Риманова сфера

У математици, Риманова сфера, именована по Бернхарду Риману, је модел проширене комплексне равни, комплексне равни плус тачка бесконачности. Ова проширена раван представља проширене комплексне бројеве, другим речима комплексне бројеве плус вредност ∞ за бесконачност. Са Римановим моделом, тачка "∞" је близо веома великих бројева, као што је тачка "0" близо веома малих бројева.

Бернхард Риман може да буде визуализована као раван комплексних бројева омотана око сфере (неком формом стереогреафске пројекције – детаљи су дати испод).

Проширени комплексни бројеви су корисни у комплексној анализи зато што они они омогућавају дељење нулом у неким околностима, на начин који чини изразе као што је ${\tfrac {1}{0}}=\infty$ да се добро понашају. На пример, свака рационална функција на комплексној равни се може проширити до холоморфне функције на Римановој сфери, при чему полови ратионалне функције мапирају до бесконачности. Генералније, било која мероморфна функција може се сматрати холоморфном функцијом чији је кодомен Риманова сфера.

У геометрији, Риманова сфера је прототипски пример Риманове површине, и она је најједноставнија комплексна многострукост. У пројективној геометрији, сфера се може сматрати комплексном пројективном линијом P¹(C), пројективном простором свих комплексних линија у C². Као и свака компактна Риманова површина, сфера се такође може посматрати као пројективна алгебарска крива, што је чини основним примером у алгебарској геометрији. То се такође користи у другим дисциплинама које зависе од анализе и геометрије, као што је Блохова сфера квантне механике и у другим гранама физике.

Проширена комплексна раван се такође назива затворена комплексна раван.

Проширени комплексни бројеви

Проширени комплексни бројеви се састоје од комплексних бројева C заједно са ∞. Скуп проширених комплексних бројева може да буде записан као C ∪ {∞}, и често се означава додавањем неког вида декорације на слово C, као што је

${\hat {\mathbb {C} }},\quad {\overline {\mathbb {C} }},\quad {\text{ili}}\quad \mathbb {C} _{\infty }.$

Геометријски, скуп проширених комплексних бројева се назива Риманова сфера (или проширена комплексна раван).

Аритметичке операције

Сабирање комплексних бројева може да буде проширено дефинисањем, за з ∈ C,

$z+\infty =\infty$

за сваки комплексни број z, а множење може да буде дефинисано као

$z\times \infty =\infty$

за све ненулте комплексне бројеве z, са ∞ × ∞ = ∞. Потребно је напоменути да су ∞ – ∞ и 0 × ∞ остављени недефинисани. За разлику од комплексних бројева, проширени комплексни бројеви не формирају поље, јер ∞ нема реципрочну вредност. Упркос тога, уобичајено је да се дефинише дељење на C ∪ {∞} са

${\frac {z}{0}}=\infty \quad {\text{i}}\quad {\frac {z}{\infty }}=0$

за све ненулте комплексне бројеве z, са ∞/0 = ∞ и 0/∞ = 0. Количници 0/0 и ∞/∞ су остављени недефинисани.

Рационалне функције

Рационална функција ф(з) = г(з)/х(з) (другим речима, f(z) је однос полиномских функција g(z) и h(z) од z са комплексним коефицијентима, таквим да g(z) и h(z) немају заједнички фактор) се може проширити на непрекидну функцију на Римановој сфери. Специфично, ако је z₀ комплексни број такав да је именилац h(z₀) нула док је бројилац g(z₀) различит од нуле, онда се f(z₀) може дефинисати као ∞. Штавише, f(∞) се може дефинисати као лимит од f(z) као з → ∞, који може да буде коначан или бесконачан.

Скуп комплексних ратионалних функција — чији математички симбол је C(z) — формира све могуће холоморфна функција од Риманове сфере до себе, када се посматра као Риманова површина, осим за константну функцију која узима вредност ∞ свуда. Функције од C(z) формирају алгебарско поље, познато као поље рационалних функција на сфери.

На пример, ако је дата функција

$f(z)={\frac {6z^{2}+1}{2z^{2}-50}}$

може се дефинисати ф(±5) = ∞, пошто је именилац нула у з = ±5, и ф(∞) = 3 јер је ф(з) → 3 кад з → ∞. Користећи те дефиниције, f постаје континуирана функција од Риманове сфере до себе.

Као комплексна многострукост

Као једнодимензионална комплексна многострукост, Риманова сфера се може описати са две табеле, обе са доменом једнаком равни комплексних бројева C. Нека је ζ комплексан број у једној копији C, а нека је ξ је комплексни број у другој копији C. Може се идентификовати сваки ненулти комплексни број ζ првог C са ненултим комплексним бројем 1/ξ другог C. Затим се мапа

$f(z)={\frac {1}{z}}$

назива мапа прелаза између две копије C — такозваних табела — спојених заједно. Пошто су мапе транзиције холоморфне, оне дефинишу комплексну многострукост, која се назива Риманова сфера. Као комплексна многострукост једне комплексне димензије (и.е. две реалне димензије), то се назива и Римановом површином.

Интуитивно, транзиционе мапе показују како су повезане две равни заједно како би се формирала Риманова сфера. Равни су темељно спојене, тако да се преклапају готово свугда, при чему свака раван доприноси само једној тачки која недостаје у другој равни. Другим речима, (скоро) свака тачка у Римановој сфери има ζ вредност и ξ вредност, а две вредности су повезане са ζ = 1/ξ. Тачка у којој је ξ = 0 тада треба да има ζ-вредност „1/0”; у ком смислу координатни почетак ξ-табеле игра улогу „∞” у ζ-табели. Симетрично, координатни почетак ζ-табеле има улогу ∞ у ξ-табели.

Тополошки, резултирајући простор је компактизација у једној тачки равни у сферу. Међутим, Риманова сфера није само тополошка сфера. То је сфера са добро дефинисаном комплексном структуром, тако да око сваке тачке на сфери постоји околина који се може бихоломорфично идентификовати са C.

С друге стране, униформизациона теорема, централни резултат у класификацији Риманових површина, наводи да је свака једноставно повезана Риманова површина бихоломорфна према комплексној равни, хиперболичној равни или Римановој сфери. Међу њима је Риманова сфера једина која је затворена површина (компактна површина без граница). Отуда дводимензионална сфера прихвата јединствену комплексну структуру претварајући је у једнодимензионалну комплексну многострукост.

Литература

• Гриффитхс, Пхиллип & Харрис, Јосепх (1978). Принциплес оф Алгебраиц Геометрy. Јохн Wилеy & Сонс. ИСБН 0-471-32792-1. 
• Пенросе, Рогер (2005). Тхе Роад то Реалитy. Неw Yорк: Кнопф. ИСБН 0-679-45443-8. 
• Рудин, Wалтер (1987). Реал анд Цомплеx Аналyсис. Неw Yорк: МцГраw–Хилл. ИСБН 0-07-100276-6. 
• Кобаyасхи, Схосхицхи (1970). Трансформатион Гроупс ин Дифферентиал Геометрy (Фирст изд.). Спрингер. ИСБН 3-540-05848-6. 
• Словáк, Јан (1993). Инвариант Операторс он Цонформал Манифолдс. Ресеарцх Лецтуре Нотес, Университy оф Виенна (Диссертатион). 
• Стернберг, Схломо (1983). Лецтурес он дифферентиал геометрy. Неw Yорк: Цхелсеа. ИСБН 0-8284-0316-3. 
• Арнолд, Доуглас Н.; Рогнесс, Јонатхан (2008), „Мöбиус Трансформатионс Ревеалед” (ПДФ), Нотицес оф тхе АМС, 55 (10): 1226—1231 
• Беардон, Алан Ф. (1995), Тхе Геометрy оф Дисцрете Гроупс, Неw Yорк: Спрингер-Верлаг, ИСБН 978-0-387-90788-8 
• Халл, Г. С. (2004), Сyмметриес анд Цурватуре Струцтуре ин Генерал Релативитy, Сингапоре: Wорлд Сциентифиц, ИСБН 978-981-02-1051-9  (Сее Цхаптер 6 фор тхе цлассифицатион, уп то цоњугацy, оф тхе Лие субалгебрас оф тхе Лие алгебра оф тхе Лорентз гроуп.)
• Каток, Светлана (1992), Фуцхсиан Гроупс, Цхицаго:Университy оф Цхицаго Пресс, ИСБН 978-0-226-42583-2  Сее Цхаптер 2.
• Клеин, Фелиx (1888), Лецтурес он тхе икосахедрон анд тхе солутион оф еqуатионс оф тхе фифтх дегрее (Довер изд.), ИСБН 978-0-486-49528-6 .
• Кнопп, Конрад (1952), Елементс оф тхе Тхеорy оф Фунцтионс, Неw Yорк: Довер, ИСБН 978-0-486-60154-0  (Сее Цхаптерс 3–5 оф тхис цлассиц боок фор а беаутифул интродуцтион то тхе Риеманн спхере, стереограпхиц пројецтион, анд Мöбиус трансформатионс.)
• Мумфорд, Давид; Сериес, Царолине; Wригхт, Давид (2002), Индра'с Пеарлс: Тхе Висион оф Фелиx Клеин, Цамбридге Университy Пресс, ИСБН 978-0-521-35253-6  (Аимед ат нон-матхематицианс, провидес ан еxцеллент еxпоситион оф тхеорy анд ресултс, рицхлy иллустратед wитх диаграмс.)
• Неедхам, Тристан (1997), Висуал Цомплеx Аналyсис, Оxфорд: Цларендон Пресс, ИСБН 978-0-19-853446-4  (Сее Цхаптер 3 фор а беаутифуллy иллустратед интродуцтион то Мöбиус трансформатионс, инцлудинг тхеир цлассифицатион уп то цоњугацy.)
• Пенросе, Рогер; Риндлер, Wолфганг (1984), Спинорс анд спаце–тиме, Волуме 1: Тwо-спинор цалцулус анд релативистиц фиелдс, Цамбридге Университy Пресс, ИСБН 978-0-521-24527-2 
• Сцхwердтфегер, Ханс (1979), Геометрy оф Цомплеx Нумберс, Довер, ИСБН 978-0-486-63830-0  (Сее Цхаптер 2 фор ан интродуцтион то Мöбиус трансформатионс.)
• Тóтх, Гáбор (2002), Фините Мöбиус гроупс, минимал иммерсионс оф спхерес, анд модули 
• Фаркас, Херсхел M.; Кра, Ирwин (1980), Риеманн Сурфацес (2нд изд.), Берлин, Неw Yорк: Спрингер-Верлаг, ИСБН 978-0-387-90465-8 
• Пабло Арéс Гастеси, Риеманн Сурфацес Боок.
• Хартсхорне, Робин (1977), Алгебраиц Геометрy, Берлин, Неw Yорк: Спрингер-Верлаг, ИСБН 978-0-387-90244-9, МР 0463157, ОЦЛЦ 13348052 , есп. цхаптер IV.
• Јост, Јüрген (2006), Цомпацт Риеманн Сурфацес, Берлин, Неw Yорк: Спрингер-Верлаг, стр. 208—219, ИСБН 978-3-540-33065-3 
• Пападопоулос, Атханасе, ур. (2007), Хандбоок оф Теицхмüллер тхеорy. Вол. I, ИРМА Лецтурес ин Матхематицс анд Тхеоретицал Пхyсицс, 11, Еуропеан Матхематицал Социетy (ЕМС), Зüрицх, ИСБН 978-3-03719-029-6, МР 2284826, дои:10.4171/029 
• Пападопоулос, Атханасе, ур. (2009), Хандбоок оф Теицхмüллер тхеорy. Вол. II, ИРМА Лецтурес ин Матхематицс анд Тхеоретицал Пхyсицс, 13, Еуропеан Матхематицал Социетy (ЕМС), Зüрицх, ИСБН 978-3-03719-055-5, МР 2524085, арXив:матх/0511271 , дои:10.4171/055 
• Пападопоулос, Атханасе, ур. (2012), Хандбоок оф Теицхмüллер тхеорy. Вол. III, ИРМА Лецтурес ин Матхематицс анд Тхеоретицал Пхyсицс, 19, Еуропеан Матхематицал Социетy (ЕМС), Зüрицх, ИСБН 978-3-03719-103-3, дои:10.4171/103 
• Сиегел, Царл Лудwиг (1955), „Мероморпхе Функтионен ауф компактен аналyтисцхен Маннигфалтигкеитен”, Нацхрицхтен дер Академие дер Wиссенсцхафтен ин Гöттинген. II. Матхематисцх-Пхyсикалисцхе Классе, 1955: 71—77, ИССН 0065-5295, МР 0074061 
• Wеyл, Херманн (2009) [1913], Тхе цонцепт оф а Риеманн сурфаце (3рд изд.), Неw Yорк: Довер Публицатионс, ИСБН 978-0-486-47004-7, МР 0069903 

Спољашње везе

• Хазеwинкел Мицхиел, ур. (2001). „Риеманн спхере”. Енцyцлопаедиа оф Матхематицс. Спрингер. ISBN 978-1556080104. 
• Moebius Transformations Revealed, by Douglas N. Arnold and Jonathan Rogness