Фундаментална група

У математичком пољу алгебарске топологије, фундаментална група тополошког простора је група класа еквиваленције под хомотопијом петљи садржаних у простору. Она бележи податке о основном облику или рупама тополошког простора. Фундаментална група је прва и најједноставнија хомотопска група. Она је хомотопски инваријантна. Тополошки простори који су хомотопски еквивалентни (или у јачем случају хомеоморфни) имају изоморфне фундаменталне групе.

Абелианизација фундаменталне групе се може идентификовати са првом хомологном групом простора. Када је тополошки простор хомеоморфан до симплицијалног комплекса, његова фундаментална група може се експлицитно описати у смислу генератора и релација.

Анри Поенкаре је дефинисао фундаменталну групу 1895. године у својој публикацији „Анализа ситуса”. Концепт се појавио у теорији Риманових површина, у делу Бернхарда Римана, Поенкара и Феликса Клајна. Описана су монодромска својства комплексно вредносних функција, као и потпуна тополошка класификација затворених површина.

Интуиција

Може се започети са простором (на пример, површином) и неком тачком у њему, и свим петљама које почињу и завршавају у тој тачки - стазама које почињу у тој тачки, лутају около и на крају се враћају у почетну тачку. Две петље се могу комбиновати на очигледан начин: може се путовати дуж прве петље, а затим дуж друге. Две петље сматрају се еквивалентним, ако се једна може деформисати у другу без раскидања. Скуп свих таквих петљи са овом методом комбиновања и стога еквиваленцијом између њих је фундаментална група за тај дати простор.

Историја

Анри Поенкаре је дефинисао фундаменталну групу 1895. године у свом раду „Аналyсис ситус“. Концепт се појавио у теорији Риманових површина, у раду [Бернхард Риеманн[|Бернхарда Римана]], Поенкареа и Феликса Клајна. Он описује својства монодромије комплексних функција, и пружа потпуну тополошку класификацију затворених површина.

Дефиниција

Илустрација двоструког торуса.

У овом чланку X је тополошки простор. Типичан пример је површина попут оне која је приказана десно. Штавише, $x_{0}$ је тачка у X која се зове основна тачка. (Као што је објашњено у даљем тексту, њена улога је углавном помоћна.) Идеја дефиниције хомотопе групе је да се одреди колико (широко гледано) криве на X могу бити деформисане једна у другу. Прецизна дефиниција зависи од појма хомотопије петљи, који је објашњен испод.

Хомотопија петљи

За дати тополошки простор X, петља базирана у $x_{0}$ се дефинише да је континуирана функција (такође позната као континуирана мапа)

$\gamma :[0,1]\to X$

таква да су почетна тачка $\gamma (0)$ и завршна тачка $\gamma (1)$ обе једнаке са $x_{0}.$

Хомотопија петљи

Хомотопија је континуирана интерполација између две петље. Прецизније, хомотопија између две петље $\gamma ,\gamma ':[0,1]\to X$ (базиране у истој тачки $x_{0}$) је континуирана мапа

$h:[0,1]\times [0,1]\to X,$

тако да је

$h(0,t)=x_{0}$ за свако $t\in [0,1],$ то јест, почетна тачка хомотопије је $x_{0}$ за свако t (што се често сматра временским параметром).

$h(1,t)=x_{0}$ за свако $t\in [0,1],$ то јест, слично крајња тачка остаје у $x_{0}$ за свако t.

$h(r,0)=\gamma (r),h(r,1)=\gamma '(r)$ за свако $r\in [0,1].$

Ако постоји таква хомотопија h, $\gamma$ и $\gamma '$ се сматрају хомотопним. Однос „$\gamma$ је хомотопан са $\gamma '$” је релација еквиваленције, тако да се скуп класа еквиваленције може сматрати:

$\pi _{1}(X,x_{0}):=\{{\text{all loops }}\gamma {\text{ based at }}x_{0}\}/{\text{homotopy}}$

То се назива фундаменталном групом тополошког простора X и базном тачком $x_{0}.$ Сврха разматрања класа еквиваленције петљи до хомотопије, за разлику од скупа свих петљи (тзв. простора петљи од X) је да овај каснији, иако је користан за разне сврхе, прилично је велики и гломазан објекат. Супротно томе, горњи квоцијент има у многим случајевима управљиву и израчунљиву величину.

Структура групе

Сабирање петљи

Према горњој дефиницији, $\pi _{1}(X,x_{0})$ је само скуп. Он постаје група (и стога заслужује назив фундаментална група) користећи спајање петљи. Прецизније, за дате две петље $\gamma _{0},\gamma _{1},$ њихов производ је дефинисан као петља

${\begin{aligned}\gamma _{0}\cdot \gamma _{1}:[0,1]&\to X\\(\gamma _{0}\cdot \gamma _{1})(t)&={\begin{cases}\gamma _{0}(2t)&0\leq t\leq {\tfrac {1}{2}}\\\gamma _{1}(2t-1)&{\tfrac {1}{2}}\leq t\leq 1.\end{cases}}\end{aligned}}$

Стога петља $\gamma _{0}\cdot \gamma _{1}$ прво следи петљу $\gamma _{0}$ са „двоструком брзином”, а затим следи $\gamma _{1}$ са „двоструком брзином”.

Производ две хомотопне класе петљи $[\gamma _{0}]$ и $[\gamma _{1}]$ је дефинисан као $[\gamma _{0}\cdot \gamma _{1}].$ Може се показати да овај производ не зависи од избора представника и стога даје добро дефинисану операцију на сету $\pi _{1}(X,x_{0}).$ Ова операција претвара $\pi _{1}(X,x_{0})$ у групу. Њен неутрални елемент је константна петља, која остаје у $x_{0}$ за сво време t. Инверзна петља (хомотоп класе) је иста петља, али се прелази у супротном смеру. Формално,

$\gamma ^{-1}(t):=\gamma (1-t).$

За три базичне петље $\gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},$ производ

$(\gamma _{0}\cdot \gamma _{1})\cdot \gamma _{2}$

је спајање тих петљи, прелазећи $\gamma _{0}$ затим $\gamma _{1}$ са четвороструком брзином, и затим $\gamma _{2}$ са двоструком брзином. У поређењу с тим,

$\gamma _{0}\cdot (\gamma _{1}\cdot \gamma _{2})$

прелази исте путање (у истом редоследу), али $\gamma _{0}$ са двоструком брзином, и $\gamma _{1},\gamma _{2}$ са четвороструком брзином. Стога, због различитих брзина, две стазе нису идентичне. Аксиом асоцијативности

$[\gamma _{0}]\cdot \left([\gamma _{1}]\cdot [\gamma _{2}]\right)=\left([\gamma _{0}]\cdot [\gamma _{1}]\right)\cdot [\gamma _{2}]$

консеквентно пресудно зависи од чињенице да се стазе разматрају до хомотопије. Оба горња композита су хомотопна, на пример, петља која прелази све три петље $\gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2}$ са троструком брзином. Скуп базиран на петљама до хомотопије, подржан горе наведеном операцијом претвара $\pi _{1}(X,x_{0})$ у групу.

Зависност од базне тачке

Фундаментална група генерално зависи од избора базне тачке, међутим може се показати да, све до изоморфизама (заправо, чак и до унутрашњег изоморфизма), овај избор не прави разлику докле год је простор X повезан са путањом. Стога за просторе повезане са стазама многи аутори пишу: $\pi _{1}(X)$ уместо $\pi _{1}(X,x_{0}).$

Конкретни примери

Домен звезда је једноставно повезан пошто се свака петља може склопити у центар домена, означен $x_{0}$.

Овај одељак наводи неке основне примере фундаменталних група. За почетак, у Еуклидском простору ($\mathbb {R} ^{n}$) или било који конвексни подскуп од $\mathbb {R} ^{n},$ постоји само једна хомотопијска класа петљи, а фундаментална група је стога тривијална група са једним елементом. Уопштено говорећи, било који звездани домен – а опет уопштено, сваки контрахирни простор – има тривијалну фундаменталну групу. Дакле, основна група не прави разлику између таквих простора.

2-сфера

Петља на 2-сфери (површина лопте) која се скупља до тачке

Путем повезан простор чија је основна група тривијална назива се једноставно повезан. На пример, 2-сфера $S^{2}=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}$ приказана на десној страни, а такође и све [н-спхере[|вишедимензионалне сфере]], једноставно су повезане. Слика илуструје хомотопију која сажима једну одређену петљу у константну петљу. Ова идеја се може прилагодити свим петљама тако да постоји тачка $(x,y,z)\in S^{2}$ није на слици $\gamma .$ Међутим, пошто постоје петље такве да је $\gamma ([0,1])=S^{2}$ (конструисано од Пино криве, на пример), потпуни доказ захтева пажљивију анализу помоћу алата из алгебарске топологије, као што је Сајферт–ван Кампенова теорема или теорема о ћелијској апроксимацији.

Круг

Елементи хомотопске групе круга

Круг (такође познат као 1-сфера)

$S^{1}=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}$

није једноставно повезан. Уместо тога, свака хомотопска класа се састоји од свих петљи које обавијају круг одређени број пута (што може бити позитивно или негативно, у зависности од смера намотавања). Производ петље која се обавија м пута и друге која се обавија н пута је петља која је обавијена м + н пута. Према томе, основна група круга је изоморфна $(\mathbb {Z} ,+),$ адитивној групи целих бројева. Ова чињеница се може користити да се дају докази Брауерове теореме о фиксној тачки и Борсук–Уламове теореме у димензији 2.

Осмица

Фундаментална група осмице је слободна група на два генератора а и б.

Основна група осмице је слободна група на два слова. Идеја да се ово докаже је следећа: одабиром базне тачке као тачке где се два круга састају (означено црним тачкама на слици десно), било која петља $\gamma$ се може разложити као

$\gamma =a^{n_{1}}b^{m_{1}}\cdots a^{n_{k}}b^{m_{k}}$

где су а и б две петље које се обавијају око сваке половине фигуре као што је приказано, и експоненти $n_{1},\dots ,n_{k},m_{1},\dots ,m_{k}$ су цели бројеви. За разлику од $\pi _{1}(S^{1}),$ фундаментална група осмице није абелова: два начина састављања а и б нису хомотопна један другом:

$[a]\cdot [b]\neq [b]\cdot [a].$

Уопштеније, фундаментална група букета од р кругова је слободна група на р слова.

Фундаментална група клинасте суме два путом повезана простора X и Y може се израчунати као слободан производ појединачних фундаменталних група:

$\pi _{1}(X\vee Y)\cong \pi _{1}(X)*\pi _{1}(Y).$

Ово генерализује горња запажања пошто је осмица збир два круга.

Фундаментална група равни пробушене у н тачака је такође слободна група са н генератора. Стога је 'и-ти генератор класа петље која обилази и-ти отвор без заобилажења било ког другог отвора.

Графови

Фундаментална група се може дефинисати и за дискретне структуре. Конкретно, размотримо повезани граф Г = (V, Е), са назначеним врхом в₀ у V. Петље у Г су кругови који почињу и завршавају на в₀. Нека је Т распонско стабло од Г. Свака проста петља у Г садржи тачно једну ивицу у Е \ Т; свака петља у Г је конкатинација таквих једноставних петљи. Дакле, фундаментална група графа је слободна група, у којој је број генератора тачно број ивица у Е \ Т. Овај број је једнак |Е| − |V| + 1.

На пример, претпоставимо да Г има 16 врхова распоређених у 4 реда од по 4 темена, са ивицама које повезују врхове који су суседни хоризонтално или вертикално. Тада Г има укупно 24 ивице, а број ивица у сваком распонском стаблу је 16 − 1 = 15, тако да је основна група Г слободна група са 9 генератора. Приметно је да Г има 9 „отвора”, слично као букет од 9 кругова, који има исту фундаменталну групу.

Групе чворова

Тролисни чвор.

Групе чворова су по дефиницији фундаментална група комплемента чвора К уграђеног у $\mathbb {R} ^{3}.$ На пример, група чворова тролистног чвора је позната као група плетеница $B_{3},$ што даје још један пример неабелове фундаменталне групе. Виртингерова презентација експлицитно описује групе чворова у смислу генератора и односа на основу дијаграма чвора. Према томе, групе чворова имају извесну употребу у теорији чворова при разликовању чворова: ако $\pi _{1}(\mathbb {R} ^{3}\setminus K)$ није изоморфна некој другој групи чворова $\pi _{1}(\mathbb {R} ^{3}\setminus K')$ другог чвора К′, онда К не може бити трансформисан у К′. Тако се тролистни чвор не може континуирано трансформисати у круг (такође познат као нечвор), пошто овај други има групу чворова $\mathbb {Z}$. Постоје, међутим, чворови који се не могу деформисати један у други, али имају изоморфне групе чворова.

Оријентисане површине

Фундаментална група рода н оријентибилне површине може се израчунати у смислу генератора и односа као

$\left\langle A_{1},B_{1},\ldots ,A_{n},B_{n}\left|A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}\right.\right\rangle .$

Ово укључује торус, што је случај рода 1, чија је фундаментална група

$\left\langle A_{1},B_{1}\left|A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}\right.\right\rangle \cong \mathbb {Z} ^{2}.$

Литература

• Адамс, Јохн Франк (1978), Инфините лооп спацес, Анналс оф Матхематицс Студиес, 90, Принцетон Университy Пресс, ИСБН 978-0-691-08207-3, МР 505692 
• Броwн, Роналд (2006), Топологy анд Гроупоидс, Бооксурге, ИСБН 1-4196-2722-8 
• Бумп, Даниел (2013), Лие Гроупс, Градуате Теxтс ин Матхематицс, 225 (2нд изд.), Спрингер, ИСБН 978-1-4614-8023-5, дои:10.1007/978-1-4614-8024-2 
• Цроwелл, Р.Х.; Фоx, Ралпх (1963), Интродуцтион то Кнот Тхеорy, Спрингер 
• Ел Зеин, Фоуад; Суциу, Алеxандер I.; Тосун, Мерал; Улудаğ, Мухаммед; Yузвинскy, Сергеy (2010), Аррангементс, Лоцал Сyстемс анд Сингуларитиес: ЦИМПА Суммер Сцхоол, Галатасараy Университy, Истанбул, 2007, ИСБН 978-3-0346-0208-2 
• Форстер, Отто (1981), Лецтурес он Риеманн Сурфацес, ИСБН 0-387-90617-7 
• Гоерсс, Паул Г.; Јардине, Јохн Ф. (1999), Симплициал Хомотопy Тхеорy, Прогресс ин Матхематицс, 174, Басел, Бостон, Берлин: Биркхäусер, ИСБН 978-3-7643-6064-1 
• Гротхендиецк, Алеxандре; Раyнауд, Мицхèле (2003) [1971], Сéминаире де Гéомéтрие Алгéбриqуе ду Боис Марие - 1960-61 - Ревêтементс éталес ет гроупе фондаментал - (СГА 1) (Доцументс Матхéматиqуес 3), Парис: Социéтé Матхéматиqуе де Франце, стр. xвиии+327, сее Еxп. V, IX, X., ИСБН 978-2-85629-141-2, арXив:матх.АГ/0206203  
• Халл, Бриан C. (2015), Лие Гроупс, Лие Алгебрас, анд Репресентатионс: Ан Елементарy Интродуцтион, Градуате Теxтс ин Матхематицс, 222 (2нд изд.), Спрингер, ИСБН 978-3319134666 
• Петер Хилтон анд Схаун Wyлие, Хомологy Тхеорy, Цамбридге Университy Пресс (1967) [wарнинг: тхесе аутхорс усе цонтрахомологy фор цохомологy]
• Хумпхреyс, Јамес Е. (2004), Линеар Алгебраиц Гроупс, Градуате Теxтс ин Матхематицс (21), Спрингер, ИСБН 9780387901084 
• Хумпхреyс, Јамес Е. (1972), Интродуцтион то Лие Алгебрас анд Репресентатион Тхеорy, ИСБН 0-387-90052-7 
• Маундер, C. Р. Ф. (јануар 1996), Алгебраиц Топологy, Довер Публицатионс, ИСБН 0-486-69131-4 
• Массеy, Wиллиам С. (1991), А Басиц Цоурсе ин Алгебраиц Топологy, Спрингер, ИСБН 038797430X 
• Маy, Ј. Петер (1999), А Цонцисе Цоурсе ин Алгебраиц Топологy, ИСБН 9780226511832 
• Деане Монтгомерy анд Лео Зиппин, Топологицал Трансформатион Гроупс, Интерсциенце Публисхерс (1955)
• Мункрес, Јамес Р. (2000), Топологy, Прентице Халл, ИСБН 0-13-181629-2 
• Ротман, Јосепх (22. 7. 1998), Ан Интродуцтион то Алгебраиц Топологy, Спрингер-Верлаг, ИСБН 0-387-96678-1 
• Рубеи, Елена (2014), Алгебраиц Геометрy, а цонцисе дицтионарy, Берлин/Бостон: Wалтер Де Груyтер, ИСБН 978-3-11-031622-3 
• Сеиферт, Херберт; Тхрелфалл, Wиллиам (1980), А Теxтбоок оф Топологy, Превод: Хеил, Wолфганг, Ацадемиц Пресс, ИСБН 0-12-634850-2 
• Сингер, Исадоре. M.; Тхорпе, Ј. А. (10. 12. 1976), Лецтуре Нотес он Елементарy Топологy анд Геометрy, ИСБН 0-387-90202-3 
• Спаниер, Едwин Х. (1989), Алгебраиц Топологy, Спрингер, ИСБН 0-387-94426-5 
• Стром, Јеффреy (2011), Модерн Цлассицал Хомотопy Тхеорy, АМС, ИСБН 9780821852866 
• Ланг, Серге (1997), Ундерградуате аналyсис, Ундерградуате Теxтс ин Матхематицс (2нд изд.), Берлин, Неw Yорк: Спрингер-Верлаг, ИСБН 978-0-387-94841-6 
• Сеарцóид, Мíцхеáл Ó (2006), Метриц спацес, Спрингер ундерградуате матхематицс сериес, Берлин, Неw Yорк: Спрингер-Верлаг, ИСБН 978-1-84628-369-7 

Спољашње везе

• „Фундаментал гроуп”. ПланетМатх. 
• „Фундаментал гроупоид”. ПланетМатх. 
• Wеисстеин, Ериц W. „Фундаментал гроуп”. МатхWорлд. 
• Dylan G.L. Allegretti, Simplicial Sets and van Kampen's Theorem: A discussion of the fundamental groupoid of a topological space and the fundamental groupoid of a simplicial set
• Animations to introduce fundamental group by Nicolas Delanoue
• Sets of base points and fundamental groupoids: mathoverflow discussion
• Groupoids in Mathematics