Диференцијална геометрија

Диференцијална геометрија је математичка дисциплина која се бави изучавањем геометријских својстава простора на којима се могу примењивати методе диференцијалног рачуна, интегралног рачуна, линеарне алгебре и мултилинеарне алгебре у изучавању геометријских проблема. Примери таквих простора су глатке многострукости, глатке орбиструкости, стратифициране многострукости и слично. Теорија равних и просторних кривих и површина у тродимензионалном Еуклидском простору основа је за развој диференцијалне геометрије током 18. и 19. века.

Троугао уроњен у раван облика седла (хиперболички параболоид), као и две дивергентне ултрапаралелне линије.

Од краја 19. века диференцијална геометрија је прерасла у поље које се генерално односи на геометријске структуре на диферецијабилним многострукостима. Диференцијална геометрија је уско повезана са диференцијалном топологијом и геометријским аспектима теорије диференцијалних једначина. Диференцијална геометрија површина обухвата многе кључне идеје и технике које су ендемичне овом пољу.

Историја развоја

Диференцијална геометрија је настала и развијала се као резултат и у контексту математичке анализе кривих и површина. Математичка анализа кривих и површина развијена је како би одговорило на нека провокативна и неодговорена питања која су се појавила у калкулусу, попут разлога за односе између сложених облика и кривих, низова и аналитичких функција. Ова неодговорена питања указивала су на веће скривене везе.

Сматра се да је генералну идеју природних једначина за добијање кривих из локалне закривљености први разматрао Леонард Ојлер 1736. године, а многи примери са прилично једноставним понашањем проучавани су током 1800-их.

Када је утврђено да су криве, површине затворене кривама и тачке на кривама квантитативно и генерално повезане математичким облицима, формално проучавање природе кривих и површина постало је поље проучавања само по себи. То је било поспешено Монжовим радом из 1795. године, као и Гаусовим објављивањем његове публикације под насловом „Disquisitiones Generales Circa Superficies Curvas”, у часопису Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores 1827. године.

Првобитно примењена на Еуклидски простор, додатна истраживања довела су до нееуклидског простора, метричког и тополошких простора.

Гране

Риманова геометрија

Главни чланак: Риманова геометрија

Риманске геометријске студије Риманових многострукости, глатких многострукости са Риманском метриком. Ово је концепт растојања изражен глатким позитивно дефинисаним симетрично билинеарним обликом дефинисаним у тангенцијалном простору у свакој тачки. Риманова геометрија генерализује Еуклидску геометрију на просторе који нису нужно равни, мада они још увек инфинитезимално наликују на Еуклидов простор у свакој тачки, и.е. у првом реду апроксимације. Различити концепти засновани на дужини, као што су дужина лука кривих, површина равнинских подручја и запремина чврстих тела, имају природне аналоге у Римановој геометрији. Појам усмереног деривата функције из мултиваријабилног рачуна је у Римановој геометрији проширен на појам коваријантног деривата тензора. Многи концепти и технике анализе и диференцијалне једначине су уопштени на поставке Риманових многострукости.

Дифеоморфизам који се очувава на растојањима између Риманових многострукости назива се изометрија. Тај се појам може дефинисати и локално, и.е. за мала суседства тачака. Било које две регуларне криве су локално изометричне. Међутим, teorema Egregium Карла Фридриха Гауса је показала да за површине постојање локалне изометрије намеће јаке услове компатибилности њихових метрика: Гаусове закривљености на одговарајућим тачкама морају бити исте. У вишим димензијама, Риманов тензор закривљености је важан инваријантно повезан у тачкама са Римановом многострукости која мери колико је близу да би била равна. Важна класа Риманових многострукости су Риманови симетрични простори, чија закривљеност није нужно константна. Они су најближи аналози „обичној” равни и простору који се разматрају у Еуклидској и нееуклидској геометрији.

Псеудо-Риманова геометрија

Псеудо-Риманова геометрија генерализује Риманову геометрију до случаја у коме метрички тензор не мора да буде позитивно-дефинитиван. Специјалан случај тога је Лоренцова многострукост, која је математичка основа Ајнштајнове генералне релативистичке теорије гравитације.

Финслерова геометрија

Главни чланак: Финслерова многострукост

Финслерова геометрија садржи Финслерове многострукости као свој главни предмет изучавања.Финслер 1918 То је диференцијална многострукост са Финслеровом метриком, односно Баначовом нормом дефинисаном на сваком тангентном простору. Риманове многострукости су посебни случајеви генералнијих Финслерових многострукости. Финслерова структура на многострукости M је функција Ф : ТM → [0, ∞) таква да је:

1. Ф(x, мy) = м Ф(x, y) за свако (x, y) у ТM и свако м≥0,
2. Ф је бесконачно диференцијабилна у ТM ∖ {0},
3. Вертикални Хесијан од Ф² је позитивно коначан.

Литература

• Етхан D. Блоцх (27. 6. 2011). А Фирст Цоурсе ин Геометриц Топологy анд Дифферентиал Геометрy. Спрингер Сциенце & Бусинесс Медиа. ИСБН 978-0-8176-8122-7. 
• Бурке, Wиллиам L. (1985). Апплиед Дифферентиал Геометрy. 
• до Цармо, Манфредо (1976). Дифферентиал Геометрy оф Цурвес анд Сурфацес. ИСБН 978-0-13-212589-5. 
• до Цармо, Манфредо (1994). Риеманниан Геометрy. 
• Франкел, Тхеодоре (2004). Тхе геометрy оф пхyсицс: ан интродуцтион (2нд изд.). ИСБН 978-0-521-53927-2. 
• Елса Аббена; Симон Саламон; Алфред Граy (6. 9. 2017). Модерн Дифферентиал Геометрy оф Цурвес анд Сурфацес wитх Матхематица. ЦРЦ Пресс. ИСБН 978-1-351-99220-6. 
• Креyсзиг, Ерwин (1991). Дифферентиал Геометрy. ИСБН 978-0-486-66721-8. 
• Кüхнел, Wолфганг (2002). Дифферентиал Геометрy: Цурвес – Сурфацес – Манифолдс (2нд изд.). ИСБН 978-0-8218-3988-1. 
• МцЦлеарy, Јохн (1994). Геометрy фром а Дифферентиабле Виеwпоинт. 
• Спивак, Мицхаел (1999). А Цомпрехенсиве Интродуцтион то Дифферентиал Геометрy (5 Волумес) (3рд изд.). 
• тер Хаар Роменy, Барт M. (2003). Фронт-Енд Висион анд Мулти-Сцале Имаге Аналyсис. ИСБН 978-1-4020-1507-6. 
• Бергер, Марцел (2000), Риеманниан Геометрy Дуринг тхе Сецонд Халф оф тхе Тwентиетх Центурy, Университy Лецтуре Сериес, 17, Рходе Исланд: Америцан Матхематицал Социетy, ИСБН 0-8218-2052-4 .
• Цхеегер, Јефф; Ебин, Давид Г. (2008), Цомпарисон тхеоремс ин Риеманниан геометрy, Провиденце, РИ: АМС Цхелсеа Публисхинг ; Ревисед репринт оф тхе 1975 оригинал.
• Галлот, Сyлвестре; Хулин, Доминиqуе; Лафонтаине, Јацqуес (2004), Риеманниан геометрy, Университеxт (3рд изд.), Берлин: Спрингер-Верлаг .
• Јост, Јüрген (2002), Риеманниан Геометрy анд Геометриц Аналyсис, Берлин: Спрингер-Верлаг, ИСБН 3-540-42627-2 .
• Петерсен, Петер (2006), Риеманниан Геометрy, Берлин: Спрингер-Верлаг, ИСБН 0-387-98212-4 
• Фром Риеманн то Дифферентиал Геометрy анд Релативитy (Лизхен Ји, Атханасе Пападопоулос, анд Сумио Yамада, Едс.) Спрингер, 2017, XXXIV, 647 п. ISBN 978-3-319-60039-0
• Брендле, Симон; Сцхоен, Рицхард M. (2007), Цлассифицатион оф манифолдс wитх wеаклy 1/4-пинцхед цурватурес, Бибцоде:2007арXив0705.3963Б, арXив:0705.3963  
• Бенн, I.M.; Туцкер, Р.W. (1987), Ан интродуцтион то Спинорс анд Геометрy wитх Апплицатионс ин Пхyсицс (Фирст публисхед 1987 изд.), Адам Хилгер, ИСБН 0-85274-169-3 
• Бисхоп, Рицхард L.; Голдберг, Самуел I. (1968), Тенсор Аналyсис он Манифолдс (Фирст Довер 1980 изд.), Тхе Мацмиллан Цомпанy, ИСБН 0-486-64039-6 
• Цхен, Банг-Yен (2011), Псеудо-Риеманниан Геометрy, [делта]-инвариантс анд Апплицатионс, Wорлд Сциентифиц Публисхер, ИСБН 978-981-4329-63-7 
• О'Неилл, Барретт (1983), Семи-Риеманниан Геометрy Wитх Апплицатионс то Релативитy, Пуре анд Апплиед Матхематицс, 103, Ацадемиц Пресс, ИСБН 9780080570570 
• Врăнцеану, Г.; Роşца, Р. (1976), Интродуцтион то Релативитy анд Псеудо-Риеманниан Геометрy, Буцарест: Едитура Ацадемиеи Републиции Социалисте Ромâниа 
• Антонелли, Петер L., ур. (2003), Хандбоок оф Финслер геометрy. Вол. 1, 2, Бостон: Клуwер Ацадемиц Публисхерс, ИСБН 978-1-4020-1557-1, МР 2067663 
• Бао, Давид; Цхерн, Схиинг-Схен; Схен, Зхонгмин (2000). Ан интродуцтион то Риеманн–Финслер геометрy. Градуате Теxтс ин Матхематицс. 200. Неw Yорк: Спрингер-Верлаг. ИСБН 0-387-98948-X. МР 1747675. дои:10.1007/978-1-4612-1268-3. 
• Цартан, Éлие (1933), „Сур лес еспацес де Финслер”, C. Р. Ацад. Сци. Парис, 196: 582—586, Збл 0006.22501 
• Цхерн, Схиинг-Схен (1996), „Финслер геометрy ис јуст Риеманниан геометрy wитхоут тхе qуадратиц рестрицтион” (ПДФ), Нотицес оф тхе Америцан Матхематицал Социетy, 43 (9): 959—63, МР 1400859 
• Финслер, Паул (1918), Üбер Курвен унд Флäцхен ин аллгемеинен Рäумен, Диссертатион, Гöттинген, ЈФМ 46.1131.02  (Репринтед бy Биркхäусер (1951))
• Рунд, Ханно (1959). Тхе дифферентиал геометрy оф Финслер спацес. Дие Грундлехрен дер Матхематисцхен Wиссенсцхафтен. 101. Берлин–Гöттинген–Хеиделберг: Спрингер-Верлаг. ИСБН 978-3-642-51612-2. МР 0105726. дои:10.1007/978-3-642-51610-8. 
• Схен, Зхонгмин (2001). Лецтурес он Финслер геометрy. Сингапоре: Wорлд Сциентифиц. ИСБН 981-02-4531-9. МР 1845637. дои:10.1142/4619. 

Спољашње везе

• Хазеwинкел Мицхиел, ур. (2001). „Дифферентиал геометрy”. Енцyцлопаедиа оф Матхематицс. Спрингер. ISBN 978-1556080104. 
• B. Conrad. Differential Geometry handouts, Stanford University
• Michael Murray's online differential geometry course, 1996 Архивирано на сајту Wayback Machine (1. август 2013)
• A Modern Course on Curves and Surface, Richard S Palais, 2003 Архивирано на сајту Wayback Machine (9. април 2019)
• Richard Palais's 3DXM Surfaces Gallery Архивирано на сајту Wayback Machine (9. април 2019)
• Balázs Csikós's Notes on Differential Geometry Архивирано на сајту Wayback Machine (5. јун 2009)
• N. J. Hicks, Notes on Differential Geometry, Van Nostrand.
• MIT OpenCourseWare: Differential Geometry, Fall 2008
• Хазеwинкел Мицхиел, ур. (2001). „Финслер спаце, генерализед”. Енцyцлопаедиа оф Матхематицс. Спрингер. ISBN 978-1556080104. 
• The (New) Finsler Newsletter