odnosno:

$\nabla ^{2}G(x)+k^{2}G(x)=\delta (x).\,$

Pošto je:

$(\triangle +k^{2}){\frac {1}{|x|}}e^{ik|x|}=e^{ik|x|}\triangle {\frac {1}{|x|}}+2\left(\operatorname {grad} \,\,e^{ik|x|},\operatorname {grad} {\frac {1}{|x|}}\right)+{\frac {1}{|x|}}\triangle e^{ik|x|}+{\frac {k^{2}}{|x|}}e^{ik|x|}=$

$=-4\pi e^{ik|x|}\delta (x)+\left(-{\frac {2ik}{|x|^{2}}}+{\frac {2ik}{|x|^{2}}}-{\frac {k^{2}}{|x|}}+{\frac {k^{2}}{|x|}}\right)e^{ik|x|}=-4\pi \delta (x).$

onda je trodimenzionalna Grinova funkcija:

$G_{1}(x)=-{\frac {e^{ik|x|}}{4\pi |x|}},\qquad G_{2}=-{\frac {e^{-ik|x|}}{4\pi |x|}}.$

Gore napisane jednačine mogu da se pišu u vektorskom obliku kao:

$\left(\Delta +k^{2}\right)G({\vec {r}},{\vec {r}}')=\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}')$

a Grinova funkcija kao:

$G({\vec {r}},{\vec {r}}')=-{\frac {\exp(\pm ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|)}{4\pi |{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}$

Rešenje nehomogene Helmholcove jednačine se onda može prikazati pomoću Grinove funkcije kao: $U({\vec {r}})=\int d^{3}r'\,f({\vec {r}}')G({\vec {r}},{\vec {r}}')=-\int d^{3}r'\,f({\vec {r}}'){\frac {\exp(\pm ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|)}{4\pi |{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}$

Literatura

• Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.
• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. , Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. . New York: Dover. 1965. ISBN 978-0-486-61272-0. 
• Morse PM, Feshbach H . Methods of Theoretical Physics, Part I. . New York: McGraw-Hill. 1953. ISBN 978-0-07-043316-8. 
• Helmholcove jednačine