Описана, уписана и споља приписана кружница

Описана кружница око многоугла је кружница која пролази кроз сва темена многоугла. Центар ове кружнице се налази у пресеку симетрала страница и њен полупречник је растојање центра од било ког темена многоугла. Многоугао око кога се може описати круг назива се тетивни многоугао. Сви правилни многоуглови су тетивни.
Кружница која додирује све странице једног многоугла назива се уписана кружница тог многоугла. Центар ове кружнице се налази у пресеку симетрала углова и њен полупречник је растојање центра од било које странице многоугла. У сваки правилни многоугао може да се упише кружница.
Центар споља приписане кружнице правилног многоугла добијамо у пресеку симетрале једног унутрашњег угла и симетрале спољашњих углова код друга два суседна темена. Полупречник је растојање центра од странице многоугла коју кружница додирује.

Троугао

Око сваког троугла може да се опише кружница. Центар описане кружнице је пресек симетрала страница троугла.

Теорема 1. (О центру описаног круга) Симетрале страница троугла секу се у једној тачки.
Доказ: Нека је С заједничка тачка симетрале $s$₁-странице $BC$ и симетрале $s$₂-странице $AC$ троугла ∆$ABC$. Пошто $S$ припада симетрали $s$₁, имамо да је $BS$≅$CS$, а пошто $S$ припада симетрали $s$₂, имамо да је $AS$≅$CS$. Одатле следи да је $AS$≃$BS$≅$CS$, тј да $S$ припада и симетрали $s$₃, па је $S$ пресек свих симетрала. Кружница са центром $S$ и полупречником $AS$ садржи сва темена троугла, па је то описана кружница око троугла ∆$ABC$.

Једнакостраничан троугао

Код једнакостраничног троугла полупречник описане кружнице износи ${\frac {2}{3}}$ висине: $r$_о=${\frac {2}{3}}h$ или $r$₀=${\frac {a{\sqrt {3}}}{3}}$.

Површина описаног круга је: $P=r_{0}^{2}\pi$.

Једнакокраки троугао

Код једнакокраког троугла центар описане кружнице је на средини висине, $r={\frac {h_{a}}{2}}$, где је $h_{a}={\sqrt {b^{2}-({\frac {a}{2}})^{2}}}$.

Површина тог круга је: $P=({\frac {h_{a}}{2}})^{2}\pi$.

Правоугли троугао

Тврђење 1.: Центар описане кружнице правоуглог троугла је средиште хипотенузе.

Доказ: Нека је $O$ средиште хипотенузе. Нека је $P$ средиште $AB$. Тада је $OP$ средња линија троугла ∆$ABC$ и $OP$ је паралелна са $BC$ па је $AB$ нормално на $OP$. Тада из подударности троуглова ∆$AOP$ и ∆$BOP$ следи да је $OB$≅$OA$. Пошто је и $OA$≅$OC$ следи да је $O$ центар описане кружнице, а полупречник је пола хипотенузе.

Површина тог круга је $P=({\frac {c}{2}})^{2}\pi$

Положај центра у односу на троугао

Оштроугли	Тупоугли	Правоугли
центар унутар троугла	центар изван троугла	центар на средини хипотенузе

У сваки троугао може да се упише кружница. Центар те кружнице се налази у пресеку симетрала углова.

Теорема 2. (О центру уписане кружнице) Симетрале углова троугла се секу у једној тачки

Доказ: Нека је $O$ пресек симетрале углова ∠$CAB$ и ∠$ABC$. Нека су $OM$, $ON$ и $OP$ нормале из $O$ на странице $AB$, $BC$ и $AC$. Из подударности троуглова ∆$BMO$ и ∆$BNO$ следи да је $OM$≅$ON$. Из $OP$≅$OM$ и $OM$≅$ON$ следи да је $OP$≅$ON$ из чега следи подударност троуглова ∆$CNO$ и ∆$CPO$ одакле следи ∠$BCO$≅∠$ACO$ и $O$ припада пресеку свих симетрала и $O$ је центар описане кружнице.

Теорема 3.: Симетрала једног унутрашњег угла троугла и симетрала спољашњих углова код друга два темена секу се у једној тачки-центру споља приписане кружнице.

Четвороугао

Тангентни четвороугао

Четвороугао чије су ивице тангенте једног круга, тј. четвороугао у који се може уписати круг, назива се тангентни четвороугао.

За доказивање тог критеријума користи се теорема о подударности тангентних дужи, тј. одсечака тангенте на дати круг од тачке из које је она конструисана до тачке додира.

Теорема 1. Тангентне дужи конструисане из исте тачке ван датог круга су међусобно подударне.

Теорема 2. Четвороугао $ABCD$ је тангентни ако и само ако је $AB+CD=BC+AD$.

Доказ:
(⇒) Претпоставимо да је четвороугао $ABCD$ тангентни. Нека су $P,Q,R,S$ додирне тачке ивица $AB,BC,CD,DA$ са уписаним кругом $k$. Како су тангентне дужи подударне, то је $AP$≅$AS$; $BP$≅$BQ$; $CQ$≅$CR$; $DR$≅$DS$. На основу тога је: $AP+PB+CR+RD=AS+SD+BQ+QC$, тј. $AB+CD=AD+BC$.

(⇐) Нека су у четвороуглу $ABCD$ збирови наспрамних ивица једнаки. Постоји круг $k$ који додирује ивице $AB,BC$ и $DA$ тог четвороугла (његов центар је пресек симетрала унутрашњих углова код темена $A$ и $B$ четвороугла). Нека је $D'$ пресек друге тангенте из тачке $C$ круга $k$ и праве $AD$. Претпоставимо да је $D'$≠$D$. Према већ доказаном делу теореме важи $AB+CD=BC+D'A$, па како је по претпоставци $AB+CD=BC+DA$, то је $CD'-CD=D'A-DA$, тј. $CD'=D'A-DA+CD$.

Ако је тачка $D$ између тачака $D'$ и $A$ ова релација постаје $CD'=CD+DD'$, а то је немогуће на основу неједнакости троугла. На сличан начин долазимо до контрадикције и у случају када $D$ није између тачака $D'$ и $A$. Дакле, $D'=D$, тј. круг $k$ додирује и четврту ивицу четвороугла $ABCD$.

Непосредна последица ове теореме је да се у квадрат, ромб и делтоид могу уписати кругови.

Тетивни четвороугао

Четвороугао око кога се може описати круг, тј. чије су све ивице тетиве неког круга назива се тетивни четвороугао. Као што постоји критеријум за утврђивање да ли је четвороугао тангентни, постоји и важна теорема која даје неопходан и довољан услов да четвороугао буде тетивни.

Теорема 1. Конвексни четвороугао је тетивни ако и само ако су његови наспрамни углови суплементни.

Доказ:

(⇒) Претпоставимо најпре да је четвороугао $ABCD$ тетивни. Како је четвороугао конвексан, темена $A$ и $C$ су са разних страна праве одређене дијагоналом $BD$. На основу последице (Периферијски углови круга над истом тетивом, чија су темена са разних страна праве одређене том тетивом, су суплементни), углови ∠$BAD$ и ∠$BCD$ четвороугла су суплементни.
(⇐) Претпоставимо сада да су наспрамни углови четвороугла $ABCD$ суплементни. Нека је $k$ круг описан око троугла ∆$ABD$. Тада се из четвртог темена $C$ тетива $BD$ види под углом који је суплементан углу код темена $A$, па тачка $C$ припада кругу.

Теорема 2. Ако је $ABCD$ конвексан четвороугао и ∠$ACB$≅∠$ADB$ тада је он тетивни четвороугао.

Литература

• Митровић M., Огњановић С., Вељковић M., Петковић Љ., Лазаревић Н. (1998), Геометрија за први разред Математичке гимназије, Београд: Круг
• Кнежевић Ј. (2013), Значајне тачке троугла, Универзитет у Новом Саду, мастер рад