Анхармоничност

Анхармоничност (анхармонијски осцилатор) у класичној механици представља одступање од хармонијског осцилатора.

Осцилатор који не осцилује хармонијски зове се анхармонични осциллатор, при чему се систем може апроксимовати на хармонијски осциллатор, а анхармоничност се може израчунати помоћу теорије пертурбација.^[1] Ако је анхармоничност велика, морају се користити друге нумеричке технике.

Као резултат, појављују се осцилације фреквенција 2ω, 3ω, итд., где је ω основна фреквенција осцилатора. Фреквенција анхармонијског осциловања, ω одступа од фреквенција хармонијског осциловања, ω₀. Прва апроксимација: помак фреквенција Δω=ω-ω₀ је пропорционалан квадрату амплитуде осциловања А: Δω~А²

У систему осцилатора са природним фреквенцијама ω_α, ω_β, итд., анхармоничност резултира додатним осцилацијама са фреквенцијама ω_α ± ω_β .

Анхармоничност модификује енергетски профил резонантне криве, што доводи до занимљивих феномена, као што је ефекат преклапања и суперхармоничне резонанције

Принцип анхармонијског осцилатора уреди

Осцилације ^[2]^[3] су посебна врста кретања, која се периодично понављају (тело окачено о опругу, клатно, вибрације жице или ваздуха, осциловање атома у молекулу, итд.). Карактеристике кретања: брзина, пут, убрзање, се периодично понављају са временом. Честица излази из свог равнотежног положаја x₀ и долази у положај x, из ког под дејством силе реституције се враћа кроз равнотежни положај x₀ у положај –x и поново врши кретање на исти начин, из положаја –x, кроз x_0, у x. Време за које честица пређе из положаја x у –x и поново се врати у положај x, назива се период осциловања, Т. Растојање од почетног положаја честице, x₀ до новог положаја x(односно –x) назива се елонгација. Максимална елонгација, односно максимално растојање од почетног положаја које честица може да достигне, назива се амплитуда.

Уколико је реституциона сила пропрционална померају честице из равнотежног положаја, ради се о хармонијском осциловању^[4] (Хуков закон). Из добијене диференцијалне једначине се види да честица мора осциловати синусоидално током времена. При том може осциловати са било којом амплитудом, али ће увек имати исти период.

Уколико сила нелинеарно зависи од помераја x, ради се о анхармонијском осциловању. Период осцилације анхармонијског осцилатора може зависити од његове амплитуде.

Као резултат нелинеарности анхармонијских осцилатора, фреквенција вибрација може да се промени, у зависности од помераја честице. Промене фреквенција вибрација доводе до повезивања енергије од основне фреквенција вибрација до других фреквенција , процесом који се назива параметарско повезивање.

Ако је нелинеарна сила реституције обележена као функција Ф(x-x₀), помераја x од равнотежног x₀, може се увести њена линеарна апроксимација Ф=Ф´(0)*(x-x₀). Ова функција је линеарна, тако да описује просто хармонијско осциловање и тачна је када је x-x₀ мало. Дакле, док год су осцилације мале, анхармонијско осциловање може бити апроксимовано као хармонијско осциловање.

Примери уреди

Постоји много примера у физици који могу представљати анхармонијски осцилатор, као што је нелинеарни систем маса-опруга.

На пример, у атому, који се састоји од позитивно наелектрисаног језгра окруженог негативно наелектрисаним електронима, долази до померања између центра масе језгра и електронског облака, када је присутно електрично поље. При томе се индукује електрични диполни моменат (величина која представља количину померања електронског облака од језгра), који је линеарно повезан са јачином примењеног поља, за мале јачине поља, међутим са повећањем јачине поља, долази до одступања од линеарности, као у механичком систему.

Даљи примери анхармонијских осцилатора укључују клатно великог угла, неравномерни полупроводници, који имају велику количину врућих носилаца, који показују нелинеарна понашања различитих типова у односу на ефективну масу носача, и јоносферске плазме, које такође показују нелинеарно понашање засновано на анхармоничности плазме. Сви осцилатори постају анхармонични када се њихова амплитуда повећа преко неког прага, а као резултат тога неопходно је користити нелинеарне једначине кретања Архивирано на сајту Wayback Machine (13. јул 2019) за описивање њиховог понашања.

Такође се анхармоничност јавља у мрежним и молекулским вибрацијама, као и у квантним осцилацијама и акустици. Атоми у молекулу или у чврстом стању осцилују око свог равнотежног положаја, а како њихове амплитуде у реалним системима нису занемарљиво мале у односу на растојање између језгара, јавља се анхармоничност (долази до одступања од Хуковог закона). Још један пример анхармоничности је термичка експанзија чврстих материја, која се проучава у квази-хармонијским апроксимацијама. Проучавање анхармонијских вибрација помоћу квантне механике је компијутерски захтеван задатак,^[6] јер се анхармоничношћу не само компликује потенцијал сваког осцилатора, већ се ти осцилатори међусобно повезују. Да би се мапирао анхармонијски потенцијал који се јавља код атома у молекулима и чврстих материја, могу се користити методе првог принципа, као што је теорија функционалности густине.^[7] Тачне анхармонијске вибрацијоне енергије могу се добити решавањем анхармоњских вибрационих једначина за атоме унутар теорије средњег поља, а да би се превазишли проблеми теорије средњег поља^[8], могу се користити Молер-Плесетове (Моллер-Плессет) теорије пертурбација.

Анхармонијски осцилатори (клатна) поређана по растућој дужини конопца, пуштена да осцилују истим периодом са истим угаоним померајем

Потенцијална енергија у периоду осцилација уреди

Посматра се потенцијална јама ^[9]У(x). Под претпоставком да је крива У=У(x) симетрична у односу на У-осу, облик криве се може одредити из периода Т(Е) осцилација честица са енергијом Е према формули:

${\displaystyle U(x)={\frac {1}{2\pi {\sqrt {2m}}}}\int _{0}^{U}{\frac {T(E)\,dE}{\sqrt {U(x)-E}}}}$

Супротно томе, може се извести период осциловања:

${\displaystyle T={\sqrt {2m}}\int _{x_{-}}^{x_{+}}{\frac {dx}{\sqrt {E-U}}}}$

Литература уреди

Физика 1 за студенте физичке хемије, проф. др Драгољуб С. Белић, Универзитет у Београду, Физички факултет, Београд, 1996. год.
Физика 1, XX издање, инж. Властимир M. Вучић и др инж. Драгиша M. Ивановић, Научна књига, Београд, 1986. год.
https://en.wikipedia.org/wiki/Anharmonicity
Молекулска спектроскопија, спектрохемијски аспект, проф. др Анкица Антић-Јовановић, Универзитет у Београду, Факултет за физичку хемију, Београд, 2002.год.
Практични аспекти одабраних поглавља молекулске спектрохемије, др Јасмина Димитрић Марковић, Универзитет у Београду, Факултет за физичку хемију,^[10] Београд, 2008.год.

Референце уреди

^ Универзитет у Сарајеву Природно-математиˇцки факултет Одсјек за физику (2012). „Квантна механика” (ПДФ).
^ „Осцилације и таласи” (ПДФ). 2005. Архивирано из оригинала (ПДФ) 22. 01. 2016. г.
^ „Осцилације” (ПДФ).
^ „Хармонијско осциловање”.
^ „Тајна слободне енергије клатна” (ПДФ).
^ Петковић, Милена (2018—19). „Методе и методологија у рачунарској хемији” (ПДФ).
^ Радаковић, Јана (2008). „Теорија функционала густине- мастер рад” (ПДФ).
^ Вранић, Ана (2017). „Теорија средњег поља- мастер рад” (ПДФ).
^ Слободан Мацура и Јелена Радић-Перић (2004). Атомистика. Београд.
^ „Факултет за физичку хемију”.

[1] Универзитет у Сарајеву Природно-математиˇцки факултет Одсјек за физику (2012). „Квантна механика” (ПДФ).

[2] „Осцилације и таласи” (ПДФ). 2005. Архивирано из оригинала (ПДФ) 22. 01. 2016. г.

[3] „Осцилације” (ПДФ).

[4] „Хармонијско осциловање”.

[5] „Тајна слободне енергије клатна” (ПДФ).

[6] Петковић, Милена (2018—19). „Методе и методологија у рачунарској хемији” (ПДФ).

[7] Радаковић, Јана (2008). „Теорија функционала густине- мастер рад” (ПДФ).

[8] Вранић, Ана (2017). „Теорија средњег поља- мастер рад” (ПДФ).

[9] Слободан Мацура и Јелена Радић-Перић (2004). Атомистика. Београд.

[10] „Факултет за физичку хемију”.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]