Kategorija (matematika)

struktura u matematici

U matematici, kategorija (ponekad zvana apstraktna kategorija da bi se razlikovala od konkretne kategorije[1][2][3]) je kolekcija „objekata” koji su povezani „strelicama”. Kategorija ima dva osnovna svojstva: sposobnost asocijativnog sastavljanja strelica i postojanje strelice identiteta za svaki objekata. Jednostavni primer je kategorija skupova, čiji su objekti skupovi i čije su strelice funkcije.

Ovo je kategorija sa kolekcijom objekata A, B, C i kolekcijom morfizama označenih f, g, g ∘ f, a petlje su strelice identiteta. Ova kategorija se tipično označava podebljavanjem 3.

Teorija kategorija je grana matematike koja nastoji da generalizuje svu matematiku u smislu kategorija, nezavisno od toga šta predstavljaju njihovi objekti i strelice. Skoro svaka grana savremene matematike može se opisati kategorijama i to često otkriva duboke uvide i sličnosti između naizgled različitih područja matematike. Kao takva, teorija kategorija pruža alternativnu osnovu za matematiku teorije skupova i druge predložene aksiomatske temelje. Generalno, objekti i strelice mogu biti apstraktni entiteti bilo koje vrste, a pojam kategorije pruža fundamentalan i apstraktan način za opisivanje matematičkih entiteta i njihovih odnosa.

Pored formalizacije matematike, teorija kategorija se takođe koristi za formalizaciju mnogih drugih sistema u računarskoj nauci, kao što je semantika programskih jezika.[4][5][6]

Dve kategorije su iste ako imaju istu kolekciju objekata, istu kolekciju strelica i istu asocijativnu metodu sastavljanja bilo kojeg para strelica. Dve različite kategorije mogu se takođe smatrati „ekvivalentnim” za potrebe teorije kategorija, čak i ako nemaju potpuno istu strukturu.

Dobro poznate kategorije su označene kratkom rečju velikog početnog slova ili skraćenicom u zadebljanom ili kurzivnom formatu: primeri uključuju Skup, kategoriju skupova i funkcije skupova; Prsten, kategoriju prstenova i homomorfizme prstenova; i Top, kategoriju topoloških prostora i kontinuiranih mapa. Sve prethodne kategorije imaju identifikacijsku mapu kao strelice identiteta i kompoziciju kao asocijativnu operaciju na strelicama.

Klasičan i još uvek često korišten tekst u teoriji kategorija je Kategorije za radnog matematičara autora Sondersa Maka Lejna. Ostale reference su date ispod u navedenoj literaturi. Osnovne definicije u ovom članku su sadržane u prvih nekoliko poglavlja bilo koje od tih knjiga.

Bilo koja mnogostrukost se može shvatiti kao posebna vrsta kategorije (sa pojedinačnim objektom čiji su samomorfizmi predstavljeni elementima monoida), a to važi iz svaki preporedak.

Istorija

уреди

Teorija kategorija se prvi put pojavila u članku sa naslovom „Opšta teorija prirodnih ekvivalencija”, koji su napisali Samjuel Ejlenberg i Sonders Mak Lejn 1945. godine[7]

Definicija

уреди

Postoji mnogo ekvivalentnih definicija kategorije.[8] Jedna najčešće korišćena definicija je sledeća. Kategorija C se sastoji od

  • klase ob(C) objekata
  • klase hom(C) morfizama, ili strelica, ili mapa, između objekata. Svaki morfizam f ima izvorni objekat a i ciljni objekat b pri čemu su a i b u ob(C). Piše se f: ab, i čita „f je morfizam od a do b”. Piše se hom(a, b) (ili homC(a, b) kad može da postoji konfuzija u pogledu toga na koju kategoriju hom(a, b) se odnosi) da bi se označila hom-klasa svih morfizama od a do b. (Neki autori umesto toga pišu Mor(a, b) ili jednostavno C(a, b).)
  • za svaka tri objekta a, b i c, binarna operacija hom(a, b) × hom(b, c) → hom(a, c) se naziva kompozicija morfizama; kompozicija f : ab i g : bc se piše kao gf or gf. (Neki autori koriste „dijagramatski redosled”, pišući f;g ili fg.)

tako da važe sledeći aksiomi:

  • (asocijativnost) ako f : ab, g : bc i h : cd onda h ∘ (gf) = (hg) ∘ f, i
  • (identitet) za svaki objekat x, postoji morfiuam 1x : xx (neki autori pišu idx) zvani morfizam identiteta za x, tako da za svaki morfizam f : ax i svaki morfizam g : xb, važi 1xf = f i g ∘ 1x = g.

Iz ovih aksioma se može dokazati da za svaki objekat postoji tačno jedan morfizam identiteta. Neki autori koriste malu varijaciju definicije u kojoj je svaki objekt identifikovan sa odgovarajućim morfizmom identiteta.

Reference

уреди
  1. ^ Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.; (1990). Abstract and Concrete Categories (4.2MB PDF). Originally publ. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. (now free on-line edition).
  2. ^ Freyd, Peter; (1970). Homotopy is not concrete. Originally published in: The Steenrod Algebra and its Applications, Springer Lecture Notes in Mathematics Vol. 168. Republished in a free on-line journal: Reprints in Theory and Applications of Categories, No. 6 (2004), with the permission of Springer-Verlag.
  3. ^ Rosický, Jiří; (1981). Concrete categories and infinitary languages. Journal of Pure and Applied Algebra, Volume 22, Issue 3.
  4. ^ Joseph A. Goguen (1975). „Semantics of computation”. Category Theory Applied to Computation and Control. Lecture Notes in Computer Science. 25. Springer. стр. 151—163. ISBN 978-3-540-07142-6. doi:10.1007/3-540-07142-3_75. 
  5. ^ Floyd, Robert W. (1967). „Assigning Meanings to Programs” (PDF). Ур.: Schwartz, J.T. Mathematical Aspects of Computer Science. Proceedings of Symposium on Applied Mathematics. 19. American Mathematical Society. стр. 19—32. ISBN 0821867288. 
  6. ^ Donald E. Knuth. „Memorial Resolution: Robert W. Floyd (1936–2001)” (PDF). Stanford University Faculty Memorials. Stanford Historical Society. 
  7. ^ Eilenberg, Samuel; MacLane, Saunders (1945). „General Theory of Natural Equivalences”. Transactions of the American Mathematical Society. 58 (2): 231—294. JSTOR 1990284. doi:10.2307/1990284. 
  8. ^ Barr & Wells, Chapter 1.

Literatura

уреди

Spoljašnje veze

уреди