Категорија (математика)

У математици, категорија (понекад звана апстрактна категорија да би се разликовала од конкретне категорије) је колекција „објеката” који су повезани „стрелицама”. Категорија има два основна својства: способност асоцијативног састављања стрелица и постојање стрелице идентитета за сваки објеката. Једноставни пример је категорија скупова, чији су објекти скупови и чије су стрелице функције.

Ово је категорија са колекцијом објеката A, B, C и колекцијом морфизама означених f, g, g ∘ f, а петље су стрелице идентитета. Ова категорија се типично означава подебљавањем 3.

Теорија категорија је грана математике која настоји да генерализује сву математику у смислу категорија, независно од тога шта представљају њихови објекти и стрелице. Скоро свака грана савремене математике може се описати категоријама и то често открива дубоке увиде и сличности између наизглед различитих подручја математике. Као таква, теорија категорија пружа алтернативну основу за математику теорије скупова и друге предложене аксиоматске темеље. Генерално, објекти и стрелице могу бити апстрактни ентитети било које врсте, а појам категорије пружа фундаменталан и апстрактан начин за описивање математичких ентитета и њихових односа.

Поред формализације математике, теорија категорија се такође користи за формализацију многих других система у рачунарској науци, као што је семантика програмских језика.

Две категорије су исте ако имају исту колекцију објеката, исту колекцију стрелица и исту асоцијативну методу састављања било којег пара стрелица. Две различите категорије могу се такође сматрати „еквивалентним” за потребе теорије категорија, чак и ако немају потпуно исту структуру.

Добро познате категорије су означене кратком речју великог почетног слова или скраћеницом у задебљаном или курзивном формату: примери укључују Скуп, категорију скупова и функције скупова; Прстен, категорију прстенова и хомоморфизме прстенова; и Топ, категорију тополошких простора и континуираних мапа. Све претходне категорије имају идентификацијску мапу као стрелице идентитета и композицију као асоцијативну операцију на стрелицама.

Класичан и још увек често кориштен текст у теорији категорија је Категорије за радног математичара аутора Сондерса Мака Лејна. Остале референце су дате испод у наведеној литератури. Основне дефиниције у овом чланку су садржане у првих неколико поглавља било које од тих књига.

Било која многострукост се може схватити као посебна врста категорије (са појединачним објектом чији су самоморфизми представљени елементима моноида), а то важи из сваки препоредак.

Историја

Теорија категорија се први пут појавила у чланку са насловом „Општа теорија природних еквиваленција”, који су написали Самјуел Ејленберг и Сондерс Мак Лејн 1945. године

Дефиниција

Постоји много еквивалентних дефиниција категорије. Једна најчешће коришћена дефиниција је следећа. Категорија C се састоји од

• класе ob(C) објеката
• класе hom(C) морфизама, или стрелица, или мапа, између објеката. Сваки морфизам f има изворни објекат a и циљни објекат b при чему су a и b у ob(C). Пише се f: a → b, и чита „f је морфизам од a до b”. Пише се hom(a, b) (или hom_C(a, b) кад може да постоји конфузија у погледу тога на коју категорију hom(a, b) се односи) да би се означила хом-класа свих морфизама од a до b. (Неки аутори уместо тога пишу Mor(a, b) или једноставно C(a, b).)
• за свака три објекта a, b и c, бинарна операција hom(a, b) × hom(b, c) → hom(a, c) се назива композиција морфизама; композиција f : a → b и g : b → c се пише као g ∘ f or gf. (Неки аутори користе „дијаграматски редослед”, пишући f;g или fg.)

тако да важе следећи аксиоми:

• (асоцијативност) ако f : a → b, g : b → c и h : c → d онда h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f, и
• (идентитет) за сваки објекат x, постоји морфиуам 1_x : x → x (неки аутори пишу id_x) звани морфизам идентитета за x, тако да за сваки морфизам f : a → x и сваки морфизам g : x → b, важи 1_x ∘ f = f и g ∘ 1_x = g.

Из ових аксиома се може доказати да за сваки објекат постоји тачно један морфизам идентитета. Неки аутори користе малу варијацију дефиниције у којој је сваки објект идентификован са одговарајућим морфизмом идентитета.

Литература

• Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Abstract and Concrete Categories (PDF). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. Arhivirano iz originala (PDF) 21. 4. 2015. g. Pristupljeno 16. 3. 2020.  (сада бесплатно онлајн издање, GNU FDL).
• Asperti, Andrea; Longo, Giuseppe (1991). Categories, Types and Structures. MIT Press. ISBN 0-262-01125-5. .
• Awodey, Steve (2006). Category theory. Oxford logic guides. 49. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-856861-2. .
• Barr, Michael; Wells, Charles (2005). Toposes, Triples and Theories. Reprints in Theory and Applications of Categories. 12 (revidirano izd.). MR 2178101. .
• Borceux, Francis (1994). „Handbook of Categorical Algebra”. Encyclopedia of Mathematics and its Applications. 50–52. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-06119-9. .
• Herrlich, Horst; Strecker, George E. (2007). Category Theory. Heldermann Verlag. .
• Jacobson, Nathan (2009). Basic algebra (2. izd.). Dover. ISBN 978-0-486-47187-7. .
• Marquis, Jean-Pierre (2006). „Category Theory”. Ur.: Zalta, Edward N. Stanford Encyclopedia of Philosophy. .
• Sica, Giandomenico (2006). What is category theory?. Advanced studies in mathematics and logic. 3. Polimetrica. ISBN 978-88-7699-031-1. .
• Барр, Мицхаел; Wеллс, Цхарлес (2012) [1995], Цатегорy Тхеорy фор Цомпутинг Сциенце, Репринтс ин Тхеорy анд Апплицатионс оф Цатегориес, 22 (3рд изд.) .
• Фреyд, Петер Ј. (2003) [1964]. Абелиан Цатегориес. Репринтс ин Тхеорy анд Апплицатионс оф Цатегориес. 3. 
• Фреyд, Петер Ј.; Сцедров, Андре (1990). Цатегориес, аллегориес. Нортх Холланд Матхематицал Либрарy. 39. Нортх Холланд. ИСБН 978-0-08-088701-2. 
• Голдблатт, Роберт (2006) [1979]. Топои: Тхе Цатегориал Аналyсис оф Логиц. Студиес ин логиц анд тхе фоундатионс оф матхематицс. 94. Довер. ИСБН 978-0-486-45026-1. 
• Касхиwара, Масаки; Сцхапира, Пиерре (2006). Цатегориес анд Схеавес. Грундлехрен дер Матхематисцхен Wиссенсцхафтен. 332. Спрингер. ИСБН 978-3-540-27949-5. 
• Лаwвере, Ф. Wиллиам; Росебругх, Роберт (2003). Сетс фор Матхематицс. Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 978-0-521-01060-3. 
• Лаwвере, Ф. Wиллиам; Сцхануел, Степхен Хоел (2009) [1997]. Цонцептуал Матхематицс: А Фирст Интродуцтион то Цатегориес (2нд изд.). Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 978-0-521-89485-2. 
• Леинстер, Том (2004). Хигхер Операдс, Хигхер Цатегориес. Хигхер Операдс. Лондон Матх. Социетy Лецтуре Ноте Сериес. 298. Цамбридге Университy Пресс. стр. 448. Бибцоде:2004хохц.боок.....L. ИСБН 978-0-521-53215-0. Архивирано из оригинала 2003-10-25. г. Приступљено 2006-04-03. 
• Леинстер, Том (2014). Басиц Цатегорy Тхеорy. Цамбридге Студиес ин Адванцед Матхематицс. 143. Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 9781107044241. арXив:1612.09375 . 
• Лурие, Јацоб (2009). Хигхер Топос Тхеорy. Анналс оф Матхематицс Студиес. 170. Принцетон Университy Пресс. ИСБН 978-0-691-14049-0. МР 2522659. арXив:матх.ЦТ/0608040 . 
• Мац Лане, Саундерс (1998). Цатегориес фор тхе Wоркинг Матхематициан. Градуате Теxтс ин Матхематицс. 5 (2нд изд.). Спрингер-Верлаг. ИСБН 978-0-387-98403-2. МР 1712872. 
• Мац Лане, Саундерс; Биркхофф, Гарретт (1999) [1967]. Алгебра (2нд изд.). Цхелсеа. ИСБН 978-0-8218-1646-2. 
• Мартини, А.; Ехриг, Х.; Нунес, D. (1996). „Елементс оф басиц цатегорy тхеорy”. Тецхницал Репорт. 96 (5). 
• Маy, Петер (1999). А Цонцисе Цоурсе ин Алгебраиц Топологy. Университy оф Цхицаго Пресс. ИСБН 978-0-226-51183-2. 
• Маззола, Гуерино (2002). Тхе Топос оф Мусиц, Геометриц Логиц оф Цонцептс, Тхеорy, анд Перформанце. Биркхäусер. ИСБН 978-3-7643-5731-3. 
• Педиццхио, Мариа Цристина; Тхолен, Wалтер, ур. (2004). Цатегорицал фоундатионс. Специал топицс ин ордер, топологy, алгебра, анд схеаф тхеорy. Енцyцлопедиа оф Матхематицс анд Итс Апплицатионс. 97. Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 978-0-521-83414-8. Збл 1034.18001. 
• Пиерце, Бењамин C. (1991). Басиц Цатегорy Тхеорy фор Цомпутер Сциентистс. МИТ Пресс. ИСБН 978-0-262-66071-6. 
• Сцхалк, А.; Симмонс, Х. (2005). Ан интродуцтион то Цатегорy Тхеорy ин фоур еасy мовементс (ПДФ). Архивирано из оригинала (ПДФ) 2017-03-21. г. Приступљено 2007-12-03.  Нотес фор а цоурсе офферед ас парт оф тхе МСц. ин Матхематицал Логиц, Манцхестер Университy.
• Симпсон, Царлос (2010). Хомотопy тхеорy оф хигхер цатегориес. Бибцоде:2010арXив1001.4071С. арXив:1001.4071 . , драфт оф а боок.
• Таyлор, Паул (1999). Працтицал Фоундатионс оф Матхематицс. Цамбридге Студиес ин Адванцед Матхематицс. 59. Цамбридге Университy Пресс. ИСБН 978-0-521-63107-5. 
• Тури, Даниеле (1996—2001). „Цатегорy Тхеорy Лецтуре Нотес” (ПДФ). Приступљено 11. 12. 2009. ЦС1 одржавање: Формат датума (веза) Басед он Мац Лане 1998.
• Марqуис, Јеан-Пиерре (2008). Фром а Геометрицал Поинт оф Виеw: А Студy оф тхе Хисторy анд Пхилосопхy оф Цатегорy Тхеорy. Спрингер. ИСБН 978-1-4020-9384-5. 

Спољашње везе

• Category - Encyclopedia of Math